DE LA DIVISION

premier nombre ^ considéré comme produit » contient le second, coosidéré comme multiplicande; le nombre de fois est alor^ le multiplicateur. Enfin ^ on a encore vu (n® 9) que diviser un nombre entier par un autre , c*est partager le premier nombre en autant de parties égales qu*il y a d'unités dans le secend.

Ces deux derniers points de vue , sous lesquels on envisage quelquefois la division, ne conviennent qu'aux nombres entiers, tandis que les deux premiers conviennent à tous les nombres possibles , tant entiers que fractionnaires. Toutefois , les dénominartions données aux termes d'une division, ont été tirées des denx derniers points de vue.

Ainsi; le premier nombre s'appelle dividende (nombre à diviser ou à partager) , le second s'appelle diviseur et le troisième se nomme quotient , du mot latin quoties, parce qu'il exprime combien de fols le dividende contient le diviseur.

Il résulte évidemment des deux premières définitions , que , lorsqu'on aura obtenu le quotient^ pour faire la preuve de l'opération, il suffira de multiplier le diviseur par le quotient; et si r opération est exacte, on devra reproduire le dividende.

Réciproquement, dans la multiplication, le produit peut être considéré comme un dividende , le multiplicande comme le diviseur, et le multiplicateur comme le quotient; ainsi. Ton fera la preuve de la multiplication en divisant le produit par Fun des facteurs; et si l'opération est exacte, on devra re^ produire f autre facteur.

Ces notions établies , passons à l'exposition du procédé de la division.

s8. De ménie que la multipUcatiou peut s'exécuter par Vaddition d'un nombre plusieurs fois à lui*même , on pourrait aussi trouver le quotient d'une divisioo par une suite de soustractions»

£n effets qu'il s'agisse, par exemple, de diviser 60 par la.

Autant de fois on pourra soustraire la de 60, autant .de fois id

sera contenu dans 6o. Ainsi , le quotient est égal au nombre

de eonetractions quon peut' faire , avant 4ve le dividende soit

épaiaé.

34 Dfi tÀ DIVISION.

Dans ctt exemple, comme on est go

obligé de faire 5 sotistraetiods succès*^ 'i a

sîvëS , il «'ensuit ^né le quotient ^ i*' reste.

est 5. H

JJlèis cette manière de faire la divî- 86 a*,

sîon' serait trop longue dans là pra- la

tic(ae, surtout si le dividende était très SfZ".

gratfd par rapport au diviseur. C'est i^

dans l'art d*abréger Pbpération , que cou- i ^ 4*«

siste Te procédé ordih aire de la di- ^^

i^ision. u j .

22g. Dès que l'on connaît de mémoire les produits de deux nombres d'un seul chilTre^ on peut déterminer aisément le quotient de la dinsion d'un nombre d^un ou de deux chiffres, par un nombre dun seul chiffre.

Par exemple > 35 divisé par 7/ donne pour quotient 5; ou bien^ en 35 combien de fois 7? il y est 5 fois» parce que l'on sait que 5 fois 7 dpnne 35. De même , en &4 coznbien de fois 9 ? il y est 6 fois. On dit encore dans le premier exemple , le 7* de 3$ est 5, parce ^ue 7 fois 5 font 35; et.^ans Je âeoond, le 9* de 54 est 6 , parce que 9 fois 6 font 54' .

Soit enoote 68 à diviser par 9? Comme 7 fois 9 on 63 et 8 fois 9 ou 7fl comprenfi<»it 68^ it s^oftuk que* 68 ^Ivisi pitt 9 donne au quotient 7 pour 63 » avec un reste 5 ; ou biem ^ 1« 9* de 68 e^t 7 pour 63> et il reste 5* : , '^

Pareillement , en 47 combien de fois 8 ? il y est 5 foia ; ou le 8* de 47 ^8t 5 «t il reste % puisque 5 fois 8 iint 40 , et que 6 fois 8 donne 48« ' •' »»* *

On verra plu» loin ce qu'on doit faire du reste > lorsque le ^ diviseur n'est pas contenu exactement dans le dividende. '

3o. Passons i^u cas ck^le^vidende est eofnposé de plus de deux ehfffrest'lediviseurn^i^ttt^ncore qu'un seul chiffte^

Comme il eadste une Maison intime entre 4a maltiplfoation et ladiviaidii > il est naturel de reebérdher le procédé de' iMtte d«rnière opération dans celui qui a été suivi pour la multiplication.

