II

progression évidente.

Nous ferons bientôt usage de cette remarque , qui est très importante.

1245. Seconde propriété. Dans toute progression par différence , la somme de deux termes quelconques pris à égale distance des deux termes extrêmes , c'est-à-dire , du premier et du dernier , est égale à la somfne des deux extrêmes.

Ainsi^ dans la progression

T 1 . 4- 7 • 10. i3. 16.1 9.22.25.28.31.34. 37, on a i-f-37 = 4 + 34 = 7-|-3i = 10 + 28....

Pour nous rendre compte de cette proposition d*une manière générale , appelons a et / les deux termes extrêmes , x un terme qui occupe le p^"*' rang, c'est-à-dire, qui en a p — 1 avant lui , et jr un terme qui en a p — - 1 après lui.

Cela^posé , l'on a d'abord; en vertu de la formule du n** 24^1

PROGRESSIONS PAR DIFFÉRENCE. Ssg

Actaellement , si Ton ne considère que la partie de la pro« gression , comprise depuis le terme y inclusivement jusqu'au terme / aussi inclusivement, le nombre total des termes de cette progression partielle est p, et Ton a encore /=rj'-|-(p— ï)r.

D'où l'on voit que / surpasse y de la même quantité que x surpasse a. Donc les quatre nombres a, x^yy l, forment entre eux une équi^difference. Or , dans toute équi-difFérence , la somme des deux moyens est égale à la somme des deux extrêmes (ao4) • Ainsi , Ton a x + J' ■== a + ^ > ce qu'il fallait démontrer.

N. B, Lorsque la progression est composée d'un nombre impair de termes , celui du milieu forme , avec les deux extrêmes , une équi - différence continue , et par conséquent (n® flo6), est égal à la demi-somme de^ deux extrêmes.

Ainsi ^ dans la progression ci-dessus 7 i.4*7*-«> qui ren-

ferme i3 termes , le 7^"*' terme, on 19, est égal à , ce

qui est évident.

246. Conséquence. Cette propriété fournit un moyen très simple Sobtenir l'expression de la somme de tous les termes d^une progression par différence.

Soit en effet la progression f a,b,c,d .... i.k.l , et désignons par s la somme inconnue de tous ses termes, n étant d'ailleurs le nombre des termes.

Concevons que l'on ait écrit cette progression au-dessous d'ellemême y dans un ordre inverse ;

ce qui donne i Lk,i c.b.a;

il est d'abord évident que la somme de tous les termes de ces deux progressions y est égale à a^.

D'un autre côté , comparant deux à deux les termes compris dans une même colonne verticale, on a, d'après la propriété

précédente^ a-}-/c=^-!-ft=c-}-f *, donc 25 est égal à

la somme partielle, a+l, prise autant de fois qu'il y a de termes dans la première progression ; et par conséquent ,

33o PROGRESSIONS PAR QUOTIENT.

d*où, en divisant par a, . . , 5 = ^ ^ ; c*est-à-dire , que la

somme des termes dune progression par différence est égale au produit de la somme des extrêmes ^ multipliée par la moitié du nombre des termes. <»

Applications. i°. On demande'ia somme des fk^ premiers termes de la progression 72,7. la. 17,».

Il faut d'abord rechercher Texpression du û5"^ terme. Or^ la raison étant ici 5 j on a (n^ a4â) / r= a -|- a4 X 5 = 1 aa.

Donc . = (-i±I^-25i=if!i2<i5^,55„.

a*. On demande la somme des 100 premiers termes de la

progression f 1 . 3. 5. 7. 9. . . .

On trouve d'abord pour le 100"*' terme ,

T^ (1 + IQû) lOÔ , , j

Donc^ = -^ — • — ^^ =10000, ou le carre de 100.

Généralement y le n'^"* terme de cette progression étant

lz=zi'^(^n — i)a = aii — i ,

on trouve pour la somme des n premiers termes ,

s =.i — ' ^ = n*. ou le carre de n.

Ainsi ^ la somme des i5 premiers termes est égale à

i5x i5 ou aa5.

