PROGRESSIONS PAR QUOTIENT
avec les deux nombres donnés , une progression par quotient.
Solution. Il est évident que pour former la progression, il suffit d'obtenir la raison, •
Or, de la formule lz=zaq'^~'\ on déduit, en divisant les deux membres par a ,
i-= o— ' ; d'où a = \/-^.
D'ailleurs, n exprimant le nombre total des termes, on a nécessairement n= m +2; et par conséquent, n— i;=m-f-i*
Donc enfin
D'où Ton voit que, pour obtenir la raison , il faut d'abord di" viser le second nombre donné par le premier , puis extraire du quotient^ une racine d^un degré marqué par le nombre des termes à insérer plus UN.
Connai.osant la raison de la progression , il est facile d'en obtenir les différeos termes; il suffit de multiplier successivement le premier terme, a , par la i'^ , â^, 3^* . • puisaance de q ou de
Ainsi, par exemple, le 4* luoyen proportionnel, qui n'est autre chose que le 5* terme de la progression / aurait pour va-
■+' leur, ^xf % /^J i et ainsi des antres.
N. B, Nous ne connaissons encore aucun procédé pour ex« traire une racine d'un degré supérieur au 3*. Mais notre objet principal est d'obtenir pour les progressions par quotient, des formules analogues à celles qui ont été établies pour les progressions par différence. Nous donnerons d'ailleurs bientôt un moyen très expéditif d'effectuer ces sortes d'opérations.
a5o. On démontre , comme pour les progressions par différence , que si , entre tous les termes dune progression par quotient , considérés deux à deux^ on insère un même nombre de
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moyens proportionnels , les progressions partielles ainsi for-mées constituent une progression unique.
Soit ria\b\ cldl ,...yla progression proposée.
La raison, pour la première progression partielle, serait
t/-; pour la seconde, t/| ;
Or, on a, par hypothèse ,— r=^ =- 7
donc, les nombres t /- , i /t. . • sont égaux, etc.
aSi. Seconde PROPRiÉTi. Dans touteprogression par quotient^ le produit de deux termes quelconques^ à égale distance des deux extrêmes ^ est égal au produit des extrêmes.
Soient en effet xety deux termes dont l'un en ait p-— 1 ayant lui, et l'autre p—i après lui.
Le terme x est égal au premier a multiplié par q^^^i et l'on
ax=aXqP'''.
Le dernier terme /, est égal au terme j^, multiplié par ^'^^ ; et l'on a Izrzy'^qP^^ ; d'où Ton voit que les termes a, x, y et / forment une proportion a\xM y\L Donc (n° ao8) x^y =aX/. C.Q.F.D.
â^a. Désignons enfin par P, le produit de tous les termes de la prpgressiop t^ a l b l c \ d . . . . , \ i l h \ l, multipliés entre eux , en sorte que l'on ait
P ^zabcd ikl,
ou P = Iki cba ;
il en résulte '9^s=:abod iklXlki. . . .Xcba,
ou bien encore, interfertissant Tordre des facteurs, P»=i:fl/X W XciX . . . . ic Xkb X /a; mais on vient de voir que al^=ibk=2ci. ... ; et le nombre de ces produits partiels est égal à n , nombre des termes de la progression proiposée.
Ainsi, P« =(«/)»,
et par censément, P?=;i/(a/)" ;
