TT

auquel cas , toutes les fractions auraient eu des logarithmes positifs, et d'autant plus grands que les fractions eussent été plus petites, dans cette hypothèse, dis^je, les logarithmes des

nombres de plus en plus grands que l'unité, savoir

1, 10, 100, 1000. . . et tous les nombres compris, auraient été nécessairement représentés par la série des nombres négatifs 0,-1, — 2,-3... et de tous les nombres compris.

Autre manière ^en^isager les Logarithmes.

378. Euler, dans ses Ëlémens d'Algèbre, a établi entre les diverses opérations de l'Arithmétique , un rapprochement fort ingénieux , que nous allons d'abord faire connaître , parce qu'il donne lien à une nouvelle manière d'envisager les logarithmes..

D*ENVISÂGER LES LOÔÂRITHMES. 365

Désignons par a, 6, c, trois nombres quelconques , et proposons-nous cette question générale : Deux quelconques de ces trois quantités étant données, déterminer la troisième, au moyen de tune des opérations arithmétiques effectuées sur les deux quantités données.

L'opération la plus simple /sans contredit, éelle gui se présente la première à l'esprit, est l'addition.

Soit donc proposé de trouver c par l^ addition des deux norof bres a et b.

Cette relation entre les trois nombres a, b, c, sera exprimée

par régalité

qui donne en même temps a=c — 6, ou è=:c — a.

D'où Ton voit que si, au lieu de rechercher c , on demandait la valeur de a ou de &, la même égalité (i) donnerait la quantité inconnue par une soustraction.

Ainsi, r addition et la soustraction sont liées entre elles par la même équation a-f-&==c. ^

N. B. Si, dans l'égalité a=c — i, on suppose c < J, la valeur de a se réduit évidemment à un nombre négatif. Ces sortes de nom-*bres doivent donc leur naissance à des soustractions impossibles.

L'addition d*un nombre plusieurs fois à lui-même, conduit à la multiplication.

Proposons-nous alors de trouver c par la multiplication des nombres a et b.

Cette relation sera indiquée par régalité... a6 = c.,. . (a);

d*où Ton déduit • • a =ti ou 6= -.

Donc si , au lieu de chercher c, d'après Tégalité (a) , on demande la valeur de a ou de b, la division de c par 6, ou de c par a, donnera la valeur du nombre inconnu.

Ainsi, la multiplication etla division sont liées entre elles par la même égalité..». a&=c. *

N. B. Dans lliypothèse de c <fr, oude c non divisible exactement pai; b , Texpression 7 est wne fraction ou un nombre

366 AUTRE MAMlEAfi

fractionnaire» Donc les fractiona tirent lenr origine de divisions qui 08 peuvent s*efFectuer exactement.

EnSui la multiplication d'un nombre plusieurs fois par lui* même 9 conduit à la formation des puissances.

Supposons donc qu'on veuille obtenir c, en multipliant stpar

hd-'méme, autant de fois moins une, <iuily a dunités dans b.

Cette relation s'exprimera par l'égalité a^zsc. . • . (3) ;

h d\)ù Ton déduit d'abord • • • . a = v/c;

ce qui prouve que 9 pour obtenir c^ connaissant a et 6, il faut effectuer une élévation aux puissances } et que , pour obtenir a, connaissant c et 6 , il faut effectuer une extraction de racines.

Mais actuellement ^ connaissant Aetc, comment trouverons" nous b ?

Avant de répondre à cette question y récapitulons oequi vient d'être dit.

L'égalité a -|-&= c > réunit les deux opérations connues aous le nom d'addition et de soustraction^ la seconde de ces deux opérations pouvant d'ailleurs donner lieu aux nombres négatifs.

L'égalité â&=c, réunît la multiplication et la division,' d'où naît l'idée d* une fraction ou d'uji nombre fractionnaire.

Remarquons en outre que dans chacune de cçs deux égalités û+6=c , ab=c,le nombre a, ou le nombre 6,.s'obtient par le moyen de la même opération effectuée sur les deux quantités connues.

De même, l'égalité a^=c , réunit laformation des puissances et r extraction des racines; d'où naissent les nombres incomnmensurables.

Mais il 7 9 cette diff'érence entre cette égaKté etles deuxprécédente^, que» pour trouver a, une extraction daradne Sfîfît; tandis* qpej pour trouver b , il faut une opésation toatt particulière, qui sera en quelque sorte une septième opération d^ lUaritti^étiqiw.

Or, si Ton applique à l'égalité ts^TSLCf

la pippriété du n^ 9^^« il vient bi logi «mlog) c ;

4'oA i:on dédflit. • *»f^-T

log. a.

d'envisager les logarithmes. 367

c'eat-JiHiire que la valeur de b s'obtient par le moyen des logarithmes.