DE LA SOUSTRACTION
la. Soustraire un nombre d^un autre, c'est chercher T excès du plus grand nombre sur le plus petit. Le résultat de cette opération s'appelle reste, excès ou différence, li'ant que les nombres proposés ne sont que d'un seul chiffre , la soustraction est facile. Ainsi, la différence de 9 à 6 est 3 ; ou bien, ôtez 6 de 9» il reste 3 ; De même 5 de j, il reste 2.
On peut aisément soustraire un nombre d'un seul chiffre » d^un nombre qui ne surpasse pas vingt. Ainsi , ôtez 7 de i3 ^ il reste 6, puisque 7 et 6 font i3 ; de même > 9 de 17, il reste 8 , puisque 8 et 9 font 17.
Ces opérations , qui supposent seulement l'exercice de la mémoire sur l'addition des nombres d'un seul chiffre , vont
DE LA SOUSTRACTIOrC. . I7
servir de base à la souatraction des nombres de plusieurs chiffres.
Soit premièrement à soustraire 5467 de 8789.
Après avoir placé le plus petit nombre au-dessous 8789 du plus grand, et souligné le tout, on dit , en com- 54S7 xnençant par les unités simples : 7 de g , il reste a ~5^ qu'on place sous la colonne des, unités; passant aux dixaines , 6 de 8 , il reste a que l'on écrit au rang des dixaiues ; opérant de même sur les centaines et sur les mille , 4 de 7, il reste 3 , et 5 de 8 , il reste 3 ; ce qui donne enfin 33aa pour le reste demandé.
En eiFet , par la nature même des opérations qui viennent d*être faites , on voit que le plus grand nombre contient de plus que le second , a unités simples plus 2 dixaines plus 3 centaines plus 3 unités de mille , et par conséquent, surpasse le plus petit nombre de 33aa.
Proposons-nous , pour second exemple , de trouver la différence qui existe entre les deux nombres 834S6 et a8yS4»
Ayant disposé les deux nombres comme dans 83456 l'exemple précédent^ on dit d'abord : 4 de 6, il reste a 28784 qu'on écrit sous les unités. P7^
Mais lorsqu'on passe à la colonn^e des dixaines , il se présente une difficulté : le chiffre inférieur 8 est plus fort que le chiffre supérieur 5 et ne peut par-conséquent en être soustrait. Pour lever, cette diiEcuUé, on emprunte, parla pensée, sur le chiffre des centaines, 1 centaine qui vaut 10 dixaines, et qu'on ajoute aux 5 dixaines que l'on a déjà , ce^ui donne 1 5 » et l'on dit : 8 de i5^ il reste 7 qu'on écrit au rang des dixaines.
Passant à la colonne des centaines , on observe que le chiffre supérieur 4 doit être diminué de i , puisqu'on a emprunté cette unité; dans la soustraction précédente ; alors on dît : 7 de 3, cela ne se ^eut; mais en empruntant, comme tout à l'heure , 1 mille qui vaut 10 centaines, ce qui donne i3 centaines, on ^te 7 de i3, et il reste 6 que Ton écrit au rang des centaines.
ig DE LÀ SOUSTRACTION.
Passant aux mille, 8 de s cela ne se peut, mais 8 de is, il reste 4 qu'on écrit au rang des mille.
Enfin y comme le chiffre 8 des dixaines de mille doit , à raison de l'emprunt que Ton vient de faire , être remplacé par 7^ on dit: Q de 7, il reste 5.
Ainsi > lere^te demandé, ou l'excès du plus grand nombre sur le plus petit , est 64673.
Pour bien comprendre comment» parce moyen ^ on parvient an but que l'on s'est proposé, il suffit de remarquer que » d'après les artifices employés pour efi^ectuer les soustractioBs partielles, on peut disposer les deux nombres de la manière suivante :
Bîiaîiio» <le mille. Milles CeatakMt. DiiMoes. VniÀ.
i^'nombre... 7 la i3 i5 6
a* nombre.,, sx . . ^ 7 8 4
D*où l'on voit que le nombre supérieur contient de plus que le noflubre inférieur , a imités , 7 dixaines , 6 centaines , 4 'oxxWe et 5 ditabes de mîlla > on le surpasse de 5467a unités.
