AO

quc 0 ’ 0’

Soit d’abord l’équation a une inconnue, ax = b, d’où 2= - .

* l Jf

l°Si, pour une hypothèse particulière faite sur les données.

de la question, on a a = 0, il en résulte 2 =

Or l’équation devient, dans ce même cas, 0 X x = b, et ne peut évidemment être satisfaite par aucun nombre déterminé. Remarquons cependant que, l’équation pouvant aussi se mettre sous la

forme -=0,si l’on remplace x par des nombres de plus en plus-

grands , - différera do moins en moins de 0, et l’équation appro-

DISCUSSION GÉNÉRALE

chera de plus en plus d’être exacte 5 en sorte qu’on peut prendre pour x une valeur assez grande pour que - soit moindre qu’aucune quantité assignable.

G’est pour cette raison que les algébristes ont coutume de dire que l’infini satisfait, dans ce cas , à l’équation; et il y a des questions pour lesquelles ces sortes de résultats forment une véritable solution ; mais du moins , il est certain que l’équation ne peut admettre de solution én nombre fini, et c’est tout ce qu’on veut prouver.

2° Si l’on a en même temps, a = 0, 4 = 0, la valeur de x prend

la forme *=2.

Or, l’équation devient, dans ce cas, 0 x x = 0, et tout nombre fini, positif ou négatif, peut satisfaire à cette équation.

Ainsi l’équation { ou le problème dont elle est la traduction algébrique) est indéterminée.

78. C’est ici le lieu de faire une remarque importante sur l’expression g . qui, quelquefois, est le symbole de l’existence d’un

facteur commun aùx deux termes de la fraction , lequel facteur devient’ nul -par l’effet d’une hypothèse particulière.

Supposons, par exémple, qu’on ait trouvé pour résultat delà

* • • ai £3

solution d’un problème, .... a; = -.

Si l’ou'fait, dans cette formule, a= b, il en résulte x== g.

Mais remarquons que a\—P pèut (n°31)so mettre sous, la forme (a — b) (a* + ab + b*) , et que a'-r-b'1 est égal à (a — b) (a -f -4); ainsi , la valeur de x revient à

(a — b) [a7 + ab + b7)

Or, si , avant de faire l’hypothèse a = b, on commence par

supprimer le facteur commun o — b, la valeur de x devient

a3 + ab + 4’ . . .... Sa3

■r= a+"4 » expression qui se réduit a x = ou

•r=-jp dans l’hypothèse de a = 4.

Ji

lits ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ. 16Ü

Soit, pour second exemple, l’expression

En faisant a=b , on trouve pour valeur de x, x , à cause de l’existence du facteur commun a — b; mais si l’.on- supprime d’abord ce facteur, il vient x = expression* qui se réduit

à x = — lorsque l’on fait a — à.

Concluons de là que le symbole - est quelquefois, en Algèbre,

l’indice de l’existence d’un facteur commun entre les deux termes de la fraction qui se réduit à cette forme. Ainsi, avant de rien prononcer sur la vraie valeur de la fraction , il faut s’assurer si ses deux termes ne renferment pas un facteur commun. Dès qu’il n’en existe pas, on conclut que l’équation est réellement indéterminée. S’il en existe un , on le supprime , puis on fait de nouveau l’hypothèse particulière , ce qui donne la vraie valeur de la fraction , qui peut encore se présenter sous trois formes, A a 0

g (A pouvant être 0),-^, auquel cas, l’équation est déterminée , impossible en nombre fini , ou indéterminée.

Cette observation est très utile dAns la discussion des problèmes. ' v •