DÉFINITION ET PROPRIÉTÉS PRINCIPALES

danè tous les détails de cette importante découverte « noas allons du moins en faire connaître les résultats principaux.

§ IL Des Logarithmes.

a54. Considérons une progression quelconque par quotient , dont le premier terme soit , toutefois , égal à i , et une progres!)ion par différence dont le premier terme soit égal à o. Par exemple ,

fi 1 : fl : 4 : 8 : iS : 3a : 64 : ia8 : a56 : 5ia : ioa4 : ao48

^ o . 3 . 6 . 9 . la • i5 . 18 , si . a4 . a7 . 3o » 33

: 4096 : 819a : iG384 : 3a7G8 : , (a)

Les termes de la progression par différence sont dits les /ogarithmes des termes qui occupent le même rang , dans la pro« gression par quotient.

En général , on entend par logarithmes , des nombres en pro^ gression par différence , qui correspondent, terme pour terme, à des nombres en progression par quotient ; et le logarithme d'un nombre en particulier, est le terme de la progression par différence, qui'y tient le même rang que celui qu'occupe, dans la progression par quotient, le nombre que l'on considère.

Nous verrons tout à l'heure , pour quelle raison l'on suppose que les deux progressions commencent par 1 et par o.

a55. Première propriété. Soient a, b deux termes pris au hasard dans la progression (A) ; et proposons-nous d'en obtenir le produit.

A cet effet, considérons \e premier ternie i de la progression (A) , les deux termes a , 6 , et un quatrième terme c , tel qu'il 7 ait autant de termes entre b et c, qu'entre 1 et a. Supposons d'ailleurs la progression (A) arrêtée au terme c.

Considérons de même dans la progression (B), les qiiatrb fer* mes qui correspondent aux nombres 1, a, &, c, c'est-à-dire, leurs logarithmes, que nous désignerons , pour abréger , par o, log« a^ log. b , log. c (la notation log. désignant logarithme de). '

Cela posé, il résulte d'abord de la propriété du n^ a5i , que les quatre nombres i^a, b,c, forment une proportion , puisque

DES .1.06 AR1THMB6. ^

a, 6 8ont deux termes pris à égale ^atancé des esttréme&jrâans une progression arrêtée au ternie c; ^

Ainsi, Tona iXCyOucssaX^*

D*un antre côté» les quatre termes o, log. «, l<)g, b , log. c, forment aussi une équi-différence (n^â45).

Ainsi, l'on a o+ log. c, on log. csslog. a «4* log. b.

Donc , en mettant à la place de c, sa yateur^ii',

log. (a X i) =ç log. a -f- log. i.

D*où l'on voit qae le logarithme duprùduit de deux: nombres de la progression (A) , est égal à la somme des logarithmes de ces deux nombres.

D*après..cela » pour obtenir le produit de deux nombres quelconques de la progression (A) ^ il jsuffit de. prendre leurfi iQgarrithmes dans la progression (B) ^ de le^ ajouter, puis, de chercher à quel nomJ^re correspond cette somme; le nombre* correspondant est le produit demandé.

Ainsi, soient les deux nombres 64 ^ »56> dont il faut obtenir le produit. y *

Je pçends leurs logarithmes 18 et ^4 dans la prpgress^n (B); je les «ijoute^ ce qui donne 4^; puis. Je. (Perche à quel nombjce correspond 4a « ^tje ti:oiive ]63|B4 pour le produit demandé..

On.ti:puve de même ^ qiie 124-27, .911 S9 , somme des loga^rithmes de 16 et 5i2| correspond à 8i^d » produit df$ deux nombres i6et5id. . '

a56. Conséquence. ^ient a^ h, ci^dm^ «« plusieurs opmbrf^do la progressipfi.(A) ; ilTésultied^çe Wjient d*étv^e^<lit ,qi^,. ,« log. oAc = log.a6 4- log.c = Iog.a+ log.é + log.c, . .,;

log.aM=lQg5aiç4-Ipê.fj|f=]os,/i.+ '^6-*+:loÇ'!^'+ '°6-^ » et ainsi de si^ite. .»;...