Soit^ pour troisième exemple ^ à retrancher 1584^9 ^ 3oa4o5. 99 9
Comme g , chiffre dès unités du nombre iofé- Soo^oS rieur ^ est plus fort que 5, chiffre correspondant 168439
' du nombre supérieur, on doit emprunter 1 dixaine . '^ ^
sur le premier chiffire à gauche; mais ce chiffre ^^
étant un o> il faut avoir recours auc&iffre 4 des centaines , sur lequel on prend 1 qui vaut 10 dixaines; et puisque l'on n'a besoin <jue d'une seule dixaine^ on en laisse 9 au-dessus diyo, puis on ajoute 1 dixaine à 5, ce qui donne i5 , et I on dit : 9 de i5, il reste 6 que l'on écrit sous les unités.
Passttirt aux fixaines , on dit : a de g ^ îl reste 7.
Pour les centaines, comme le chiffre supérieur ^ ne vaut piftè que 3 , à rsâson de l'emprunt , et qu'on ne peut soustraire 4 dé 3, on a recours au premier chiffre à gauche ; mais cekdKSi et le chiffre qui est â sa gauche étant des zéros, on emprunte une unité sur le chiffre significatif 3 ; cette unité en
DE LA SdUSTRACTiaN. * iq
vaut iodé l'ordre sfâTant, loo de Tordre des mille ; et puisque Ton n'a besdiû que d'tlne seule unité de ceft ordre , on éd laisse 99 qu'on reporte sur les deux zéros; ajoutant t lùille à 3 centaines^ il vient i3, et Ton dit: 4 de i3, il reste g que i*on place sous la colonne des centaines.
Dauâî les deux soustractions suivantes, chacun des zéros étafit retïiplacé par un 3, on dit : 8 de 9 il reste i^ et 5 de g
il reste 4« ' Pitssant à la prei^lère colonne à gauche , an dit : 1 de a
(car le chiffite 3 est^diminué de 1 )i il reste 1 ) amêi, l'on a pout
\e reste demandé 14^ ^yS.
Ea effet, si Ton réfléchit sur là manière dont le nombre
supérieur a été décomposé , on peut disposer ainsi Fopératioii :
Gebt. de mille. Diîit. àé nfâlé. Mille. Cenfames. Diïaiiie0. Unités.
i^' nombre., â 9 9^^ 9 ^^
a® nombre.. 1 5 84^9
Donc le nombre supérieur surpasse lé nombre inférieur de 6 unités , 7 dixaines^ 9 centaines, 1 mille ^ 4 dixairies de mille^ I centaine de mSle/où de i4i979*
RÈGLE GÉNÉRAIIE. Pour opérer h ioustrûctîon de deux nombres i placez le plus petit nombre au-dessous du plus grand, de manière (fue léS unités d'un même ordte soient dans une mime colonne , puis tirez uAe bartè; soustrayez ensuite successivement les unités des unités , tes dixaines des dixaines, les centaines des centaines y etc. , et écrii/ez les restés partiels les uns à la gauche des autres ; le nombre formé par l'assemblage de ces restes est le reste totaLou le résultat demandé,
Lorsqii un chiffre inférieur est plu^ fort que lé chiffre supé^ rieur , augmentez par la pensée ce dernier chiffre de 10 unités, etdiniinuezle chiffre qui est à sa gauche , d'une unité.
Si, immédiatement à la gauche d^un chiffre supérieur , plus faible que le chiffre inférieur correspondant , se trouvent un oci plusieurs zéros, augmentez toujours, par la pensée^ ce chiffre supérieur d$ 10 unités; mais danè les soustractions sui-
ao PREUVES DE L*ADDltlON
vantes , remplacez les zéros par des g , et diminuez d^une unité le chiffre significatif supérieur qui est immédiatement à la gauche de ces zéros.
On trouvera d'après ce procédé, que si de 6o3ooo4oi on soustrait • 3o^7a47?7
le résultat de Topération est 297275814
i3. Première remarque. Si chacun des chiffres du nombre inférieur était moindre que le chiffre supéâeur correspondant, il serait indifférent de commencer l'opération par la gauche ou parla droite. Mais, comme il arrive souvent que l'un des chifiFres inférieurs surpasse le chiffre supérieur, la soustraction partielle ne peut se faire que par un emprunt sur le chiffre ou Tun des chiifres à gauche de celui sur lequel on opère ; dès-lors, il est-nécessaire de commencer par la droite , afin de pouvoir faire les emprunts dont on a besoin.
i4* Seconde remarque. Il est clair qu'au lieu de diminuer d'une unité le chiffre sur lequel un emprunt a été fait, on peut laisser ce chiffre tel qu'il est, pourvu qu'on augmente le chiffre inférieur correspondant , d'une unité. Cette manière d'opérer est en général plus commode dans la pratique.
