DES TABLES DE LOGARITHMES. SS
ou L+ L'-H L"+ L*— (Z + r+r)=:L+ L'+L*+L*+7o— /
^.lo — /+10 — r — 3o; ou, ce.qui revient au même ,
D = L + L'+ L"+ L* + comp. 1 + çomp. 1'+ comp. l"— 3o ;
d*où Ton déduit cette règle générale :
Prenez les complémens arithmétiques des logarithmes à soustraire ; faites une somme totale de ces complément' -et des logarithmes dont il faut soustraire; puis supprimez^ à la carac^ téristique du résultat^ autant de fois lo» ou autant dedixaines que vous avez pris de complémens ; le résultat ainsi obtenu est la différence demandée,
" Reprenons le dernier exemple du n* précédent. On a /.x=r/,37+/ 49+'-i74"^i75 — ('«29+^. 69+/.154) ;
L Zj =: 1,568220
/. .49 = i>69oao
Comp. L 5èQ zxi 8,53760
Comp, L 69 = 8,i6ii5
Comp. L i54 = 7,8ia48
3i,a43ia.
Le résultat de cette addition étant 3i ,a43i a , on en retranche 3 dixaines y et il vient i,a43ia pour la différence demandée; c'est en effet le résultat obtenu n^ a69.
L'usage des complémens arithmétiques abrège beaucoup les calculs par logarithmes.
aj\. Progressions par quotient. On propose d insérer entre deux nombres donnés a e^ b, tin nombre m de moyens proportionnels.
La formule q^=z\/ -- trouvée n^a49i devient, par l'appli-i
cation des logarithmes, log. q = — — ■ °' .
Supposons , par exemple, qu'on veuille insérer entre 3 el 4 > a5 moyens proportionnels.
394 AiGLB D*l]fTÉRftT C0UfO$t.
On a. dans ce cas , a^szZ, bzsi4^, m^ss.!&\ * d'où ron déduit log.9 = i2lli=i2S:^.
On trouve dans les tables. . . log. 4 = o^GoaoG
log. 5 =s 0,477'fl d'où log. 4— log. 3 = o,ia494
donc., en divisant par n6> log. q s= 0^00480,
Cherchant le nombre qui correspond à ce logarithme, on obtient qsszi,oiii,k 0,0001 prè^.
Veut- on maintenant former U 10* moyen proportionnel on le 1 !• ferme Je cette progression ?
Appelons x ca mojçn proportioniiel; on a ( n^ a48 )
d'où , appUquant 1«> logarith. , lo&.a:==lo6.3+ *°C'°8'4- log;^
Or , on a déjà obtepa .... log. 4 -— Iog> 3 = o, ia494 d'où io(bg.4— log. 3)= 1,94940
€t. ^Co5-4,-' lP6-3)= o,o48o5;
d'ailleurs log.3 = o 14771 a
donc enfin. • log..:c =^ o^SaSi/.
Cherchant 4 quel nombre correspond ce logarithme., on, trouve 3,35 10 pour le moyen proportionnel demandé.
Les règles d* intérêt et^^çompie. composés , se réduisant à. la détermination d'un terme de rang quelconque dansune prpgrea? flion pax; quotient,
373. Intérêt COMPOSÉ. Une.sqmme.a, étai^ placée pendan^im, nombre n abonnées ou de mois, à raison de i pour 100 pc^^i^ ou par mois ,, on demande la valeur de cette somme au bout du temps T^.9 en y comprenant npn'-seuler^enil^ capital à efses^ifi" térêis accumulés , mais encore les intérêts des intérêts pendant ce même temps.
Analyse. Puisquf loo fr. rapportent une somme i dans un an,
il est clair (n*» aa4 et aa5) que a rapporte,r^ — -^ ; ^y^ U
KÈ<^LZ 0*mTÉRÊr COMPOSÉ. 3S5
capital a plaeé; pendant i|n an, produit, y comprisse capital ,
a + , ou bien, al i + |.
loo \ 100/
Cette nonrelfe somme , qui se compose du capital primitif et de son intérêt pendant la première année , peut être regardée comme on nouveau capital plaxsé pemlant la seconde aouée-, et en la désignant par a' , on trouvera qu'elle devient , au bout dela seconde année, y compris le capital ,
a*ft+ \ ou bien, remplaçant a' par sa valeur,
Désignant ce nouveau capital par a' , on obtiendra pour la somnie de ce cantal et de son intérêt pendant l^ troisi^m^q^
année ,
«•^i-f-, — )• ou bien, remplàjiant a* par sa valeur.
Donc , enlgénéral , n désignant le nombre d'années peàdout lequel le. capital a est placé , et A représeiitaiM: Ui ^leurder ce capital i^éani à aea intérêts et aux intérêt», des Intârêts;» il vieot^
\ lOp/ \ 100 /
Premier exemple. On demande, en intérêt composé, la valeur de laoocf placés pendant 6 ans, à raison de S' pour ^pof an.