&Ê LA DiViSIOir. 35

Reprenona k premier exemple traité n® 1 9 .

il réitilte d6 celte' multiplication que le produit 8469 BgdiS;' dé composiB de 7 fois les unités; 7 fois les 7

dixaiiies ; 7 fois les centaines , 7 fois les mîlle du ^Sgai? noknbre 8469 ; ainsi ^ ce produit est !a somme de quatre produits partiels qui correspondent au^t quatre chifires du mul' tiplicande. Dôncréisiproquementi étant donné le produit 6921 3 et l'un de ses facteurs, 7, pour retrouver Tàutre facteur^ il fauttâdter, au moins par la pensée, de décomposer 693 13. dans les quatre produits partiels^ dont le premier à gauche exprime des milk^ le second des centaines. ... ; prenant alors le 7* de chacun d'eu^f et réunissant les quotiens partiels, on obtiendra le quotient total ou le second facteur.

Voici comment on dispose Topération :

On écrit le diviseur à la droite du dividende , on les sépare par un trait vertical , puis on tire une barre horizontale au-dessous du diviseur.

Cela posé, on prend à la gauche du di- ^ ridende lear deux premiers chiffres for- S ""575"

mant Bg mille , qu*on regarde comme le " '

premier produit partiel, et l'on dit : en Sg \^

combien de fois 7, ou plutôt (pour se conformer à l'usage suivi, lorsque le diviseur est d'un seul chiflFre), le 7® de 69 est 8 pour 5S ; le quotient 8 ainsi obtenu , exprime les mille du quotient total , et s'écrit sous le diviseur, comme on le voit ci-dessus ; on multiplie 7 par 8 et l'on retranche le produit 56 dé 69 ; ce qui donne pour reste 3 mille, qu'on doit regarder comme provenant de la retenue faite dans la multiplication des centaines du quotient par 7. "

On abaisse à côté du 3 le chiffre a des centaines du dividende^ ce qui donne 3û centaines, qu'on regarde comme le MCDod produit partiel, et l'on dit e le 7* de 32 est 4 ponr s8 ; on écrit le chHFce jÇ^qui doit exprimer les centaines du quotient ^ à la droite du chiffre 8; ensuite, on multiplie 7

36 DE LÀ DITISIOPf.

par 4> et Ton tetrancbe le produit a8 du diyddéndejpartitl Sa r ce qui donne le reste , 4 centaines y qui représente les retenues faites dans la multiplication des dixaines du quotient par 7.

On abaisse à côté du nouveau reste 4j '^ chiffre 1 des dtxaines du dividende, ce qui donne ^\ dixaines, et l'on dit ; le 7* de 4^ C9t S pour 35 ; on écrit le cbifire 5 à la droite des deux précédons > comme exprîinant les dixaines du quotient; on multiplie 7 par 5 , et Ton retranche le produit 35 du dividende partiel 4' ; le reste 6 exprime les dixaines provenant de. la multiplication des unités du quotient par le diviseur.

Enfin , l'on abaisse, à côté du chiffre 6, le chiffre S, et Ton dit : le 7* de 63 est g exactement ; on écrit ce chiffre 9 à côté des trois précédons , comme exprimant les unités du quotient ; on multiplie 7 par 9 ^ et Ton retranche le produit 63^ du dividende partiel 63; on obtient o pour rejste j donc 845g est le quotient demandé.

En effet, il résulte évidemment de toutes les opérations précédentes, qu'on a successivement retranché du dividende 5gai3, 7 fois 8 mille, 7 fois 4 centaines , 7 fois 5 dixaines , 7 fois g unitéà ; et puisqu*après toutes ces opérations , il ne reste rien, il s*ensuit que 5gai3 est égal au produit de 845$ par 7, ou de 7 par 845g ; ainsi , ce dernier nombre est le ^uotient cherché.