Donc, en général, l^ logçt^it^m^ du produit d'un, nonilfre quelconque de fadeurs est égal à la somme des logarithmes de tous cesfùètmrs. • '.. ••■/i ^^ »> •'.• a /:o^. .••''. .,'^.^c.

AttiÀî iPipéttT' obtenir .le produit udepliifieunitidodir^. défila progrê<sâidn (A); il sulBt d'ajouter leurs logarithmes' pnpdiihs la progression (te); et de déterminer 'à queLnohtbfétsMte'spoM ia sfmmef lentitivbi^e correspondafnt' eêttfe pmdit^t^d^n^undé. '

388 pRormiiTfes principales

aSj. Bemarque. Lbs deux égalités etmaX b et. ... « . log. c = log. a + log. b, desquelles od adédvit la propriété précédente , supposent évidemment que le premier terme de la pifegresaion (A) «st ég^l à i , et que le premier terme de la progression (B) est égal à o;

Voyons ce qu) •aurait lieu, si le premier terme était un nombre quelconque k pour la première^ et log. k pour Ut seconde^

On aurait >, en .vertu d^oe. qui a éité dit (n* a55),

i?u fiour-Ja progreaatçn (A), ft X c>t»a x ^,

d où c = — T—f .

»•. -Four la progression (®),.. . ki^.k+l^'C=cAo^.a+los.b ,

dfoà. • : '. log.<:=log.û+log.&— log.ft ;

c*est*à-dire que la somme des Jogarithmès de deux nombres a et h de la progression {ik) i* diminuée du pteniier terme de la progression (B) , serait égale au logarithme du (fuotient de la disnsion du produit des éeiia: nombres a el b» par te premier terme de la progression (A).

Ainsi , pour faire usagé iie cette propriété, il faudrait, ï*. faire la somme des bgarlthmes, iî*. rétranther *àe ''celte somme le prémîertettne de la progression (B), et chefcïiet à quel nombre de la prôgrèâsion (Ay correspondrait la différence , 3^. multipYier lé nombre cbrrespoiidant, par le premier terme de la progression (A) ; et Ton obtiendrait le produit demandé J^ ' ' Ou serait dnWic Conduit àf aire une addition \ une sotisùrattittn , et une mntHpKctttièn'^pifi» ^ibîiter le rëstdliif d'une multi(>)ication» • * .

' ty^ns rbypotKésê des premiers termes iégaux à I et à o , la soustraction et la multiplication disparaissent. Cette bypotlièse est dotic Indispensable (vo^èz rfi a5^.

d58. Seconde ^ROPaiÉXE. Puisque, daA^li|dîv^»k^> le di«tddibida pànl être legardé cotomer w iproduit' dop^.le diviaeur et le qiiotientiQUt l«s d»ui( fa<^uf Ai il $*^Qv4l ff^ l^logarithme 4ir disidmidA.M égal 4 b tommA.^s logaritb^3«a d«4, diviseur et au quoti^l:; aû^si, F^t^iidbaot U Jog^itblM! 4u diviseur

*J ■ > , . » \ i ti , i ^ ' * .»l»

de celui du diifUenûe , on* obtiendra lef logarî^i^e du

Donc, lehgantkmé dà quotiené de ta divisifoii^de'deux nom^ hres de la: progression (A) , ésf égal â la étiff^ente etitre le fogarithme du dividende et celui du diviseur, ^

D*après Q«1a ,' pour ^Sis^tuer une divUlon de «Jeux nombres ►qui appartiennent à la progression (A)i il suffit de prendre dans la progression (B) les logarithme du dividende et du di~, vis/sur f d^ retrancher le second du premier , ft de déterminer à quel nombre de la progression (A) , correspond cet^e, diffé-: rence; on obtiendra ainsi le quotient demandé, . ,

Soit proposé de diviser 1 6384 par 266.

Je preikds dans la progression (B)^ les Ibg^rîtbnrës^ 4^ et a^' de ce^, deux non^bres ; je retranche 224 de 4^ * ce q,uî.n>e donna, 18.. Je çbeçcbe le nombre correspondant à 18^ et jç trouve 64^ pour le quotient demandé.

