CHAPITRE Vm
Théorie des Progressions et des Logarithmes.
\JB traité d'Arithmétique serait incomplet, s'il ne renfei<|nait au moins les premières notions de la théorie des logarithmes. Cette belle découverte , due à Néper , baron écoss^i^ , est une des plus importantes qui aient ji^mais été faites dans l<e^ Mathématiques j puisqu'aveç le secours d'une table de logarit^^m^s , on parvient à effectuer , en très peu de^emps^, les calculs numériques les plus compliqués.
Mais , avant de développer les principes de cette théorie , il est indispensable de faire connaître les propriétés principales de
3g4 PROGRESSIONS PAR DIPFÊRElfCE.
deux suites de nombres , qu'on peut regarder comme une extension des équi-difFérences et des proportions. Ce sont les progressions par différence et les progressions par quotient.
§ V. Des Progressions.
g4i« Progressions par différence ( autrefois progressions arithmétiques ). On appelle ainsi , une suite de nombres tels que chacun surpasse celui qui le précède , ou en est surpassé , d*un nombre constant, qu'on nomme la raison ou la différence de la progression.
Ainsi , soient les deux suites
7 a.5.8.ii.i4-i7-âo.d5.a6.29 ,
T 60.55. 5o. 45. 4o.35.3o.â5.ao ;
dans la première^ chaque terme surpasse celui qui le précède^
du nombre constant 3 j en effet ,5— a = 3; 8—5 = 3 j
3 est dit la raison ou la différence de la progression.
Dans la seconde, chaque terme est surpassé par celui qui le précède '^ du nombre constant 5; ainsi 60 — 55 = 5; 55 — 5ô=5; 5o — 45 = 5. ... ; 5 est donc la raison de la progression. V La première s'appelle une progression croissante, parce que leç termes y vont en augmentant ; et Ta seconde , une progression décroissante, parce que les termes y vont en diminuant.
Pour exprimer que les nombres sont en progression par différence , on place en tête le signe 7, et un point entre les différens termes.
Cette notation vient de ce qu'une progression par différence nest autre chose > d'après sa définition , qu'une suite d'équi' différences continues {voyez la? 206). ^
La progression s'énonce, d'ailleurs, ainsi (en considérant la première des deux progressions ci-dessus ) :
Q est db comme 5 est à B, comme 8 est à n, comme 1 1 est à 14 ; ou plus simplement, âe^td 5, est à 8, est à 11, esta 14...
IV. B. Il est aisé de voir que, dans la suite d'équi-différences ,
'chaque terme de la progression proposée est à la fois conséquent et antécédent , à l'exception du premier terme qui n est
ïhocressiOns par différence. 3a5
qu'antécédent» et du dernier des termes que Ton considère , lequel n*est que eoneéquent.
343. Première froi^rîété. Evaluation éCun terme de rang quelconque au -moyen du premier terme.
Il résulte de la définition d'une progression par différence ^ que /dans une progression croissante,
Le second terme est égal ^m premier y plus la raison;
Le troisième est égal au second , plus la raison , on bien ^ est égal au premier , plus deux fois la raison ;
Le quatrième est égal au troisième, plus la raison , ou au premier, plus trois fois la raison.
£n général , un terme de rang quelconque est égal au pre^ mier, plus autant de fois la raison, qu'il y a de termes avant celui que' l'on considère.
Pour fixer les idées sur cette propriété , et en présenter ua énoncé plus concis , considérons la suite des nombres . >
7 a.b*Cmd*e.f*g*m,..i,k.lf
que nous supposons former une progression croissante ; et dé« «ignons par r la raison de la progression.
On a évidemment , d'après la nature de la progresaioa ^
c:=:b'{'r:=za-^ r + rssa-f- ar, d = c-f-r=;a + ar + r=a + 3r, e^=:d+r = a + 3f + r=a + 4^,
Donc , si n désigne le rang d'an terme quelconque l, auquel car n — 1 exprime le nombre des termes qui précèdent , on a
évidemment / = a + (/»— i)r (1) j
expression qui , traduite en langage ordinaire , revient à Téiioncé ci-dessus.
Si la progression était décroissante , on aurait au contraire»
c = b — r = a --^ r — r =z a -^ sr ,
d z=z c — r = a — ar — r=a — 3r,
et par censéquent, /■ = a — (a — i)r. • . (a)»
JaS PROGRESSIONS PAR DIFFÉRENCE.
Lçs deux formules (i) et (a) servent à déterminer un terme quelconque de la série , sans qu'on soit oMigé de calculer tous ceux qui précèdent» puisqp*il suSIt de oonuoitre, le premier terme , la raison et le nombre des termes compris depuis le premier jusqu'à celui que l'on veut former.
