Nous terminerons par les remarques suivantes

1° Un binôme ne peut jamais être un carré parfait , puisqu'on sait que le carré du polynôme le plus simple , c’est-à-dire d’un binôme , renferme trois parties distinctes qui ne peuvent éprouver aucune réduction entre elles. Ainsi, l'expression a*+b* n’est pas un carré ; il lui manque le terme ± 2 ab pour qu’elle soit le carré de a ± b.

2° Pour qu’un trinôme ordonné soit un carré parfait , il faut que les deupc termes extrêmes soient des carrés , et que celui du milieu soit le double produit des racines carrées des deux autres. Alors, la racine du trinôme peut s’obtenir immédiatement. Extrayez les racines des deux termes extrêmes , et affectez les deux racines du même signe ou de signes contraires , suivant que le terme moyen est positif ou négatif. Vérifiez ensuite si le double produit de ces deux raciner donne le terme moyen du trinôme. Ainsi, 9a6 — 48a44J+64a’44 a pour racine carrée, — l/64aa44 , c’est-à-dire 3a3 — 8 a4J ; car 3o3 x — 1604» == — 48o44*.

4oa -(- 12a4 — 94’ ne peut être un carré parfait, quoique 4a1 et 94’ soient les carrés de 2o et de 34, et que 12o4 = 2ox 64; mais — 94» n’est pas un carré.

DES POLYNOMES.

3° Lorsque , dans la série d’opérations que comporte le procédé général , le premier terme de l’un des restes n’est pas exactement divisible par le double du premier terme de la racine , on peut conclure que le polynôme proposé n’est pas un carré parfait. C’est une conséquence évidente des raisonnemens que nous avons faits pour parvenir à ce procédé.

4° Enfin , on peut appliquer aux racines carrées des polynômes non carrés parfaits , les simplifications du n° 84.

Soit, par exemple , l’expression V a'b -f- 4a,4J + 4aA3.

La quantité sous le radical n’est pas un carré parfait; mais elle peut se mettre sous la forme ab (a* + \ab + bb'). Or le facteur entre parenthèses est évidemment le carré de a + 24; d’où l’on peut conclure (n° 84)

Va'b+\a'b' + J>aP = (o+24) Vti.

90. Calcul des radicaux du second degré. L’extraction de la racine carrée donnant naissance à de nouvelles expressions algébriques, telles que j/a, 3j/4,'7v/2, connues sous le nom de quantités irrationnelles ou radicaux du second degré , il faut établir des règles pour effectuer sur ces expressions les quatre opérations fondamentales.

Définition. Deux radicaux du second degré sont dits semblables lorsque la quantité qui est sous le radical est la même dans les deux radicaux. Ainsi, 3 a\/b et 5c\/b, 9|/2 et 7j/2, sont dits des radicaux semblables.

Addition et soustraction. Pour ajouter ou soustraire des radicaux semblables , on ajoute ou l’on soustrait les deux coefficiens , puis on affecte la somme ou la différence, du radical commun; ainsi, l’on a

3aj/4 + 8c|/4=(3a + 5c)j/4, 3 a\/b — Sej/4=(3a — '&c)\/b; de même

7l/2Ï+3l/2Ï = 101/2^, iVTa — iVYa — hVYa.

Deux radicaux peuvent, au premier abord , n’ètre pas semblables , et le devenir par les simplifications du n° 84.