La propriété relative à la dîviÀoh 6'ex;^rime ainsi d'une

manière abrégée,.... log. -r-rs log. a — log..&.

aBg. . Troisième «propriété. Unp puiss^nçe^^^e/dtîiriê.jipielconqme d!mi,nQpbre^ét^î^t.jju**^ iJ|iJIe pxod^it^'autjaut ^e facteurs égaux à ce nombre ^ quil y a d'unités dan^iej^os^t dfi la puissanco ^ il f ensuit évid^pij^ent (n** 25S).cgfe^Je logariihme d\un^ puiAS^ançe de degré (jjuelçonqfie^ dm riorjxbre de la jaifpgressiou (A), ,est éf;al au Iqgarftfimf^flu nomkre rjny.ltiptié pqr l'exposant de la puissc^nç^r . ^ . . .,,.^;. . ^

Ainsi , .- .\p%, '9\ m^Vf&\^:>^> fî >< <ïX ^'^^ %^ $JQft.;û •/

' Bmib, pourjobt^rn^r ]eTéiHitlta^^*HfadfiofmaliaDide:|NiÎ9Sflsio«) d'un certain nombre de la progression (A) » il suffit dm. ftemAr^ dans la progression (B), le logarithme de ce nombre j de le multiplier par F indice dé la puissance , et aé déterminera quel namhre. de la pr9gf$ssi(M {Xy a^f^sp^nd ce produit / ië lumdur^

34o CONSTAVCTIOK OKS TABLES.

Par «xemple , soit à élever 3a à la S'"^' puissance. Je prends \5, logarithme de 3a; je le multiplie parS, expoiiaut de la puissance, ce qui me donne 45 ; Recherche à que] nomb're correspond 4^, et je trouve 3^768 pour la S'^^f pniasaoce

de Sa. * '.'

^aSo. Quatrième et dernière propriété. On sait que

deux nombres exprimés Fun par a et Tautre par a^, sont li^

entre eux de telle manière que, le second étant la m'"' puis*

sance du premier , réciproquement ^ le premier est la racine

m'*' du second.

Or, on vient de prouver que. . . log. a^ = m log. a;

los. a*"

donc , en diyisant par m log. a = -^ — j

c'est-à-dire que le logarithme de la racine m'"*' d^un nombre, est

égal du logarithme du nombre , divisé par t indice de la racine

à extraire.

Ou bien, log. l/i= — 2!--.

Ainsi /pdur extraire la racine m^'"' d* un nombre de la progression (Â.), il suffit de prendre son logarithme dans la pro^ grèssion (B)i de h diviser pat m, puis de chercher a quel nom" bre correspond te' ijUfftientj le nombre correspondant est là fdàinèdeMtndëe. ' ■ ''—'''' '-'"'

Sùii proposé' W extraire la racine '3'"** de 3a';^88,' '

Je prendis 45'; lôgàritliihé de 3à^68, et j^ le divise par 6, iàdicë âe-l^l'i^acibè; je tirbùVé i^, qui a pour nàmi}re rorres* pondant 3a *, donc 3a est la racine demandée, ' '

' -S'ùit encàri^ phposé d'ext^aprelwiiuihe 5'*^' de SaySS.

Je prends 4^ , logarithme dè^a768;'|e le divise par 5, indice de la racine i extraire ,'W ^f hié àdai^'^'. 4Q'e ÀÔitibrî^ ODnretpondaiit^àijQLdaiift la pil0^retkioii.(A<) , est 8; doàSS eitlc.i^cmei'S.^'T^'dQ SA;^68v tj.!-^ •.::.;.

Construction des tables de Logarithmes.

iiAi. Le« VcxMi4«»adon!r. jyré^ faire

concevoir l'utilité d'i^n^tabfe de hgmPtimés , V*it-à-d«re

• CONSTRUCTION DES TABLES. S^t

d'un»ta|>ltt renfermattt^jd'unte patr» une série de nombres en progression par quotient , et de Tautre » lean logarithmes , ou des nombres en progression par différence.