Soit y par exemple, la progression f â.5.8.ii.. « , dont on demande le ao'*"' terme.
Ou a ici^ 0s=:fi, rss=3 et n^^sao; donc la formule (i) devient
On trouverait de même pour le 60^"*' terme ,
Sok esoQfe la progression f 80. 74*68. 6a« • . . , do&t on demande le la'"' terme.
On a dans ce cas , osa 80; rsxtS; nsn: la ; done lA fotmnle . (a) , donne / c=x 80 *^ 1 1 X 6 =s 14.
a43. Conséquence de la propriété précédente. Ces mêmes foifmsles conduisent à la résolution d*fUfe questiôii très Impor^ tante , qui a pour objet éPinsérer entre deux nombres donnés tant de MOYENS DiFFiREinriEils qu6 l'on veut ; e^est-à^dire , d'autres nombres formant avec les deux iiombres donnés , une progreâsion par différence.
Proposons^nousy pouir premier exemple ^ d'insérer entre 3
et 57 , HUIT MOYENS DIFFÉRENTIISLS.
Puisque la progression que l'on veut former , doit^ y comfiÔA, U^ dfiUTii nombres donnés , être composée de 8 --if- a ou de 10 termes > il s'eiouit (n^ fl4d) que le dernier t6rm« 67 est égal au premier 3 , pliua 9 fois la raison ; donc^ si de 67 on retranphç 3» la diffâi^noe 54 aéra égale à 9 fois la raieoii ; et , par conséquent j le 9*^"*' de 54 > ou 6 ^ sera l'expression de la raison. qui doit régner dans la progression.
Connaissant la raison , il est facile d'en déduire la progression , qui est alors
V S.9.i5.ûi,a7.33.39.45.3i.57.
Soient, en général j a et / les deux nombres entre lesqueb on
PR0GRE5S1OKS PAR DIFFÉREMQÇ. Sfl/-
veut insérer un nombre m de moyens différentiels; $i l*oa désigne d'ailleurs par n le nombre total des termes, oivaura 11:=; m^^^fl ; d*oû n — }=si»4^ I ; et le», dei^ai formulas du n^ ^4^ , de<yiennent /=i:a + ('»+ i)r , /=45a-^(ïn+ i)n
Retranchant des deux membres la quanjtité .a , et divisant ensuite par m + i , il en résulte
r = ■■ ■ , ou bien , r = — ; — .
(Pour la dernière , il faudrait retrancher / des deux membres, et ajouter (m + i)r , puis diviser par m-J- 1).
D*où l'on voit que , pour insérer entre deux nombres donnés tant de moyens différentiels que Von veut, il faut retrancher le plus petit nombre du plus grand , et diviser la différence par le nombre total des termes à insérer , pUis UN.
Le résultat ainsi obtenu , exprime la raison de la progression qui peut , d'ailleuiB , être croissante ou décroissante.
Soit proposé y pour second exemple, d'inséré entrer et ag > 35 moyens différentiels.
Ici, lt)na a=fl, /=n9, m=35; donc r = -2^^=-,
et la progression demandée est
Le ao'"" terme de cette progression, ou le 19'"*' moyendiffé-
rentiel , a pour valeur (n® 342) , /=a + i9X-2 = i6-.
Le 37'^"*' terme I ou le dernier terme de la progression , est /isa + ^fi Xy^ag; ce qui doit être.
a44* Remarque. iSi, entre tous les termes d^une progression par différence , considérés deux à deux , on insère le même nombre de moyens différentiels , toutes les progressions partielles ainsi formées , composent une seule et inâme progression.
En effet , soit la progression Ta.b»c.d.e,f, » ,, et soit m le
338 PAOGRESSION8 PAR i>IFPÉElENCË«
nombre des moyens qu'on veut insérer entre a et b , put»
entre b et c , puis entre c et d. . . ; la rai^ion de chaque pro^
gression partielle sera, d'après ce qui yient d'être dit ^ exprimée
i — tt c — b d-^c ^ ^
par — ; — , — ; — , — ; — ... ; or , toutes ces quantités sont
égales , puisque a , 6 , c. . . étant en progression , on a, . . •> 6.^a=sc— -& = <2 — c... ; ainsi , la raison est la même dans toutes ces progressions partielles. Comme d'ailleurs , le dénier terme de la première forme le premier terme de la se^ conde^ et ainsi de suite , on peut conclure que toutes ces progressions partielles constituent uue progression unique.
Application. Soit proposé ai insérer lo moyens dijféren-^ tiels entre tous les termes de la progression
La raison est ici, , , ... ou bien , — .
Il 11 11 11
On a donc
