QUELQUES AUTRES QUESTIONS
Donc 9 puisque 5oo ouyriers ont coûté 880^, un seul ouvrier
coûte r — OU 1^76".
Chaque ouvrier revient donc à i' 76* par. jour.
^39. La détermination des valeurs moyennes de plusieurs choses de valeurs différentes, est un cas particulier de la règle d*^Uiage de la première espèce. '
On appelle valeur moyenne Ae plusieurs choses dont les va** leurs particulières sont déjà connues, la somme des Valeurs de ces choses , avisée par leur nombre»
Ainsi, dans le cas où Ton n*a que deux choses, la valeur nvoyenne est la demi'-somme des valeurs de ces choses; en d'autres termes, c'est (n®ac6) la moyenne différentielle entre les valeurs de ces deux choses.
Quatrième exemple. On a mesuré à quatre reprises différentes la longueur d'un parc. On a trouvé I9 première foi^, pour cette longueur, aBo"*'""", 4^9; la seconde , aSo" , 696 ; la troisième, 349"* j 75, enfin la quatrième, aSi*", i58. On demande la Iongueur du parc.
Puisque, dans les quatre opérations , les mesures obtenues ne s'accordent pas , il est clair que le seul moyen de répondre à la question , est d'établir la mesure moyenne entre toutes ces me« sures.
On trouve d'abord pour la somme des quatre ^50,4^9 mesures, le résultat iooa,o4a; divisant ce résul- aSo^GgB tat par 4> o^ obtient a5o,5io5 pour la mesure d49>7^<^ moyenne. aS 1 , 1 58
Je quelques autres questions qui peuvent se résoudre par le
secours seul du raisonnement.
s4o« Dens toutes les questions précédentes, les moyens de parvenir à leur résolution étaient fixes et généraux^ c'est-à-dire| susceptibles d'être appliqués à toutes les qcestions de même es* pèce. Mab on peut en proposer une infinité d'autres qui ne se rattachent à celles-là qu'en partie , ou qui n'en dépendent en aucune manière. Dans ce cas, l'Algèbre fournit seule des mé-«
3ao DE QUELQUES AUTRES QUESTIONS.
thodes sûres et directes de résolution. Cependant, comme on ne saurait trop exercer Tintelligence des comm encans , nous allons en traiter quelques-unes par le secours seul du raisonnement ; c'est ce qu*OD appelle résoudre un problème arithmëtiquement. Rappelons-nous (n^ aoo) que résoudre ou analyser un problème, c est , en réfléchissant sur son énoncé, tâcher de découiffir dans les relations établies entre les nombres qui en font partie, la suite d opérations à effectuer sur les nombres connus, pour en tirer les valeurs des nombres inconnus.
Premier problème. On demande un nombre dont la
moitié y le tiers y le quart et les - réunis, formentensommefijS.
Pour résoudre cette question , commençons par observer que
prendre successivement la moi^fVy le tier^, le çuar^ et les - dun
nombre y puis ajouter toutes ced parties ; revient à multiplier ce
1 1 1 s nombre par la somme des fractions , - + 5 + 7 + - , c'est - à-
fl d 4 7
dire , par -^j- (en réduisant toutes ces fractions au mémedéno-
minateur). Or , puisque le produit du nombre cherché, par -7-7- ,
doit être égal à 675, il s'ensuit , d'après la définition de la division, que ce nombre est égal au quofîent de 676 divisé par
-^ ; et par conséquent (p? Bg), à 676 X — ^.
EiFectuant ce calcul indiqué, on trouve enfin 4^0 pour le
nombre demandé.
4ao Vérification —
la moitié z= aïo
le tiers =r i^o
le quart = io5
le 7« = 60
le 7« = 60
Total.... 575.
DE QUELQUES AUTRES QUESTIONS. Sal
Second problème. On demande trois nombres dont la somme soit égale à 96, et tels que le second surpasse le pre-mier de a, que le troisième surpasse la somme des deux autres de 4?
II est d*abord évident que si Ton diminuait le second nombre de a , il deviendrait égal au premier, et que si Ion diminuait le troisième de a +4 ^^ ^^ ^ unités , il deviendrait égal au double du premier; ainsi, la somme des trois nombres serait, aprèd ces deux soustractions , quadruple du premier nombre.
D'ailleurs , aï Ton retranche de 96 , la somme 2 + G , il reste 88 ; d'oùron voit que le quadruple du premier nombre est égal à 88.
