ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ
66. Afin de pouvoir généraliser la discussion des problèmes du premier degré à une ou plusieurs inconnues, nous allons nous proposer d’établir des formules qui puissent représenter les valeurs des inconnues, pour un système quelconque d’équations renfermant un pareil nombre d’inconnues.
Mais auparavant , nous démontrerons un principe général , applicable aux équations de tous les degrés , et dont le principe du n° 50 n’est qu'un cas particulier.
Si l’on a deux ou plusieurs équations
entre deux ou plusieurs inednnues x , y, z, u . . . (le nombre de ces inconnues pouvant être différent de celui des équations),
1° On peut à l’une de cet équation! substituer le résultat de la combinaison , par addition ou soustraction , de deux ou plusieurs d’entre elles , pourvu que l’équation remplacée soit une de celles qui ont été combinées. -
Ainsi, à l’équation A = B, par exemple, on peut substituer l’une des équations suivantes :
A + C=B + D, ou A — C=B — D, ou A + C — E=B + D — F. . . (2).
En effet, les équations (1) existant pour un certain système
DISCUSSION GÉNÉRAIS
de valeurs de x, y, z, u. . ., il est clair que chacune des cqua-1 tions (2) doit exister pour le même système. Réciproquement, tout système qui vérifie l’une des équations (2), et les équations C =D , E = F, G = H , doit nécessairement vérifier l’équation A = 15; car sil’o'n considère les équations C=D, E =-F, G=H.
en même temps que l’équation. A + C — E = B+D — F,
par exemple, on trouve, en retranchant de celle-ci l’équation C = D, membre à membre, et ajoutant au résultat l’équation E = F, aussi membre à membre, on trouve, dis-je, A + G — E ' — C + E = B + D — F — D + F, ou réduisant. . . A = B.
2" On peut même, avant de combiner les équations (1) par addition et soustraction , multiplier d'abord les deux membres d’une ou de plusieurs des équations { 1 ) par un nombre connu.
Car si l’on a A=B, C=D, E = F, on a également
mk—mYb, nC= nD , pE =^F, et réciproquement ; ce qui veut dire qu’au système des équations A = B, C=D, E=F, on peut substituer celui-ci : m A = »iB, nC=wD, y>E=/)F ; et alors rien n’empêche d’opérer ensuite sur ces dernières équations par addition et soustraction.
67. Venons maintenant à notre objet. D’abord, toute équation du premier degré à une seule inconnue peut , au moyen des transformations usitées, être ramenée à la forme
• ax = h;
a désignant la somme algébrique des quantités qui multiplient l’inconnue, et b la somme algébrique des termes tout connus.
Cette équation donne x = - ;
et il est bien évident qu’auciune quantité différente de celle qui est exprimée par - , ne peut vérifier l’équation proposée.
Observons , en second lieu , que toute équation du premier degré à deux inconnues peut être représentée par
ax + by =c , ,
(a, b , c, étant des quantités entières de signes quelconques).
nés ÉQUATIONS DU PREHIER DEGRÉ.
En effet, si l’équation proposée renferme des dénominateurs, on les fait d’abord disparaître (n° 44) ; réunissant ensuite tous les termes affectés de x et tous les termes affectés de y dans le premier membre, puis faisant passer tous les termes connus dans le second membre , on peut désigner la somme algébrique des premiers par ax , la somme algébrique des seconds par by, et la somme algébrique des derniers par c.
Soient donc proposées les deux équations
ax + by =c, (1)
On obtient, en multipliant la lr° par b', la seconde pari, et retranchant le second résultat du premier,
(ai' — ba') x = cb' — bc' ; (3)
d’où
cb' — bc X ah' — ba’
Observons ici qu’en vertu du principe n° 66, les équations (1) et (2) peuvent être remplacées par les équations (!) et (3). Or, cette dernière donne pour x une valeur unique qui , substituée dans l’équation (1), ne peut donner qu’une seule valeur pour y. Donc, les équations proposées ne sauraient admettre qu’un seul système de valeurs pour les deux inconnues.
La valeur de y peut d’ailleurs s’obtenir directement par l’élimination de x. 11 suffit pour cela de multiplier la 1" équation par a', la 2e par appuis de retrancher le premier résultat du second ( afin de conserver pour y le même dénominateur que pour x). 11 vient (ai' — ba/) y = ac — ca1 ;
d’où
ac' — ca' ^ ai'-^ia'’
Passons maintenant $u cas .de trois équations à trois inconnues.
