Sixième problème. Trouver deux nombres tels que la
différence de leurs produits par les nombres respectifs a et b soit
égale a un nombre donne s , et que la différence de leurs carrés soit
égale à un autre nombre donné q.
Solution. Soient x et y les nombres cherchés; on a évidemment
. , . . f — buz=s,
les deux cqnations j ^ '
DISCUSSION
De la première on tire x = - ^ ■ , valeur qui, substituée
dans la seconde , donne ^
(a7 — />7)y7 — 2 bsy = s2 — a2q... (1);
donc
ht rfc a V'' s’ — — g ( «7 -*-è7 )
Reportant cette valeur dans l’expression de x en y, on trouve
ht
(ht±:aVs2 — ?(«’ — «T
d’où
( Il est nécessaire d’observer que, dans ces valeurs de y et de x, les deux signes supérieurs se correspondent, ainsi que les signes inférieurs. )
Discussion. Nous supposerons, dans tout ce qui va suivre, que a, b, q, s, soient des nombres absolus; s’il en était autrement, certains termes des valeurs de x et de y changeraient de signe, et il faudrait opérer ces changemens avant de discuter.
Soit a b , d'où a7 — b’ /positif ,
D’abord , pour que les deux valeurs de x et de y soient réelles , il faut que l’on ait
?.(«’ — **)<*• , d’où ?<^7ZT,-
Supposons cette dernière condition remplie , et detçrminons les signes dont les deux systèmes de valeurs sont affectés.
Le PREMIER SYSTÈME EST
as + h V — q { a‘ — b~)
hs + V' s* — q ( a7 — h‘‘ )
Les deux valeurs de ce système sont nécessairement positives et forment par conséquent une solution directe du problème, tel qu’il a été établi.
Le SECOND SYSTÈME EST
bt — aV/*a — y (a* — fr.)
La valeur de x est essentiellement positive; car de a>A on
tire «*> b»r et à fortiori, as> tVs' — q{a' — b>), puisque le radical est plus petit que *.
Quant à celle de y, elle peut être positive ou négative.
Pour qu’elle soit positive, il faut que l’on ait
bt'yaV — y(aa — ,
d’où , élevant au carré , A1#1 ]> a1*1 a'q ( oa b1 ) •
ou, ajoutant aux deux membres a'q(a' — b'), et retranchant b'*\ a’?(aa — èa)>*’(a3 — A3),
d’où, en divisant par a’ ( a3 — b’), q's —
Ainsi, pour que le second système soit encore une iolution
réelle et directe, il faut que l’on ait a < — - — mais «S--
c’est - à - dire que q soit compris entre les deux nombres —
et
(Observons, en passant, que la condition q > il pouvait
être obtenue plus facilement, en remontant à l’équation en y.
Cette équation étant ( a’—* ) y’ — 2fcy=#> — a’y, on voit que, dans l'hypothèse de «> b, elle est de la forme x'—px=—q
si l’on a a3y>,3 ou y>~, et l’on sait (u° 100) qu’alors.les " deux racines sont à la fois positives.
Si 1 on avait au contraire q < — , auquel cas on aurait, à plus
forte raison, q , la valeur de y du second système serait
négative-, et ce système (abstraction faite du signe de y) ne serait
Discussion
plus une solution de l’énoncé, tel qu’il a été établi, mais bien de
. ' . ( ax+by=s ) .
celui dont les équations seraient j ^ ^ ^ >, et qui ne
différerait du précédent qu’en ce que s exprimerait une somme au lieu d 'wie différence.
Ainsi, dans le cas de a> b, le problème admet deux solutions réelles et directes toutes les fois que l’on a
A — , mais g < r î
et elle n’en admet qu’a»» seule si l’on a g < — .
En prenant pour a, b, s, des nombres absolus quelconques, pourvu toutefois que a soit > b, et choisissant ensuite pour q
un nombre compris entre les deux limites — et^a on sera certain d’obtenir deux solutions directes.
Soient, par exemple, a = 6, 4 = 4, *=18, d’où l’on déduit
On pourra supposer q = 10, par exemple, et il viendra
Iæs solutions x — ~, y=g et x — ^ » y — *oruieP*
évidemment deux solutions directes des équations
Qx — 4y=15,
jr2 — y2 =10.
Mais si l’on supposait a=6, 4 = 4, *=15, y = 5, il serait facile de reconnaître que, des deux systèmes, le premier seul donnerait une solution directe.
tll QUELQUES PROBLÈMES DD SECOND DEGRÉ.
Cas particuliers qui se rapportent à l’hypothèse de & ]> b.
Soit 7 = — , d’où 7 (a* — b2) = s2.
Les deux systèmes de valeurs de x et de y se réduisent à x = — , y= J'* Ainsi, dans cette hypothèse, il n’y a
qu’une solution du problème , et elle est directe.
Soit encore y = — ; d’où s2=a2q et s—ay/q;
le premier système devient.
le second.
as + b\/b2q
bt + a\/b2q 2<zè .
as — b\/b2q
* ! a3 — b1 vit
Et eu effet , supposons « 5 = a2q dans l’équation en y; elle se réduit à (a2 — b2) y2 — 2 bsy— 0 , d’où l’on déduit 2 bs <ïab
Reportons chacune de ces valeurs dans x=^t?;
% t 8 fl'1 >|* f)*
il en résulte x= -=1/7, x = —.1/7.
Soit maintenant a <^b; d’où a1 — h2 négatif .
Les expressions de x et de y peuvent se mettre sous la forme1
— as rp b V' s2 + 7 ( b 2 — a2 ) f b2 — a2 ’
— bszç.aV's2-\-q(bt — a2)
Ces valeurs sont toutes réelles , puisque la quantité sous le radical est essentiellement positive.
rBAPrsrOB«4TIO!(S
Quant aux signes, la première valeur de x est essentiellement négative , et il én est de même de la première valeur de y. Ainsi ces valeurs, abstraction laite de leur signe, répondent, non aux équations proposées, mais aux équations by — ax—s, x * — y’=g. dans la première desquelles l'ordre de la différence entre leu produits ax et by est renversé.
La seconde valeur de x est nécessairement positive; car de a, on déduit s' + g (fr — puisque le radical est
numériquement plus grand que s.
Mais la seconde valeur de y n’est pas toujours positive. Pour qu’elle le soit, il faut qu’on ait la relation
a J/V + g(l>‘ — a1) bs,
d’où, élevant au carré, «V+a’y {h’1 — ai) t>’s‘ ,
ou , transposant a^si , a1 g ( è’ — a5 ) ^> ( i’ — «’ ) »%
et divisant par «’( è1 — «’), .
En donnant à a, b, s, g, des valeurs particulières, telles que
l’on aitè> a, et -, le problème sera encore susceptible d'une solution directe.
Soit enfin a = b; d’où a1 — bJ = 0.
Le premier système de valeurs devient, dans cette hypothèse,
2 as 2 as
et le second, x=|j , y = .
Mais si l’on remonte à l’équation (a* — b')y ' — 2i*y=*’ — a3y, qui, lorsqu’on fait a=/>, se réduit à — 2 asy—s' — a1q;
ai g — s 2
on en déduit
et l’expression do x en y, x = ^ •
, donne x =
Vas ’ a’q + s1
Vas
(On parviendrait aux mêmes résultats en imitant l’un des procédés suivis n° 102 ^c’cst-à-diro en faisant dans l’équation en y,
y—-, ou bien, en mettant en évidence le facteur commun