Donc, ce premier nombre a pour valeur — ou aa
Par conséquent,- le second est égal à aa <4-a ou a4
et le troisième , à ^^^^4 ^^ ^^
Vérification 96.
Troisième problème. Trouver deux nombres tels que, si l'on ajoute ai au premier, la somme résultante soit quintuple du second j et que, si ton ajoute 21 au second, la somme résuU tante soit triple du premier.
Il résulte d'abord de cet énoncé, que la différence entre le quintuple du secQud et le premier, est égale à 1^ différence entre le triple du premier et le second. Il y a donc équi-^différence entre le quintuple du second nombre, le premier nombre, le triple du premier et le second. Comme , dans toute équi-^Jférence , la somme des extrêmes est égale à celle des moyens (n° ao4)> il 3*ensuit que le sextuple du second. nombre est égal au quadruple du premier; donc déjà, lé second nombre est
égal aux ^ ou aux = du premier* Or, ce second nombre aug* b
mente de ai , donne le triple du premier ; ou, ce qui revient au
même, ai est égal au triple du premier , diminué du second , ou
des = du premier, c'est-à-dire, est égal à 3 — =, ou aux ^ du
premier.
Sa2 DE QUELQUES AUTRES QUESTIONS.
Donc, enfin , le premier a pour valeur ai X -> ou g.. Quant au
second , qui est les = du prqmier , il est égal «9X^1 ^^ ^ ^'
En effet, i°, g-f-ai donne So, qui est bien le quintuple de 6. â^. 6 -)- 521 donne 97 , qni est le triple de 9. Donc les deux nombres 9 et 6 sont les nombres cherchés.
Quatrième problème. On emploie trois ouvriers pour faire un ouvrage. Le premier le ferait seul en 12 jours , traifaillant 10 heures par jour; le second dans i5 jours, travaillant 6 heures par jour; le troisième dans g jours, travaillant 8 heures par jour. On demande j i*. dans combien de temps ces trais ouvriers, troi^aUlanê en^^mble , feront cet ouvtage ; &**. ce que chacun en fera; 3**. ce quil gfkgnera, l'ouvrage total étant payé \cS^ francs.
Solution. Observons d*abordque, d'après l'énoncé, le premier ouvrier ferait seul la besogne dans isXio, on lao heures;
i * donc I en 1 hemrd» il forait — de l'oavràge.
Le second le ferait dans 1 6x6, ou 90 heures ; ainsi; en 1 heure,
il en ferait — .
Le ttoîsième le ferait ijianâ gi X 89 ou 7a heures j donc, en
1 heure, il en ferait — .
fa
des trois ouvriers , tt^Yaillânt ensemble , feraient donc , en
a heure, ^ + ±^±, ou g^, c'est-à-dire,^ de F^^uvrage.
î Or, s'il leur fatrt 1 heure pour faire ^ de Pouvr^ger , il est
clfiirqn'ils empidietbnt Soheures pour faire l'ouvrage tout entier^
Maintenant « puisqu'en 1 heure, le premier ouvrier fait — ,
en 3o heurefi, il fera X 3o , ou - = — . De même, le second
' lao ' 4 la '
THÉORIE DES 'tROCRÉS^IOîCS ET DES LOGARITHMES, SûS
fera en 3p heures. — X3o, ou 5 = — . Enfin, le troisième
"^ go 3 la
fera en 3o heures , — X 3o , ou — ,
'7a ift
Il De reate çlm ibQtoelkment qu^à savoir ce qui revient à
chaque ouvrier, à raison de la besogne qu'il a faite. Or, pour
cela , il suffit de diviser 108 ^o parties proportionnelles aux trois
fractions — ^ —, — , ou plutôt, aux trois nombres 3, 4 et 5; ce qui
donne (n° a35) , 27, 36 et 45 pour les trois gains deinandés.
Les diverses questions qne nous venons de résoudre , sont du genre de celles que plusieurs auteurs traitent par la règle dite de fausse position simple ou double. Nous avons cfu devoir passer cette règle sous silence, parce qu'en général , elle laisse beaucoup de vague dans l'esprit, et que la démonstration rigou " reuse de ses procédés est fondée sur certains principes da l'Algèbre ; principes gui , d'ailleurs , s'appliquent avec bien plus de facilité à la résolution immédiate de ces mêmes questions.