Soient les équations • •
« ax -{- by + cz — dt (1)
disccssîon générale
Pour éliminer z, multiplions la 1"' équation par c', la 2e pare, et retranchons le second résultat du premier ; il vient
[ac' — ca') x + [bc' — cb') y = de' — cd' . (4)
Combinant de même la seconde équation avec la troisième,
on trouve
et l’on doit déjà observer (n"G6) que les équations .fl), (2), (3), peuvent être remplacées par les éqnations (1), (4), (5).
Actuellement , pour éliminer y, il faut multiplier l’équation (4) par b'c" — c'b", l’équation (S) par bc ’ — ch' , puis retrancher le â1- résultat du 1er, ce qui donne
— ca') [ b'c " - — c'b") ■ — [a'c" — c'a") [bc — cb’) j x = [de1 — cd’) [b'c" - — c'b") — [d'e" — cd") [bc — cb') ,
ou, effectuant les calculs, réduisant et divisant parc',
[ ab'c " — a c'b" q- ca'b" — ba'c" + bc'a" — cb'a") x = db'c" — de1 b" -p cd'b" — bd' c" + be'd" — cb'd" , (6)
équation qui donne pour x la valeur unique
db'c " — de b" q- cd’b" — bd'c" + bc d" — cb'd" ab'c" — a c'b" q- ca'b" — ba'c" q- bc'a" — cb'a" D’ailleurs, comme les équations(l), (4), (5), et par conséquent les équations proposées, peuvent être remplacées par les équations (1), (4), (6), si l’on reporte la valeur unique de x dans l’équation (4), on obtiendra une valeur unique pour y; et si l’on substitue le système unique des valeurs de a- et de y dans l’équation (1) , on obtiendra une valeur unique pour z. On voit donc que les équations proposées admettent un seul système de valeurs pour x, y, z.
Les valeurs de y et de r peuvent au reste s’obtenir directement en effectuant, pour éliminer .r et z, ensuite x et y, des calculs analogues à ceux qu’on a effectués pour éliminer y et z.
On trouverait ainsi
. ad'c" — a c'd" -j- cg'd" — da'c" + de à" — cd’a"
^ ab’c" — a c'b" q- ca'b" — ba'c" + bc'a" — .cb'a" ’
ab'd" — ad'b" 4- da'b" — ba'd "■ + bdba" — db'a "
s ab c" — - ac'b" q- ca'b" — ba'c" q- bc'a" -r— cb'a"
UES ÉQUATIOKS DU PBKSIER DKl.HÉ . 09
On voit assez la marche qu’il faudrait suivre, si l’on avait quatre équations et quatre inconnues , etc.
68. L'emploi des accens, dans les notations des coefficiens, a donné lieu à l’observation d’une loi d’après laquelle on peut facilement retrouver les formules précédentes, sans être obligé d’effectuer l’élimination.
Considérons d’abord le cas de deux équations à deux inconnues. On a trouvé, pour les valeurs ,
cb' — bc ae' — ca!
ab' — ba” ^ ab’ — ba1’
1° Pour obtenir le dénominateur commun h ces deux valeurs, formez avec les lettres a et b , qui désignent les coefficiens de x et de y dans la. première équation , les deux permutations ab et ba puis interposez le signe — , ce qui donne ab — ba ; enfin, accentuez dans chaque terme la dernière lettre ; il vien t
ab1 — ba'.
2° Pour obtenir le numérateur relatif a chaque inconnue , remplacez , dans le dénominateur, la lettre qui désigne le coefficient de cette inconnue , par la lettre qui désigne la quantité toute connue, en laissant toutefois les accens h la même place. D’après cela, ab' — ba' se change en cb' — bc', pour la valeur de x, et en ac' — ca' pour la valeur de y.
