EXTRACTION DE LA . RACINE CARRÉE

que dan s aucune de g autres partie» qui entrent dan» la composition du carré de R ; 2° que le double produit du premier terme de R par le second, renferme aussi un exposant plus élevé que dans les parties suivantes. Ainsi, les deux parties dont nous venons do parler, n’ayant pu se réduire avec les autres, sont nécessairement les deux termes de N affectés du plus liaut exposant de a, et de l’exposant immédiatement inférieur. D’oi'i il suit que, si N est réellement un carré parfait, 1° son premier terme doit être un carre parfait , et sa racine, extraite d’après le procédé du n° 83, est le premier terme de R ; 2° son second terme doit être divisible par le double du premier terme de R ; et, en effectuant cette division , on a pour quotient le second terme de R.

Afin de pouvoir obtenir les termes suivons .formons le carré du binôme déjà trouvé , et retranchons-le de N ; le reste, que nous désignons par N', renferme encore les doubles produits du premier terme de R par le troisième, du second terme de R par le troisième, plus une suite d’autres parties. Mais le double produit du premier terme par le troisième doit renfermer a avec un exposant plus grand que dans les parties suivantes , et ne peut, par conséquent, avoir été réduit avec ces parties. Donc , ce double produit est le premier terme de N' ; ainsi , ce premier terme doit être divisible par le double du premier terme de R ; et, si l’on effectue cette division , le quotient est le troisième terme de R.

Pour obtenir de nouveaux termes, il faut former les doubles produits du premier terme et du second par le troisième , plus le carré du troisième , puis retrancher tous ces produits du reste N', ce qui donne un reste N" qui renferme encore le double produit du premier terme de R par le quatrième, plus une suite d’autres parties. Mais on prouvera, comme précédemment , ( pie le premier terme de N" est nécessairement le double produit du premier terme de R par le quatrième ; ainsi , en divisant le premier terme de ’S" par le double du premier terme de R , on a pour quotient le quatrième terme de R ; et ainsi de suite.

N. B. Il est absolument indispensable , après avoir obtenu les doux premiers termes de la racine , de retrancher le carré du binôme trouvé, du polynôme N ; car ordinairement, le carré du second terme de R renferme a avec le meme exposant que dans le double produit du premier terme par le troisième; par con-

,, ■. Digttizec*»

DES POLYNOMES.

séquent , il a dû se réduire avec ce double produit. Ainsi , ce n’est qu'après avoir soustrait ce carré, du polynôme N, qu’on peut assurer quo le .premier terme du reste est égal au double produit du premier terme de R par le troisième. La même remarque s’applique aux trois , quatre premiers termes

trouvés.

Nous laissons aux jeunes gens le soin de déduire des raisonnemcns précédens le procédé général de l’extraction de la racine carrée d’un polynôme. Il leur suffit , pour cela , de réunir.toutes les parties qui sont en caractère italique. Nous allons d’ailleurs en faire l’application à un exemple particulier. ’

Soit proposé d’extraire la racine carrée du polÿnome

49a’A’-r24àA3 q-25a4 — 30a34 + 1644,

25a4— 30a3A + 49a>4’— 24aA3+1644 i 5a’— Zab + U*

1er reste'. . . 40 a’A’ — 24aA3 + 1644

— 40 a’A’ + 24aA3 — 1 644

2e reste .... 0

Après avoir ordonné le polynôme par rapport à a , on extrait la racine carrée de 25a4, ce qui donne 5a’ que l’on écrit à la droite du polynôme; puis on divise le second terme — 30a3A par 10a’, double de 5a’ (on écrit 10a’ au-dessous de 5a’) ; le quotient est — 3aA que l’on place à la droite de 5a’. Les deux premiers termes de la racine sont donc 5a’ — 3aA. Carrant ce binôme/ on trouve 25a4 — 80a34 + 9a ’A’, qui , retranché du polynôme proposé, donne un reste dont le premier terme est 40a’A’. Divisant ce premier terme par 10a’, double de 5a’, on obtient pour quotient , -f 44’ ; c’est le troisième terme de la racine, que l’on écrit à la droite des 'deux premiers termes. Formant le double produit de 5a’ — 3aA par 44’, et le carré de 44’, on trouve 40a’A’ — 24aA3 + 10A4J polynôme qui, retranché du premier reste , donne 0 pour reste final. Ainsi, 5a’ — 3aA-f-4A’ est la racine demandée, ou plutôt (n° 81) l’une des valeurs de la racine demandée. L’autre valeur est — 5a’ + 3aA — 44’, et on l’obtiendrait en écrivant — 5a’ pour la racine carrée de +28a4, puis en divisant — 30a34 par — 5a’, et continuant l’opération