EXTRACTION OE LA RACINE CARRÉE

On fait toutefois , par extension , subir à ces symboles les mêmes simplifications qu’aux expressions irrationnelles qui offrent des opérations exécutables. C’est ainsi que V ■ — 9 revient

(n° 84) à i/9. OU 3 V//— ”T;

de même, V — 4a3 = Via- . V — 1 =2 aV- — 1,

V—9 a-b = Via- x — 24 = 2 a |/~24 == 2a l/^l .

86. Tâchons maintenant de découvrir une loi de formation pour le carré d’un polynôme quelconque, de laquelle nous puissions déduire un procédé pour l’extraction de la racine carrée.

On a déjà vu (n° 19) que le carré d’un binôme, a + h, est égal à a* + 2a4 + 4’.

Soit actuellement à former le carré d'un trinôme a + b ■+■ c. Désignons, pour le moment, a +4 par une seule lettre »; il vient

(à + J + r)4 = (« + c)’ = «’ + 2 sc + e3.

Or on a

s- = (a+4)3 — a3-f 2a4+43, 2*e = 2(a + 4)c== 2ae4,24é.

Donc (a + 4 + c)- = a- -f- 2a4 + b- -f- 2ae + 2 bc ; c'est-à-dire

que le carré d’un trinôme se compose de la somme des carrés des trois termes , et des doubles produits de ces termes multipliés deux a deux.

Je dis que cette loi de composition est vraie pour un polynôme quelconque. En effet , supposons-lâ vérifiée pour un polynôme d’un nombre quelconque de termes , et voyons si elle est vraie pour un polynôme renfermant un terme de plus.'

Afin d’y parvenir, soita-f-4+c+d-f-...-f-t-t-A, un polynôme composé dq m + 1 termes, et désignons par s la somme des m premiers termes, a + b + c + d+ ... + i;s + k représente le polynôme proposé, et l’on a (* + A)3 = a3 + 2*4 + k-, ou, remettant à la place de* sa valeur,

(a+IJ* * (a + à-f-c-f-dd* • • (a-f-4-f-c-f-d. . • -f- *) 1-f l1.

. Or la première partie de cette expression se compose , par hypothèse, des carrés de tous les termes du premier polynôme et

DES QUANTITÉS ALGÉBRIQUES

des double » produite de loue cee termes deux à deux ; la seconde partie renferme tous les doubles produits des termes du premier polynôme par le nouveau termè introduit k ; enfin , la troisième partie est le carré de ce terme. Donc, la loi de composition, énoncée ci-dessus , est encore Traie pour le nouveau polynôme. Mais elle a été reconnue :vraie pour un trinôme ; donc elle a lieu pour un polynôme de quatre termes; étant vraie pour quatre , elle l’est nécessairement pour cinq, et ainsi de suite. Donc elle est générale.

On peut énoncer la loi d’une autre manière : Le carré d’un polynôme renferme le carré du premier terme , plus le double produit du premier terme par le second , plus le carré du second ; plus les doubles produits de chacun des deux premiers termes par le troisième, plus le carré du troisième ; plus les doubles produits de chacun des trois premiers termes par le quatrième, plus le carré du quatrième ; etàinsi de suite. Cet énoncé, qui. est évidemment compris dansle premier, nous conduira plus aisément qu procédé de l’extraction de la racine carrée d'un polynôme.

On trouvera , d’après cette loi ,

(3a“ — 2 ab + 4*1)1 = 9a4 1 2a3* + 4a1*1 +24a’i’— 16a*3 + 16*4,

ou, réduisant', 9a$ — 12a3*-+28a1*1 — 16a*3 + 16*4;

(5a1* — 4 abc + 6*®1 — Sa’c)1=25a4*1 — 40a3*1® + 7 6a1*1®1 -i-48 a*1®3 +86*’®'* — 30a4*c q- 24a3*c’ — 36a1*®3 -f- 9a*®1..

Passons à l’extraction de la racine carrée.

87. Désignons par N le polynôme dont il faut obtenir la racine, et par R cette racine, que nous supposons pour le moment déterminée ; concevons en outre que ces deux polynômes soient ordonnés par rapport' aux puissances descendantes de l’une des lettres qu’ils renferment , a par exemple.

Cela posé , j’observe d’abord que les deux premiers termes de N (en le supposant ordonné), peuvent donner sur-le-champ le premier et le second terme de R ; en effet , il résulte évidemment de la loi de formation du carré (n° 86) , 1° que le carré du premier terme deKren/erme un exposant de la lettre a, plus grand