Gomme on a vn d'ailleurs que toutes les opëratîons sur des nombres d'une nature quelconque , se ramènent toujours à des opérations sur des nombres entiers, il s'ensuit que, pour la simpliBcation des calculs/ il suffirait que là table ne contint que les logarithmes des nombres entiers. Or , voici comment on est parvenu à fermer une pareille table :

Entre tous les systèmes, en nombre infini , de deux progrensions , Tune par quotient , et Tautre par difFérencé , qne l'on pouvait prendre, 09 a â*abord choidi la pr<)gre«Moi) décuple

H i z 10 ; 100 ;.iooo : loooo ; loooco : 1000000 ,

etl^ fl[uitn natui:elle des nombres

7 G. ip a^ 3. 4' 5* ^*

Cela posé, concevons qu'entre les nombres 1 et 10, 10 et 100,

lOQ et 1000 , on insère ( n® sBo) un m^Tne nombre de

moyens proportionnels, mais un nombre assez .graùd pour qu'on soit assuré que a, 3 ,4«"*9 I ^'9 ^^> i3**«*d9 I ^01, ioa«...999, soient compris parmi ces. moyens ptoportioqnels,.ou> du moinsi ne diffèrent de quelques-uns d'entre eux que d'une quantité si petite qu^on puisse les substituer; sans erreur sensible, à ces moyens proportionnels. c .

Concevpns ensuite qiî'éntre les termes o eti , 1 et a «• a et 3 , 3 et 4*.** de là progression par différence, on inaère autant de moyens différentiels qu'on aura Inséré de moyens proportionnels; il est clair , d'après ce qui a été dit .précédemment, que lesr termes de la nouvelle progression, par différenee seront les logarithmes dés termesde lanouveUeprogvèssiooptiir qiiotieiit.

ActuelleinéntV Supposons quéi^àns le nombre îrahî'ehse des termes des deux progressions, on ne tienne compte iqu^1:]'ei{ nombres entiers 1 , a, 3, 4— «S 1 10, 11, la. . • • appartenaYit a la progression par quotient., ainsi que des logarithmes qui leur correspondent , on obtiendra une table qui renfermera : • D*une parti tous les nombres entiers consécutif^ qui , à la^

34a CONSTRUCTION DtA TAUES.

vérité/M ievùnt plus «oitre eux imeipr^eBaioii par ^noiîent » ipais a*en'deroQt p^ inoin^:coiiaîdévés eomme d^iterniet â*aM progression de cette espsèoe ; ./..-!.

D^ l'autre pqrtyUurs logaritbme9fpûne «oront pas non pJas en progression par diSférence , ,mais n'en .«eront pas moine des termes d'une ^progre^siom de ciette pifèc^t qui y occuperont les mêmes rangs que .ceux qu pccopçqt dans la progression par quo* tient^ les nombres d^nt ces termes repriésieptent les logarithmes.

Ainsi , les propriétés relative auat direiBes. opésations arithmétiques sont applicables^ À tous les non:ibres de cette ta}>le* et à leurs logarithmes.

iV. B. Au premier a^bord , il peut paraître dîfficîte de eom<^ prendre comment en est parvenu à insérer entre deux nombres donnes , i et lo, par exemple, un très grand nombre de moyens proportionnels , puisque , pour en insérer deux seiiiement , il

faudrait(n*»î»49), d'après laformi^lè (7î=\/- <iui donhé l'ex-

pression de la raison, extraire av.ec un très^^rand.deg^é d'ap-

proximatioti, laraoineS^'de — , ou de lO , opération que l'on

sait être déjà assez laborieuse. Que serait-oe donc s*il. fallait en insérer io,ooo,oqo, comme Pindiquent Us Traités d^Anthmétique? Mais notre objet était seulement de faire concevoir la possibilité de Texistence d*une table de logarithmes. Cest dam les parties plus éleyéés des. Mathématiques , qu'on trouve des méthodes de confection beaucoup plus .èxpéditives. .

aSst. Voici néaimioins une métftode élémentavre , qui'est pent-^tne plus aisée àcompreodre, en lœ qu'elle -ne sappose que des extractions successjlyie^ dç racines carrée»

. Suppo^OT)s qWwx yeuil]B dét^midn^ ieJog^rUhfti^ 4e it ^ particulier.