Ainsi, dans le dernier exemple , après avoir dit pour les unités simples, 7 de 11 il reste 4> ^^ Ueu de dire pour les dixaines , 8 de g il reste 1 , on dit g de 10 il reste 1 ; de même, au lieu de dire pour les centaines , 7 de i3 il reste 6, on dit 8 de 14 > il reste 6 , et ainsi de suite.
Mais lorsqu'on emploie cette modification , il faut avoir bien soin de n'augmenter le chiffre inférieur qu'autant que , daos la soustraction précédente , on a été obligé de faire un emprunt ; c'est surtout dans la division que nous aurons à faire usage de cette modification.
Preuves de l'addition et de la soustraction,
1 5. On appelle preuve d'une opération arithmétique, une
ET DE LA SOVSTRACTIOIf. ftl
âutrt opération qua l'on fait pour s'assurer de l'exactitude do la première.
La preuve de l'addition se fait en ajoutant de nouveau , mais à commencer par la gauche , les nombres qu'on a déjà ajoutés. Après avoir fait la somme des chiffres qui se trouvent dans la première colonne à gauche ^ on la retranche de la partie qui lui répond dans la somme totale ; on écrit au-dessous le reste qu*on réduit , par la pensée y en dixaines de Pordre du chiffre suivant , pour les joindre aux unités de cet ordre dans la somme totale. On fait de même la somme partielle des chiffres de la seconde colonne à gauche f et l'on retranche cette somme partielle de la partie de la somme totale qui lui répond ; on continue ainsi jusqu^à la dernière colonne , dont là totalité retranchée ne doit laisser aucun reste:
Ainsi 9 après avoir trouvé que les quatre nombres
ont pour somme. 102259
pour vérifier le résultat loaSg, on ajoute les mêmes nombres en commençant par la gauche , et Ton dit 5 et 3 font 8 mille , qui ôtés de 10 mille donnent pour reste a mille ^ qui avec le chilFre a centaines font aa centaines ; ensuite ^ 8 et 5 font 1 3 et 8 font ai que l'on ôte de aa, ce qui donne pour reste 1 centaine qui jointe avec 5 dixaines forme i5 dixaines; 4 ®t 5 font 9 et 4font i3 ; i3 de i5 il reste a qui suivi du 9 , donnea9: enfin, 7 et 9 font 16 et 7 font a3 et 6 font a9; ag de 39 , il reste o ; donc l'opération est juste.
La preuve delà soustraction se fait en ajoutant au plus petit nombre le reste, trouvé par Popération, et il est évident qu'on doit reproduire le plus grand nombre , puisque ce reste n'est autre chose que l'excès du plus grand nombre sur le plus petite
M PREUVES DE ^'APDll^lOff iÇT Pg tA SOUSTRACTION.
A{o3i> d9Ç9 Texeo^ple cirrcontre 8345£
reste 5467a
premre
après avoir trouvé que 5467a est Vçicçia du plus granc) uotubcç 9ur Je plg^ petite 3I l'on ajoute cet e^^cès AU nombre «§784 » on doit retrouver 834Ç6 5 ce qui lat lieu çn çBFet.
16. Voici d^ nouveaux exemples d'additions et de soustractions, avec leurs* preuves.
iSigaia
Soustractions,
4o73o5oo6a a8o3767o86
aooo4ooioo3 84o5 138605
4o73o5oo63 30004001 oo3
PROBLJiME. Un banquier avait dans sa caisse une somme de 65760 fr, ; mais il a fait éUyers paiemens* Il a donné à une prenUère personne iSaSg fr,; à yne seconde ^ 18704/7*.; à une troisième, asoSo/r.; à une quatrième j sS5o fi.; et il veut connaître tétat de sa caisse après tous ces paiemens..
Solution. Après avoir réuni les quatre sommes payées successivement, il soustrait la ^omme totale de celle qu'il avait , ^et le résultat de cette soustraction sera ce qui doit lui rester dans sa caisse.
DE LA MVLTIPLICATIOJX. 93
Tableau des opéraùons.
i32$9 66760 iB<)&taot de la caUse.
18704 ^3863 somme payée.
aaoSo
1887 est ce qui reste dans la caisse.
a:^^^0 II doit rester au banquier 1887 francs.
