PROBLÈME DES LUMIÈRES

103. Cinquième problème. Trouver sur la ligne qui joint deux lumières A et B d’intensités differentes , le point où elles éclairent également .

(On suppose connu ce principe de Physique, que les intensi/és\ d’une même lumière, à deux distances différentes, sont en raison I inverse des carrés de ces distances.

Solution. Soient a la distance AB des deux lumières, b l’intensité de la lumière A à l’unité de distance, c l’intensité de la lumière B à la même distance. Soit C le point cherché ; faisons AC = j, d’où BC = « — x.

Puisqu’en vertu du principe de Physique, l’intensité de A à

DE l’éqiatio* de second degré. ' 157

la distance 1 étant b, son intensité aux distances 2 , 8 , 4 , est ,ensu*t <ïu ® *a distance x elle doit être expri-

mée par — . On a de même pour l'intensité de £ à la distance

- ; mais , d’après l’énoncé, ces deux intensités doi-

vent être égales ; ainsi l’on a l’équation

d’où l'on tire , en développant et réduisant , (b — c)x* — 2 abx = — a2 b.

b — c v ( b — c)2 a(b±y/bc

, ab \ / a2b2

Cette équation donne x = - -± y Yh —

ou réduisant,

expression qui se simplifie si l’on observe , 1° que b dr | /bc peut se mettre sous la forme y/b. y/b ± y/b. y/c, ou y/b. (y/b ± y/c) ; 2° que b—c = (y/by—(y/c)2==:(y/b + y/c)(\/b — y/c). Ainsi, en considérant d’abord le signe supérieur de l’expression cidessus , on a

ay/b .(y/b + y/c) ay/b

On obtient de même, pour la seconde valeur,

ay/b(y/b — y/c) ay/b

Au reste , ces valeurs simplifiées pouvaient s’obtenir immédiatement d’après l'équation proposée. En effet , l'équation

revient à

Or , si l’on extrait la racine carrée des deux membres , il vient

1 88 niscussiox

d’où, chassant les dénominateurs et transposant,

a\/b — xy/b = +zxy/c ; donc x — •

N. B. On a d’abord obtenu les valeurs sous une forme plus compliquée, parce qu’on a résolu l'équation du second degré par la méthode generale , qui est moins simple que celle qui vient d’étre employée.

Discutons maintenant les deux valeurs simplifiées. On a

ay/c

^ > d’où l’on tire

'y/b + y/c’ — ay/c y/ b — y/c'

Soit d’abord b]>c.

La première valeur de x, y/b

ay/b

, est positive et plus petite

que a , car — est une fraction ; ainsi cette valeur donne

pour le point également éclairé, un point C situé entre les points A et B. On voit en outre que ce point est plus voisin de B que de A ; car, à cause de b^>c, on a, y/b+y/b, ou 1y/b~> y/b + y/c, „ . y/b .1 , ay/b a , , .

d 0U Vb + ÿ/o > 2 ’ et par C0nsequent ÿb + V^ 2- Ge a 0lt

être en effet , puisqu’on suppose l’intensité de A plus forte que «elle de B.

La valeur de a — x correspondante , a

ay/c

plus petite que “ , comme il est aisé de le vérifier

, est positive et

t ' j ay/b

La seconde valeur de x, — ^ , est encore positive, mais

plus grande que a; car on a > 1, Cette seconde va-

leur donne donc un second point C' situé sur le prolongement de AB , et à la droite des deux lumières. On conçoit en effet que les