Considérons actuellement le cas de 3 équations à â inconnues, a, b, c, désignant les coefficiens de x, y, z, et d la quantité toute connue. 1° Pour avoir le dénominateur commun , prenez le dénominateur ab — ba , qui convient au cas de deux inconnues ( abstraction faite des accens) ; introduisez la lettre c dans chacun des deux termes ab cf.ba à toutes les places , savoir, à droite , au milieu , et à gauche ; puis interposez des signes alternativement positifs et négatifs; il en résulte abc— acb + eab — bac + bêa — cba. Mettez ensuite , dans chaque terme, l’accent ' sur la deuxième lettre, et l’accent " sur la troisième lettre ; il vient, pour le dénominateur, , •
ali c" — ac’b" + ca’b" -r- bac" + bc a" — 1 cb'a" .
3° Pour former le numérateur de chaque inconnue, remplacez
DISCUSSION GÉNÉRALE
dans le dénominateur, la lettre qui désigne le coefficient de cette inconnue par la lettre qui désigne la quantité toute connue , en laissant les uccens à la même place. Ainsi, pour x, changez a en d ; pour y, b en d , ef pour z , C en d.
Cette loi, qui' peut être regardée comme un résultat d’observation pour deux ou trois équations, est susceptible de s’étendre à un nombre quelconque d’équations ; mai» la démonstration en est très compliquée, et sort tout-à-ïait des élémens. Nous renvoyons, pour cet objet, à la seconde partie de V Algèbre de Garnier, et à un ouvrage intitulé : Complément de la théorie des équations du premier degré, par M. Desnanot.
69. Voyons l’usage qu’on pput faine de ces formules , dans les applications particulières.
Soient les deux équatiôns — ly =3-4 , — Î3y = — 6.
En les comparant aux équation» générales ,
ax + b y =.<?, a x + b' y == c ,
on a a — o, b= — 7% c = 3-1 | a =3, b ' = 13, c =— »-6.
cb' — bc ac ' — ca'
Substituons dans les formules x s= a/)l/iah V — 'ff
à la place de a, b, c, a', V ,c' , ces valeurs; il vient
* Sx -r 6 — 34 x3 -30-^102 * — ' 132' Q
2° y — 5 x 13 — ( - 7 ) pTj™ — 05 + 2-1 — 44
et .je dis que 1 1^ y = 3, 'sont les valeufs propres a satisfaire
aiîx deux équations proposées. *“ .
• Nous •pourrions d’abord nous en assurer bn les substituant 3âns. aev équations. Mais, pfui que la démonstration soit indépendante île tout exemple particulier, remarquons que, pour passer des formules relatives aux équations ax +'4ÿ = c et ax + b'y — c'f à celles quiéonviennént aux équations ax— by=c et a'x — bty = — é, il suffit (il® 63) de changer / en — b, b' en
ogle
Di
UES ÉQl'ATIOXS DU PREMIER DEGRÉ. 101
— (y , et c en — e , ce qui donne x — -, r, t~ ,
1 ax — b — ( — b)xa'
y= aX ,.C . C,Xa -, ; et, pour déduire de ces nouvelles y ax — b' — ( — b) X a ’ ’ 1 .
formules générales, les valeurs qui conviennent aux équations
particulières, il faut faire a = 8, b=, 7, c = 84, a = 3,
Donc enfin , pour obtenir les valeurs relatives aux équations proposées, il suffit de faire, dans les formules générales obtenues précédemment, a= 5, bx= — 7,c=±=84 | a'=3, //= — 13, c' = — 6, puis d’effectuer les calculs d’après les règles établies, pour les. quantités monomes. / .
La règle consiste, en général, ix substituer a la place des coejjlciens a, b, a', b'. . leurs valeurs considérées avec les signes dqnt elles sont affectées dans les èquett ions particulières , et à effectuer toutes les opérations indiquées ^ d’après les préceptes établis.
Ces applications justifient de nouveau la nécessité d’étendre aux quantités monomes les règles 'des signes établies pour les polynômes, puisque c’est le moyen de rendye les formules générales du premier tlegrév applioables à tout exemple partioulier. Passons à ‘la discussion de ces formules.
, 70* Il résulte dç leur inspection que , dans les applications particulières , on peut obtenir» quatre espèces de valeurs pour réponses à des problèmes' du premier degré, savoir : des yaleurs
positives, des valeurs négatives, des valeurs de la forme ~ . enfin ,
. t * ty P
des valeurs de lu for'tne Lé problème des courriers a donné
lieu à ces quatre résultats que nous nous proposons maintenant
d’interpréter d’uqe ntenièrè générale.