On rei&arqaera qu'en effectuant Faddition et la soustraction précédentes , on^a considéré les nombres proposés , comm e abstraits, quoiqu'ils fussent des nombres concrets, d'après l'énoncé ; mais parvenu au résultat 1 887 , on lui a donné le nom de l'espèce d'unités que les nombres exprimaient dans l'énoncé. C'est ainsi qu*il faut toujours se conduire , lorsqu*on veut appliquer les procédés des opérations à des questions fournies par les besoins de la société. Ces procédés étant tout-à-fait indépendans de la nature des nombres, on envisage ceux-ci sous un point de vue purement abstrait , sauf adonner ensuite au résultat final le nom de l'unité q^'indiquf l'énoncé de la question.
D£ LA MUt^TIPUGATION.
1 7. Multiplier un nombre pat un mitre eest ( n** g ) composer un troisième nombre avec le premier, comme le second est composé avec l* unité, Dofte^ si les deux nombres proposés sont des nombres entiers , leur multiplication revient à prendre le premier autant de fois quily aétunités dans le second.
On appelle produis le résultat d*u.ue multiplication > multiplicande le nombre à multiplier ^ et multiplicatêtur celui par lequel on maitipli^e , ou qui marque combien de fois on doit prendre le premier : les d^ux noioibriKS pojFtent conjointement le nomde^cfettr^ du. produit.
A proprement, parler, la multiplication n'est autre chose qu'une addition ; car, pour en obtenir le nésultat , il. suiErait de placer le multiplicande au-dessous de lui-même autant de fois moifuunc, qu'ilyad^unités dans le multiplicateur j puis d*ajou-
ù4 DE LA MULTIPLICATION.
ter tous ces nombres entre eux. Mais cette manière d'opérer serait très longue, si le multiplicateur était composé de plusieurs cbifTrés j on a donc cherché à la simplifier, et c*est dans cette abréviation que consiste la multiplication,
18. Tant que les deuxfacteurs sont exprimés chacun par ua seul chiffre , leur produit s'obtient par l'addition successive du nombre à lui-même ; ainsi , pour multiplier 7 par 5 , on dit : 7 et 7 font 14 €t 7 font ai et 7 font a8 et 7 font 35 : ce dernier nombre étant le résultat de Taddition de 5 nombres égaux à 7 , exprime le produit de 7 par 5.
Les commençans feront bien de s*exerCer d*abord à ces sortes de multiplications , parce qu'ils doivent s'en graver les résultats dans la mémoire, s'ils veulent ensuite obtenir facilement les produits des nombres exprimés par plusieurs chiffres. Toutefois, jusqu'à ce qu'ils se soient suifisamment exercés , il convient de placer sous leurs yeux une table appelée table de multiplication ou table de Pyihagore, du nom de son inventeur, ou du moins de celui qui le premier en a répandu l'usage.
Table de Multiplication.
Sens horizontal.
la
ai
la
ai
La première bande horizontale de cette table se forme en ajoutant 1 à lui-même jusqu'à g.
DE LA MULTIPLICATION. aS
La seconde , en ajoatant a à Ini-méme ; la troisième en ajoutant 3 > et ainsi de suite. •
Remarquez d'ailleurs qu'on peut également dresser cette table par colonnes verticales. Chaque colonne verticale est composée des mêmes nombres que la bande horizontale de même numéro. Ainsi, la sixième bande horizontale se com-*^
posant des nombres 6, la , 18 , 54 » la sixième colonne
yerticale renferme les mêmes nombres 6, 12, 18, 54*
Cela po^é , pour trouver, au moyen de cette table, le produit de deux nombres exprimés par un seul chiffre , on cherche le multiplicande dans la première bande horizontale ; et , en partant de ce nombre , on descend verticalement jusqu'à ce qu*on soit vis-à-yis du multiplicateur qu'on trouvera dans la première colonne verticale : le nombre contenu dans la petite case correspondante , est le produit.
Par exemple , pour trouver le produit de 8 par 5 , on descend depuis 8^ pris dans la première bande horizontale^ jusque vis-à-vis de 5 pris dans la première colonne verticale , e.t le nombre 4o/ contenu dans la petite case , est le produit demandé.
On pourrait également prendre 8 dans la première colonne verticale , se diriger horizontalement lusqn'au dessous de 5 , pris dans la première bande horizontale , et l'on trouverait encore 40 pour le produit demandé.
19. Supposons maintenant que le multiplicande étant exprimé par plusieurs chiffres, le multiplicateur n'en ait qu*un seul. Soit a multiplier 8469 par 7.