On a , dans ce cas , a= laooo, i= 5 , n=^G ; donc la formule devient'
CMeropérationserait très laborieuse àeffectuer direetambitt^ Biftis> si l'-on applique les logarithmes, il. vient
log. A z= log. lâooo 4" Slog* i>^9'
356 RÈGLE D*lNTÉRtT COMPOSÉ.
Or, on a d'après les tables log. i ^o5 = o^ea i iq
â*où £Iog. i>q5 = 0^112714;
d'un autre côté • • log. iflooo := 4>079^8
donc log. A = 49do63â j
et par conséquent I A =: i6o8i|^*
Les petites tables ne peuvent donner un {ilus grand degré d'approximation.
2V. B. Dans cet exemple, la somme des intérêts accumulés , du capital et des intérêts des intérêts, monte à 4^Si(i d'un autre côté, si l'on cherche (n® ^^4) ^intérêt simple de laooo', pour 6 ans> à raison de 5 pour f ,
on trouve * • • '• . 56co
Différence 481 •
D'où l'on voit (fae 481 francs expriment la valeur des intérêts des intérêts.
Second exemple. On demande, en intérêt composé , la valeur de SSai^ placés pendant 9 mois i, à raison de l, ou de o^,j5 pour 100 par mois,
CommençonB par déterminer la valeur du capital au bout de
9 mois. \ -/.' . *
Gdmtae/danb ce bas > le m^is est pris pour unité de temps , on fait dans la formule générale, a=î56a8, 2=0,75, 11=9; ce qui donne
d'où, appliquant les logarithmes;
log. A=:log. 56a8 + 9 log. 1,0075.
On trouve dans la table log. 1,0075 = o,oo5a4
d'où 9 log. 1 ,0075 = 0,03916
d'ailleurs log. 56â8 = 3,75o35
donc 1 ... . log. A = S, 77961
et par conséquent , AsnSoigfr.
RÈGLE d'escompte COMPOSÉ. SSy
Pour obtenir ensuite l'intérêt de 6019 fr. pendant quinze fours ^ ou i mois , on aura recours à la forïnule — (h** afl4)>
dans laquelle on fera à = 6019 , « = 0,75 , f = - ; ce qui donnera
= ' ■ ■ — = — ^ ^^=:a5. a une unité près.
Donc enfin, 6o4a fr. expriment la valeur du capital 56a8 fr.,
en intérêt composé.
â73. Escompte composé. Les deux quantités A et a qui
('100 "4" i\* I , ont entre elles une 100 y
relation telle que , si a est un capital placé actuellebient , A est sa valeur au bout d'un certain temps ; donc réciproquement , A désignant une somme payable dans n unités de temps, a exprime sa valeur actuelle; on suppose toutefois, qu'on ait égard aux intérêts accumulés et aux intérêts des intérêts, du capital a.
D'ailleurs , on déduit de cette formule,
On peut donc regarder celle^ comme donnant la valeur ac" iueUe d'un billet dont le montant est A , et qui est payable dans n années , en admettant qu'on ait égard à Tintât composé de cette valeur actuelle*
Exemple. On demande la valeur actuelle d^une somme de SooGo', qui nest payable que dans 7 ans, en supposant , 1^. que t escompte soit composé; a®, que le taux d*intérêt soit à 6 pour 100 par cm.
Faisons , dans ce cas , A =3oooo, . n =7 , î ss 6 ;
et la formule devient a = 7 7^ :
d'où , appliquant les logarithmes ,
3S8 LO&lJlITHMES DES FfiACTIOffS.
iog, a zss log. Soooo -^ 7 log. i p6.
On a * log. 3oooo =s 4)477 1-^9
d'ailleurs , log. i ,o6 = o^oaSS i
d'où....7log.i,o6= 0,17717 — 0,17717
donc log. 0=4,39995
et par conséquent , a = 19960 fr. ^
En recherchant la valeur actuelle ae 3oooo » d'après la règle d'escompte simple ( escompte en dedans, voyez n° fis8 ) , on
trouverait , 211526,76^
résultat qui diffère du précédent, de 1 176,76.
Nous ne nous étendrons pas davantage sur les applications des tables ^de logarithmes. Ce* qui précède suifit pour donner «me idée ^e toute leur importance.
Logarithmes des Fractions.
274. Dans les questions précédentes , nous n'avons eu à con* sidérer que des logarithmes de nombres entiers ou de nombres 'fractionnaires et plus grands que l'unité. Ces logarithmes font partie de la table dont nous avons indiqué la formation (n*^' 961 et 962), ou bien peuvent s'obtenir facilement à l'aide de ceuxci, lorsque les nombres côrrespondaus sont entiers et excèdent les limites des tables, ou lorsqu'ils sont fractionnaires.
