JROTIOKS SUR LES OPÉRATIONS

9. Les premiers besoins de rhomme en société ^ le condaisent journellement à résoudre des questions pour lesquelles il est' obligé de combiner deux ou plusieurs nombres , soit de même nature, soit de nature différente. 'Ces combinaisons constituent les opérations de l* Arithmétique ou le calcul numérique. Afin d'en faire connaître Torigine et la liaison ^ nous allons nous proposer quelques questions relatives au commerce.

Première. Un marchand de drap a vendu à une première

personne 5 ûunes = d'une certaine étoffe; à une seconde pet-'

eonne 7 aunes - \ à une troisième, i a aunes -rdela même étoffe.

Le marchand désire connaître le nombre total d*aunes vendues. Il faut qu'il réunisse en un seul nombre les trois nombres d'aunes vendues ; en d'autres termes , il fera I'âddition de bes trois nombres composés Rentiers et de fractions.

Seconde. Ces trois nombres faunes ayant été levés sur une même pièce dont la longueur était de 3o aunes =, le marchand

veut sauoir ce qui doit lui rester sur cette pièce. Il cherchera

s la différence entre le nombre 3o ^ qui exprimait la longueur

de la pièce et le nombre total d'aunes vendues^ c*est-à*dire qu'il sera conduit à SOUSTRAIRE le second nombre du premier.

Troisième. Une personne a acheté 4^ aunes d'une certaine marchandise à raison de â5 francs l'aune; on demande la somme qu*elle doitpayer pour lés 48 aunes.

Il est clair que pour obtenir le prix cherché > on doit prendre 48 fois 225 francs ou faire un total de 48 nombres égaux à a5 francs. Cette opération s'appelle multiplication , et n'est qu'une espèce ff addition; elle consiste à ajouter un nombre plusieurs fois à lui-même.

Reprenons la même question ; en changeant toutefois les valeurs des nombres ou des données de la question.

la NOTIONS SUR LES OPÉRA TIONS.

Une personne a acheté — d^aune dune certaine marchan» dise, à raison de — de franc l'.aune; en demande ce qu'elle doit

payer pour les — d'aune*

On conçoit que si Taune coûte — de firanc, — d*aune , qiii n est qu'une partie de Taune , doit coûter une partie de -^ marquée par — ; c'est-à-dire que , pour obtenir la réponse à

la question , il faut prendre les — de — ; et cette opération

â'appelle une multiplication de fractions. On l'appelle ainsi ^ parce que la question qui y donne lieu , est absolument la même» aux données près, que celle qui conduit à une multiplication de. nombres entiers.

Au premier abord, le mot multiplication , qui entraine avec lui l'idée d'augmentation , né semble pas propre à désigner une opération qui consiste à prendre d'un nombre une partie indiquée par une fraction. Mais on a trouvé le moyen de lier la multiplication des nombres entiers et la multiplication des fractions, en disant que multiplier un nombre, quel quil soit, par un autre, c'est composer un troisième nombre avec le premier, comme le second est composé avec tunité. Si les deux nombres sont entiers, il est clair, d'après cette définition, qu'il sufHt de prendre le premier autant de fois qu'il y a d'unités dans le second ; et si les deux nombres sont des fractions , il faut prendre de la première fraction une partie indiquée par la seconde.

Quatrième question. Une personne a acheté la aunes ' dune certaine étoffe , pout la somme de i/^ francs ; on demande le prix de l'aune.

On conçoit que, si ce prix était connu , en le prenant la fois, ou le multipliant pana , on devrait avoir un résultat égal à 84.

DE L'ARITHMérlQVE. l5

La question conduit donc à trouver un troisième nombre qui fnultiplié par le second la, reproduise le premier 84. Cette opération a reçu ie nom de Division.

Pour rendre raison de cette dénomination , qui donne l'idée de I^ séparation d*un nombre en plusieurs parties égales , supposons que Ton ait à partager également une somme de S4fiancs entre is personnes. II est clair que, si la part de chaque personne était connue, en la multipliant par lâ^ on devrait produire 84* On voit donc que diviser un nombre 84 en autant de parties égales qiiily a d^ unités dans un nombre i3, et chercher un troisième nombre qui^ multiplié par un second la, reproduise un premier 84 > sont deux opérations identiques.

Reprenons la même question que ci-dessus , en prenant des

fractions pour les données. Une personne a acheté 3 âaune

pour -^ de franc ; on demande le prix de l'aune,

La question se réduit encore dans ce cas/à trouver un trdi-

sième nombre tel , qti^en en prenant les ^ , ou le multipliant par

5 IQ , . . •

7;, on reproduise — . On a donc encore une division à eJBFectuer

*^ ao

dans le sens qui vient d'être attribué à ce mot, et non dans le

bens d'une séparation en parties égales.

Il nous serait facile de citer de nouvelles questions susceptibles de conduire aux quatre opérations dont nous vehons de parler ^ et puisque ces questions se présentent à chaque instant dans toutes les circonstances de la vie , il tant avoir des moyehe d'exécuter les opérations que leur résolution exige: tel' est T objet principal de la première partie des Mathéniatiques.

L'Arithmétique a pour objet spécial d^éttabUr des règles fixes et certaines pour effectuer toutep lés opérations possibles sur les nombres. Elle ccmiprénd encore une foule de propriétés qui ont été découvertes à l'occasion des recherches qu'on a dû faire pour parvenir aux procédés, et pour en faciliter l'usage. Nous allons exposer successivement ces opérations , en nous

l4 DE L*ADDITI01C.

rappelant (n^â) que^ pour rendre les procédés indépendans^ de toute espèce de question , il convient de considérer les nom* bres comme des nombres abstraits. Toutefois , dans les applications destinées à familiariser les commençans avec les procédés f nous pourrons nous proposer des questions relatives à des nombres concrets.

Pour aller du simple au composé , nous commencerons par exposer les opérations sur les nombres entiers.