D’abord, les valeurs positives sont ordinairement des réponses aux questions , dans le sens de leur énoncé. Cependant nous observerons que, pour certains problitoies, toute* les valeurs positives ne satisfont pas à l’énoncé. Si, par exemple , la nature du problème exige que les nombres cherchés soient entiers , et qu’on trouve. des nombres fractionnaires , le problème ne peut être- résolu. Quelquefois encore^ la. nature du problème ne per-
DISCUSSION GÉNÉRA !.K
inet pas que les nombres inconnus surpassent des nombres connus et donnés à priori, ou soient au-dessous d’autres nombres. Si les valeurs obtenues, quoique positives, ire satisfont pas à cette condition que comporte l’énoncé, mais qui ne peut s’exprimer par une équation,- le problème ne peut encore être résolu. Ainsi, le» valeur» positives des inconnues- sont , à proprement parler, des réponses directes aux équations ; et elles ne sont des solutions de la question qu' autant que leur nature se concilie avec celle qu’exige l’énoncé. Pour concevoir comment un nombre peut vérifier une équatioH sans vérifier le problème dont elle est la traduction algébrique , il suffit de remarquer qu’une même équation est la traduction algébrique d’une infinité de problèmes , dont les uns admettent tous les nombres absolus possibles pour solution , et les autres m’admettent que des nombres d’une certaine nature.
71. Nous savons 'déjà à quoi nous en tenir sur les valeurs négatives, pour les problèmes à me seule inconnue. Afin de ne rien laisser à désirer, nous allons démontrer le principe du n° S9 pour un problème à plusieurs inconnues.
Il est évident d’abord que, si l’on obtient des valeurs négatives pour quelques-unes des inconnues, les équations du problème no peuvent être satisfaites dans le sens où elles ont été établies; car si un système de nombres absolus , mis pour x, y, z. . ., pouvait les vérifier, les équations qui en ont été déduites par la méthode d’élimination devraient elles - mêmes exister pour ce système. Ainsi l’équation qui ne renferme plus qu’une des inconnues pour lesquelles on a obtenu un résultat négatif, devrait être vérifiée par un nombre absolu, ce qui serait contre l’hypothèse. Il faut donc rectifier l’énoncé du problème , ou du moins les équations qui ■en sont la traduction algébrique .
Actuellement, si, dans les équations , on change les signes des inconnues pour lesquelles on a obtenu des résultats négatifs, les -termes affectés de ces inconnues changeront nécessairement de signe, et l’énoncé du problème sera généralement modifié, en ce que certaines quantités , d'additives qu’elles étaient, deviendront soustractives, et réciproquement.
Je dis enfin que , ces modifications une fois faites , le nouvel énoncé est vérifié par les valeurs obtenues d’abord pour les incon-
DES ÉQUATIONS DU FRER1ER DEGRÉ. 103
nues, abstraction faite de leurs signes. Prenons , pour fixer les idées, trois équations à trois inconnues,
ax + b y + cz — d, a'x + b'y-b c'z == d', a"x + b" y + c"z = d",
et supposons que ces équations aient donné x=p,y= — q, z = — r ; changeons dans ces équations, y et z £n — y et — x, ou bien en y’ et 2' ( en désignant , pour le moment , — y et — 2 par y' et z'). Il vient
ax -f b y' 'b cz'== d, a x -b b' if c'z'-=. d', a" x -f- b" y' + c"r'= d".
Or, ces équations ne différant des précédentes, qu’en ce que y et 2 sont remplacés par y' et z', donneront nécessairement pour résultats : x =p , y'— — q , r'= — r; d’où , remettant — y et — z à la place de y' et de 2'..., 2=2 p , — y = — q., — 2=— r, ou bien enfin,- x‘=p, y — q, 2= r; ce qu’il fallait démontrer.
Ainsi le principe du n° 59 est vrai pour les problèmes du premier degré à plusieurs inconnues. .
Nous terminerons par cette observation , que quelquefois l’énoncé d'un problème n’e&t, par sa’nature, susceptible d’aucune modifioatio’n ; dans ce cas , les valeurs négatives ne sont que des solutions des équations modifiées qui peuvent d’ailleurs être regardées comme la traduction algébrique, d’autres problèmes susceptibles de modification.
72. 11 nous reste maintenant à interpréter des expressions telles
