Reprenons l’équation générale .r1 + px = y , qui , étant

résolue, donne x — — ±^/ q +

Pour que cette expression, qui renferme un radical, puisse être évaluée, soit exactement, soit par approximation, il faut (n"85) que la quantité soumise au signe radical, c’est-à-dire

q + 7-, soit positive. Or, 7- étant nécessairement positif, quel 4 4

que soit le signe de p, il s’ensuit que le signe de la quantité

9 + dépend principalement de celui de q, ou de la quantité toute connue.

Cela posé , soit d’abord q positif, auquel- cas l’équation est de la forme x1 ±px = + q ( on met ici les signes des coefficiens en évidence) ; on en déduit

or il est visible que les deux valeurs de x seront réelles et pourront être déterminées , soit exactement si q + est un carré

parfait, soit avec tel degré d’approximation que l’on voudra.

Toutefois, de ces deux valeurs, la première sera positive .et répondra directement à l'équation , ou au problème dont cette

équation est la traduction algébrique ; car le radical ^

étant numériquement plus grand que l’expression

qFj +\/ y + , est nécessairement de même signe que le

radical. ,

La seconde valeur est, par la. même raison, essentiellement négative, puisqu’elle doit avoir le même signe que celui dont le

DISCUSSION GÉNÊHALE

radical est affecté. Considérée indépendamment de son signe, elle répond, non plus à l’équation telle qu’elle a été établie, mais à cetto équation dans laquelle on aurait remplacé x par — x, c’est-à-dire à x n =ppx—q.

En effet, celle-ci donne x

valeurs qui ne diffèrent des précédentes que par le signe.

Il est d’ailleurs remarquable que la même équation lie entre . elles deux questions dont les énoncés diffèrent néanmoins par le sens de certaines conditions. ( Voyez les deux problèmes du n°W8,) ,

Soit actuellement q négatif, auqilel cas l'équation est de la forme x’ zkpx= — q, et les valeurs de x sont

Pour que l’extraction do la racine puisse s’effectuer, il faut que l’on a//q<^^-. Cette condition étant satisfaite, les deux valeurs sont réelles.

Comme d’ailleurs

est numériquement plus petit

s’ensuit que ces valeurs sont toute» deux négative» si

p est positif dans l’équation , c’est-à-dire si cette équation est de la forme x’ -\-px =fe — q ; et elles sont toute* deux potilive» si p est négatif, c’est-à-dire si l’équation est delà forme x' — px= — q.

Les propriétés du n° 98 conduisent au même résultat. En effet , soient a et b les deux racines de l’équation du second degré x1 +px=q ; on a entre ces racines et les coefiiciens les relations

a + à= — p, ab j= — q.

Cela posé , si q est potitif dans le second membre , et par conséquent négatif dans le premier , il s'ensuit que les deux racines sont de *igne* contraires, puisque leur produit est négatif. D’ailleurs, leür somme algébrique est négative ou positive, suivant - que p est positif ou négatif; ce -qui veut dire que, des deux

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DI l'ÉQCATIOS DU DECOUD DEGRE.

racines , la plus grande numériquement est de signe contraire an coefficient p.

Si, au contraire, q est négatif dans le second membre, et par conséquent positif dans le premier, comme le produit des deux racines est alors positif, il faut nécessairement qu’elles soient de même signe, savoir : toutes les deux négatives quand/) est positif, et toutes les deux positives quand/) est négatif.

100. Le cas où les deux racines sont positives mérite une attention particulière.

L’équation étant alors de la forme x1 — px— — q, devient, par un simple changement de signe ,

px — x2 — q, ou x(p — x) — q, __

et peut être considérée comme la traduction algébrique de ce problème : Partager un nombre donné p en deux parties dont le produit soit égal à un autre nombre donné q (pet q sont supposés ici des nombres absolus).

Car x désignant l’une des parties, p — x est l’expression de l’autre partie, et x(/> — x) l’expression de leur produit, qui, par hypothèse , doit être égal à q.