On pourrait (n** 17 ) obtenir le résultat, en écrivant les uns aa-dessous des autres , 7 nombres égaux à 8469 , comme on le
voit cî-^contre ^4^9
et en ajoutant successivement les unités simples, 8469 .
les dixaines , les centaines , etc. ; on trouverait 845g
ainsi pour résultat 6921 3. 8469
Mais il est évident que cela revient à prendre 845g
successivement 7 fois les g unités du multiplicande, 8469
7 fois les 5 dixaines ^ etc. , et à faire la somme 845g
de tous ces produits. SqaTs
a6 T>W> LA Mi;tTIPtiCATfON.
Ainsi , après avoir 4'tAposé le multiplicateur 7 au- 84Bg
dessous du multiplicande , comme on le voit ici , et 7
ayoir souligné le tout, on dit d*abord : 7 £oîs 9 font 63 g ^ g ( voyez la table de multiplication ) ^ ou fi dixaines et
3 unités ; on pose 3 sous les unités , et Ton retient les 6 dixaines pour les réunir au produit des dixaines du multiplicande par 7.
On dit ensuite : 7 fois & font 35 et 6 de retenue font 41 dixaines^ ou 4 centaines et 1 dixaine ; on pose 1 au rang des dixaines et Ton retient les 4 centaines ;
7 fois 4 font a8 et 4 de retenue font 3a centaines , ou 3 mille et a centaines ; on pose 3 au rang des centaines et Ton retient 3;
Enfin, 7 fois 8 font 56 et 3 de retenue font 69 ; on posé q et Ton avance 5 , parce qu'il n*y a plus de chiffres i multiplier dans le multiplicande.
On trouve ainsi 59213 pour le produit demandé.
D*où Ton voit que, POUR MULTIPLIER UN NOMBRE DE PLU- SIEURS CHIFFRES PAR UN NOMBRE D*UN SEUL CHIFFRE, //
faut multiplier successivement les unités , dixaines , centaines , etc. y du multiplicande par le multiplicateur , et écrire ces différens produits partiels au rang qui leur cornaient , en observant à chaque multiplication partielle, de retenir les dixaines pour les joindre avec les dixaines , les centaines pour les joindre avec les centaines , etc
Soit, pour second exemple, a multiplier 87008 par 49.
On dit d'abord : g fois 8 font 7a ; on écrit a au 37008
rapg des unités , et l'on retient 7. 9
{Insuite , g fois o donnent o ; maiâ comme > dans 333072 la première opération, on a retenu 7 dixaines, il faut les écrire ^u rang des dixaines.
g fois o font o; on écrit o au rang des centaines , puisqu'il n'y en a pas , et qu'il faut cependant en conserver la place.
Eusuite , g fois 7 font 63 ; on po3e 3 et l'on retient 6.
Enfin, g fois 3 font a/ et 6 de retenue font 33; on po3e 3 et l'on avance 3.
Ainsi , le produit demandé est 333o72.
n^ I.A MUI.? IPUC \T^QI«. 97
40. AvAst da pa^f^r a» ca». où Le miiltiplicatear qsI composé àe 4ea:K ou plot îeurs ebUrre$ , uQUê iiuliqiieroQs le moyen de rendre un nombre 10 , 100 , icoo* . . , fois plus grand , ou de le multiplier par ip, 100 > 1000. * . •
Il rés«|Ite éTidemment du prÎDfiîpe foisidameslal de la pumé*» ration (p? 5) > qne, si Vo^ place uo o à la droite d'on nombre déjà iority cbacande9 chiffres sigpificatifa dç ce nombre , reculant dunrang yera la gauche , exprime alora des unités 10 fois plus grandes qu^auparavant. De même^ en plaçant deux o à sa droite, on la rend 100 fois plus grand « puisque chaque chiffre significatif e^prîmts des unités 160 fois plus fortes; et ainsi de suite.
Donc j pour muMpUer un nombre entier quelconque par 10 , 100 , 1000 , e4c, , H siffit d'ajouUr à 9a droite 1 , a , 3, , , . t^tos.
Aissi , }es prqduits de 4^9 par lo > 100 > 1000 , iooqq , etc. , sont 43^0 1 /^QQO y 4%ooo , 4^90000
â|. Considérons açtuelf^m^nt le cas où h multiplUi€indft ^ le multiplicateur sont composés de plusieurs chiffres»
On PftOPOSIR DE JWVLTIPWER,... ... 87468
PAR \s 5847