CoittBse.5 est compris entre, *i et ic, insérons wt setU mvfmproportionnel lentre i et lo (on a, n* aio , i t « :: x ; lo ; à*tni X =3 l/to ac 5, 16^37766.. . .) , puis un moyen dijfé'

CONSTRUCTIOK.M» TABLES. 34S

tenùel entra o et i ( on « ^ b<* aoj» > o.^r l y*\\ d*iOÀ» • . Cela posé , - ou o,5 «era évidemment le logarithme de V^ lo ;

résultat qui s'accorde d'ailleurs avec la propriété du n^ 060 ^

• 1» I ./ — log. 10 1

puisque 1 on a log. V^ 10 =; -^ — ^ =»:« -

Actuellement, comme 5 est plus grand que S^iGs. . ., et plus petit que 10, insérons un nouveau inoyen proportionnel entre

3,i6aa. . . et 10 , puis un moyen différeniliel entre ^ et i ;

il vient

5^1623. . : a: :: a: : 10; d'où a: = 1^31,623776. . = 5, 6a3.,.; 1 3

Ce moyen différentiel est d'ailleurs le logarithme dn nouveau ipoyen proportionnel. v

Le nombre 5 se trouvant encore compris entre 3, 16a, «» et 5,6 a3..., nous sommes encore conduit à prendre un mo3ren proportionnel entre 3,i6a. . . et5,6a3. . ., puis un moyen diffé^ rentiel entre o,5 et 0,75.

Or, il est évident qu'en continuant cette série d 'insertion^ àm moyens propor^onnels » on parviei^iiar.à e^ déterminer deux , qui ne difTéreronl Funnle l'autre que d'une quantité aussi petite que l'on voudra, et qui comprendront le nombre 5. On pourra donc , sans erreur sensible , substituer S à l'un de ces xuoyeni proportionnels I et 1^ moyen différentiel correspondant au moyen proportionnel sera le logarithme, demandé. On obtiendrait par des opérations analogues, les logarithmes de a, 3, 7.,*

Remarquons d'ailleurs ^vk\\ suffit, en calculant ainsi le loga* rithme de chaque non^bre entier, de déterminer directement les logarithmes des nombres premier^} quant aux logarithmes de« nombres multiples , on le4 obtiendrait mx inoyen des loga*rithmesdes nombres premiers, en faisant u^ge^dos propriétés des n"» a56 et 269.

344 DUMfiITtaM

Par €xeûiplc, on aurait logi 1 5 =sIog.5 X 5œ log.5 -f- log. 3 ; log. 36 ==log. a' X 3*= a log. a + a log. 3; et ainsi de auite.

Disposition et usage des Tables vulgaires.

a63. On appelle logarithmes vulgaires , ceux dont la for-^ mation est fondée sur le système des deux progressions...

table qu*on se sert le plus communément.

On les nomme encore logarithmes de Briggs, premier auteur d'une table de cette espèce.

La raison delà progression panquotient^ ou lo, est ce qu'on appelle la base^dn système yulgaire.

U résulte de Tinspection des deux progressions «

1^. Que le logaritfime de la base ou de lo ^ est égal à i ;

a?. Que le logarithme de Punité est égal à o.

Cette dernière propriété est vraie dans tout système de loga* rlthmes , puisqu'on a vu précédemment que les deux progrèss ions doivent commencer par i et par o.

Mais la première suppose que la progression par différence n*eât autre chose que la suite naturelle des nombres; ce qui n*est pas indispensable pour l'existence des propriétés d'un système de logarithmes.

Lorsque la progression par différence est quelconque ^ on peut dire seulement que la raison de la (progression par quotieht^ ou la base du système, a pour logarithme la raison de là progression par différence»

a64. On reconnaît encore > d'après les deux progressions cidessus , que les logarithmtss^ de tous les nombres entiers ou fractionnaires, compris entre i et lo, aùnt plus petits que l'unité ; que ceux des nombres compris entre loet loo, se composent d*une unité et d'une certaine fraction ; que ceux des nombres compris entre loo et looo, se composent de deux unités et d'une certaine fraction ; et ainsi de suite.

Dans lès tables de Briggs, ces fractions ont été évaluées en décimales.