Remarquons maintenant que l'équation est toujours la même, soit que l’on désigne par x la plus grande partie, soit que x représente la plus petite; ainsi, l’équation résolue ne doit pas donner l’une plutôt que l’autre; elle doit donc les donner toutes les deux à la fois. Ceci explique pourquoi l’équation admet deux solutions directes .

Toutefois , pour que les deux valeurs de x soient réelles , c’està-dire pour que le problème soit possible, il faut que l’on ait

Et en effet, quelles que soient les deux parties cherchées, ou peut toujours désigner leur différence par d; et comme leur somme est p, on aura ( n° 4), pour les expressions de ces deux parties , -, v

P.d et €

2 + 2 et 5

152 DISCUSSION GÉNÉRA.!*

Effectuant le produit des çes expressions, on trouve (n" S)

quantité essentiellement moindre qucÇ-, à moins que l'on ne

suppose d = 0 , auquel cas les deux parties sont égales , et leur

produit est Il est donc absurde d’exiger que le produit, qu’on

avait d’ailleurs représenté par g , soit plus grand que .

De là résulte celte conséquence que le plut grand produit qu’on puisse obtenir en décomposant un nombre absolu en deux parties , et multipliant ces deux parties entre elles , est le carré de la moitié du nombre.

Soit, par exemple, 56 le nombre à partager.

On a

On voit ici que, plus la différence des deux parties et petite, plus leur produit est grand ; et ce produit atteint son maximum quand les deux parties sont égales.

Examen de quelques cas particuliers.

101. 1° Si, lorsque g est négatif, c’est-à-dire lorsque l’équation est de la forme x* +px = — g {p étant de signe quelconque) ,

on suppose g égal à'Ç-, le radical, V? ?> des deux valeurs

de x, devient nul, et ces valeurs se réduisent l’une et l’autre à

x — — ^ ; on dit alors que les deux racines sont égales.

En effet, si l’on remonte à l’équation, èt qu’on y remplace g

fl* t flJ

par elle devient x * + px = rl-G-, d’où l’on tire

x3+px + '— ■ =0, ou

RE l’ÉQUATIOS DC SECOND DEC Ht.

ISS

Dans ce cas , le premier membre est le produit de deux facteur s égaux. On peut donc dire aussi que les racines de l’équation sont égales, puisque alors les deux facteurs égalés à xéro donnent la même valeur pour x.

2° Si, dans l’équation générale x* -\-px — q, on suppose

y = 0, les deux valeurs de x se réduisent à x —

P JL.P 2t2’

oux=0, et à x =

En effet, l’équation est alors de la forme x,+px = 0 ou x(x + p)=0 , équation que l’on peut vérifier, soit en posant x = 0, soit en posant x+p = 0, d’où x — ■ — p.

3" Si, dans l’équation générale x’+px — q, on suppose p— 0 , il en résulte x,=q, d’où x—± y/q ; c’est-à-dire que, dans ce cas , les deux valeurs de x sont égales et de signes contraires, réelles si q est positif, et imaginaires si q est négatif. L’équation rentre alors dans la classe des équations à deux termes , traitées n° 93.

4° Supposons à la fois p = 0, q =0$ l’équation se réduit à ■ra = 0, et donne deux valeurs de x égales à 0.

102. Il nous reste à examiner un cas singulier qui se rencontre souvent dans la résolution des problèmes du second degré. Pour cela, il faut reprendre l’équation ax » + bx — c. Cette

équation résolue donne x

— + 4ac

Supposons maintenant que, d’après une hypothèse particulière faite sur les données de la question , on ait a= 0 ; l’expres-

sion de x devient

— 4±Æ j, , * = - — - — , dou

La seconde valeur se présente sous la forme de Y-infini , et peut être regardée comme nnê réponse , si toutefois la question proposée est susceptible d’admettre des solutions infinies (n° 72).

Quant à la première jj , il faut tâcher de l’interpréter.