On sait d'ailleurs que , dans le système de Briggs , les logarithmes de tous les nombres dont nous venons de parler , sont
compris entre o«t i, l 'et fi , a et 3 , 3 et 4 ; c'est-à-dire
que les logarithmes des nombres compris depuis l'unité jusqu'à th^ni y s&nt euxo-mêmes compris depuis o jusqu'à l'infini ; «n sorte qu'il n'existe pas de nombre , si petit ou si grand q,u'iI«oit par ra^iM^rt à fiinité , qui ne puisse être regardé comme le logariAme d*«B nombre .pkie gmod que l'uniké.
21 edt alors naturel de den^nder si les fractâous ont des logarithmes, et comment on les exprime.
Pour^épox^dre « ces queatioas , reprenons <hi progresiion décuple 7T i 1 10 : 100 : 1000 : loooo : looooo. ... ;
et remarquons que , chaque terme étant égal i celui qui le précède, multiplié par 10, récipmtfuemenJt , cimqtm temie mit
<gal i œln! qm fe suit, divisé pàr'io. Pârcoi£iéqttèiit,^!rôit prolonge cette progreMlôn âti-deHous 'êa pn^iâièr {erme i ^ éà divisant successivement i , par les diverses ptiissafices dé lo ^ c'est-à-dire^ par lo, loo , looo. . .» ce qai donne ies 'fractions — , — , .... on en déduit la nouvelle progression
lO 100 lOÛO
- . —1 2 — : -^ : 1 : lo : loo : tooo : it>ôoo.«.^
lOOOO lÛÛÔ lOO lO
qu'on peut supposer commençant à une fraction — ^ , aussi
petite qt%ron veut.
D*un autre côté , reprenons la progression pisu: ditfê<sslK;e
et observons que chaque terme étant égal à celui qui \e pré« cède , augmenté de i , réciproquement , chaque terme est égal à celui qui le suit, diminué de i« Cela posé, continuons cette progression à la gauche du premier terme o ( ou au-^dessous de o)^ en fett&achant 'successivement i ^ s^ 3 ^ 4* • • * * "^^ ^ premier terme ; ce qui donne les résultats — -i , —a, — 3> -— 4*« • • '> il en résulte la nouvelle progression par différence
gu*on peut supposer coihmençant à un terme quelconqoB^ — n, n étant un nombre entie^ aussi grand que Ton veut. On obtîenft prar ce moyen , fe système des deux prbigi'è'ssîot^s
f?... — r- : -^ : — : — : i : lo : loo: 1000:10000...,. 40000 1006 100 10
dontûhaôunese divisera daBxptuftm&^àcota^erdegtennes 1 <lftb.
La première partie , en allant de gauche à droite ^ dans lèÉ deux progressions , est composée de termes qui comprennent tous les nombres phts grands ^ue Tuàité et hurs logarithmes ( ces logarithmes sont , cônime nous l'avons déjà fait observer, tmè léè ttbinbrèâ fmàgthdïles èônipris depuis 6 jusqà*à TiiilirA}.
La seconde partie, en allant de droite à gauche^ est composée de termes qui comprennent t&às les nombres plus petits que lurdté, ainsi que leurs logarithmes; ceux-ci n'étant autre diose que les logarithmes de la première pafrti», précédés du signe — ,
SBo LOGARITHMES DES FRACTIONS.
lequel signe sert alors à distinguer les logarithmes des nombres plus grands que Tunité, des logarithmes correspondant aux nombres plus petits que Tunité.
2275. N. B, Pour bien concevoir comment les logarithmes de
tous les nombres compris entre 1 et — , entre — et . ....
ne différent que par le signe -— , des logarithmes des nombres
compris entre 1 et lOy entre loet 100.... ^considérons^ par exem-<
pie, une fraction T, comprise entre 1 et — ; en sorte^ue l'on
ait < a^b , mais 6 ^ 1 oa.
Comme -t peut se mettre sous la forme -rr» U s'ensuit que 7
est la fraction, comprise entre 1 et — , qui correspond au nombre fractionnaire • , compris entre 1 et lo \ et il s'agit de démontrer que log. T = — log. -.
En effet, on peut toujours regarder - comme un des moyens
proportionnels qu'on a dû insérer Qi® a6i) entre 1 et 10, pour former les logarithmes de tous les nombres qui s'y trouvent compris. Ainsi, appelant m le nombre total des moyens pro-* portiopnels insérés entre 1 et 10, nie nombre des termes compris depuis le premier terme 1 inclusivement , jusqu'au terme
- exclusivement, on a (n® â^S)
dViilleurs, le moyen différentiel inséré entre o et 1 , qui corre»* pond an moyen proportionnel -, a pour expression (n* a43)
CZ
o -f- — 1^ — X yi = — r--.