347. Des progressions par quotient ou géométriques. Ou nomme ainsi , une suite de termes dont chacun est égal à celui qui le précède y multiplié par un nombre constant, qui est encore appelé LA raison de la progression.

La progression est dite croissante ou décroissante ^ suivant que 2a raison^ ou le nombre constant qui exprime le rapport d*un terme à celui qui le précède , est plus grand ou plus petit que l'unité.

Une progression par quotient s'écrit, en plaçant deux points entieles dîfférens termes , et le signe H en tête, parce que, d'après la définition, Ton peut regarder les nombres comme formant une série de proportions continues.

Par exemple^ soient les deux suites de nombres

PROGRESSIONS PAR QUOTIENT, 33l

^ la •« -3 •- î»?»-» —

Dans la première 9 chaque terme est égal à celui ^i le pré- <cède> multiplié par 3; aLasi, c'est une progression pas quotient dont la raison est 3.

Dans la seconde > chaque terme est la moitié de celui qui le précèdej oa bien j est égal à celui qui le précède « multiplié par

la fraction -. Donc^ c*est une progression par quotient^ dont la

raison est -.

On énonce d'ailleurs ces progressio;i8 de la même manière que les progressions par différence; savoir :

fi est à 6 , est d i8> est â 54 y est à i6d....

et la e^^ d 6 . 65^ d ^y est à - . est d -r

Si on les envisage commodes suites de proportions continues^ il en résulte que chaque terme de la {)rogré8Sion est à la fois conséquent et antécédent, à l'exception du premier, qui n*est qu'antécédent , et du dernier , qui n'est que conséquent.

Les progressions par quotient jouissent de propriétés analogues à celles des progressions par différence,

a48. Première propriété. Évaluation d'un terme de rang quelconque dans une progression par quotient. Soit la progression, par quotient, générale^

Ti a : b : c : d : e :f: g : h. .\ . . ',

et désignons par q la raison , qui peut d'ailleurs être^tou^^i* On aura évidemment les égalités suivantes

c=:bq = aq X,q=zaq^, rf=: cq =a^* ><^'=a<?^ ;j

d'où Ton voit qu'en général , un terme de rang quelconque est

33d PROGRESSIONS PAR QUOTIENT.

égal au premier terme multiplié par une puissance de la raison, d*un degré marqué parle nombre des termes qui précèdent celui que l'on considère.

Ainsi , désignant par n le nombre des termes compris depuis le premier jusqu'au terme /, on obtient la formule

au moyen delaijuelte il est aisé de trouver la valeur d'un terme, sans qu'on soit obligé de former tous ceux qui précèdent.

Applications, i**. On defmandè^la valeur du la" terme de la progression fr^lGliSl

La formule devient /= a X 3".

D'abord la 4* puissance de 3 est 3x3x3x3> ou8i ; multipliant 8i par 8i , on obtient 656 1 pour la 8' puissance. Multipliant 656 1 para7,ou, parla 3* puissance de 3, on trouve 177147 pour la 1 1" puissance.

Donc enSn , 2r:iaX I77i47=354âd4'

a®. On demande le 10* terme de la progression

On trouve dans ce cas , / = ta X ( -) •

Or, le cube de a est 8; le cube de 8, qui n'est évidemment autre chose que la 9* puissance de a , est égal à 5 1 a ', .donc

/=iax^— =-75.

5ia lao

N, B, Si le rang du terme était un peu éloigné, le calcul deviendrait assez laborieux ; mais on n'en parviendrait pas moins à l'expression de ce terme par des multiplications successives. Toutefois, on peut juger, par le premier exemple , avec quelle rapidité les puissances d'un nombre augmentent de valeur, lorsque le degré de la puissance est un peu considérable ; puisque dans la progression H a î 6 : i8 : ...., on obtient 354394 pour le la** terme seulement.

349. Conséquence de la propriété précédente. Insérer entre deux nombres donnés, a et 1, un nombre quelconque m de MOYENS PROPORTIONNELS. (On appelle ainsi, d'autres nombres formant