DISCUSSION gêsésalï

D’abord , ci l’on remonte à l’équation , on voit que l’hypothèse

a = 0 la réduit à bx — c; d’où l’on tire x — -.expression finie et déterminée qui doit être regardée comme représentant la vraie valeur de ? , dans le cas qui nous occupe.

Cette valeur ^ peut être déduite de l’expression

— b + \/ b 1 + 4ae “la •’

par une transformation convenable. Multiplions en effet les deux termes de cette expression par — b — |/i1 + 4oc, elle devient

b1 — (êa + lac) — lac

-, ou ■

2a(— b— y/b' + lac) 2» ( — 6— j/ b*+ lac)

ou, supprimant le facteur 2a commun aux deux termes,

— b — y/ô’ 4* 4ae

Actuellement, l’hypothèse a=0 introduite dans cette dernière

expression , la réduit à — — , ou résultat trouvé ci-dessus.

£ Cette transformation a æu pour objet de faire ressortir dans les deux termes le facteur 2a, dont la présence avait réduit l'expression à la forme jjj.

Soit supposé à la fois a=0 , 6 = 0. Les deux valeurs de x deviennent l’une et l’autre de la forme

Or, si l’onTemonte à l'équation elle-même, on reconnaît qu’elle se réduit à e=0 , et qu’elle ne peut être satisfaite par aucune valeur de s; mais on peut prouver aisément que, dans ce cas, les deux valeurs de x sont infinie*.

— 6 + 1 /b* + lac 2 a

En effet, la première x

-, se réduisant

DE l’é<1HT101 DU SECOND DEGRÉ,

d’abord à ~ par l'hypothèse a = 0, devient - lorsqu’on y joint l’hypothèse A = 0,

Quant à la seconde x= ^ ■■ , en faisant subir à

cette expression la même transformation qu’à la première, c’està-dire en multipliant les deux termes par — b+y/b* + Àac , et supprimant ensuite le facteur 2 a commun aux deux termes, on la change en celle-ci :

— à + l/F+4 ac y

expression qui se réduit à — -g- , par la double hypothèse ....

Enfin , lorsqu’on suppose en même temps a = 0, à=0, c=0,

< . * 0 les deux valeurs de x se présentent sous la forme ^ , sans qu’aucune transformation puisse conduire à des valeurs de x déterminées. Et en effet, l’équation se réduit , dans ce cas, à 0 =0, et est tout-à-fait indéterminée .

C’est le seul cas d’indétermination que présente l’équation du second degré.

On peut parvenir aux conséquences précédentes au moyen d’une analyse beaucoup plus simple, qui aura d’ailleurs l’avantage de s’appliquer par la suite à des équations d’un degré quelconque. * ;

Reprenons l’équation ax* -f- bx = e,

et posons x= - ; il en résulte

— 4 - — =c, ou bien cy* — by — æ =0 ,

(en chassant les dénominateurs et transposant).

Cela posé ; soit d’abord a=0 ; cettq dernière équation devient

■ w ty — *ÿ=o,

et donne deux valeurs y =0, y^y

DISCUSSION GÉNÉRALE

Substituant ces valeurs dans la relation x- , on en déduit

Si, outre l’hypothèse a = 0, on a encore b— 0, la valeur

x= f devient elle-même ^ ou infinie, b 0 J

Et en effet, l’équation ey’ — by — a=0, se réduit , dans cette double hypothèse, àey5 = 0, équation dont les deux racines sont égales à 0. Ainsi les valeurs de x correspondantes sont toutes les deux infinies.

Quant au cas où l’on a en même temps a = 0 , £ = 0 , e=0, l’équation ey’ — by — a = 0 se réduit à 0 = 0, comme l’équation ax', + bxr=c, et admet une infinité de valeurs pour y, d’où il résulte une infinité de valeurs pour x.

Nous allons maintenant appliquer les principes de cette discussion générale à divers problèmes qui donneront lieu à toutes les circonstances qu’on peut rencontrer dans les problèmes du second degré.