Soit pour second exemple ^ à diviser jS^fiS^par 8.

La première difficulté qui se présente 754^64 8 ici , est de connaître la nature des plus 34 hautes unités du quotient , et d en déter-* aa miner le nombre. Pour y parvenir , obser- 66

vons que , si le premier chiffre à gauche du ^4

dividende était plus fort que le diviseur , ^

ou lui était égal , le quotient total renfermerait alors des unités de même espèce que celles du chiffire que l'on considère dans le dividende; cela est évident. Mais comme, dans cet exemple, le premier chiffra 7 est pluj faible que 8, on doit conclure que les plus hautes unités dû quotient ne peuvent être

DE LA. J>IY1810N. $7

^ue des unités de la nataee du second chiffre à fauche, dans le dividende.^' Alors on pren^^ les deux premiers chiffres fermant yb dixaines de mille, et 1*130 dits le 8* de 70 e»t 9 pour 7a ; donc, le quotient total renferme 9 dixaines de mille , puisqu'on peut soustraire 8 fois 91 ou jadixaines de mille, du dividende ; on écrit alors g^sQUs le diviseur; on multiplie ensuite 8 par 9 et Ton retranche ^e produit ^ y 2 milfe , du dividende partiel 76 ^ le reste 3 qu'on obtient, provient des retenues de la myltiplicajtion des miUe du quotient total par 8.

On abaisse à côté du reste 3 , le chiffre suivait 4 ^u dividende , et Ton dit : le 8*^ de 34 mille est 4 pour 32 » et Ton écrit 4 ^us le diviseur et à droite du chiffre 9 ', retranchant le produit 4 fois 8 ou 3a de 34 > il reste a, à côté duquel on abaissç le chiffre a des centaines . du dividende , puis on opère sur l'0 nouveau dividende partiel 22 , comme sur les précédens ; et l'on continue ces opérations jusqu'à ce. qu'on ait abaissé le dernier chiffre 4 du dividende *, on obtient ainsi pour le quotient demandé, 94283. ^

Preuve.

Daos la pratique, toutes les fois que le divii^eur n'est que à*an seul chiffre , on abrège l^opération ainsi qu'il suit :

Soit à diviser 46237324 par 6.

Après avoir souligné le /c k 2 y i c

dividende, on dit : le G- de 45a373a£[ 6

45 est 7 que Ion écrit au- quotient.., , 7539664

dessous de 46 > et il reste 3 G . preuve.

qu'on réunit par la pensée , 46237324 '

au chiffre suivant 2 » ce qui '

donne 32; le 6* de 32 est 5 que Ton écrit à la droite de 7, et

il reste 2 qui, réuni au chiffre 3, forme 23; le 6* de 23 est -3

que l'on écrit à la droite des deux chiffres précédeAs , et il

reste 5 qui, suivi du chiffre 7, donne 67; le 6? de 67 eut-ç^

88 DE LA DIVISIOÏT.

pour 54 » et il reste 3 tpii, soi?! du cUffre 3 , doime 63 ; lè 6* d^ 33 est 5 pour 3o, etil reste 3 . qui , stiiTi da cMffire ù, donne Sfl ; le 6* de 3a est 5 pour 3o*; ehBa, lè 6* de û4 est 4 ^ddnc^ le quotient cherché est 7539654*^ En' effets si Ton inultiplie ce . dernier nombre par 6^ on trouve pour produit éfi^'fià^^

Pareillement , le $• du nombre ..,...,. 9726647 | 8

•^* • • idi57o5.«%7' û

et il reste 7. ^ g Vtwe.

iV. B» Dans cet exemple, lorsqu'on est ■ —

parvenu au chiffre 7 des centaines du quo- 97^^^4o lient , comme on n'obtient pas de reste , et ■

que le cbifire suivant , 4 > est plus petit 97226647 ,

que 8 9 cela indique qu'il n'y a pas de dixaines au quotient j alors on met un o pour en tenir lieu^ et faisait suivre le cbiffr^4 ducbiffre 7 des unités ^ ce qui donne 47» on dit : le 8* de 47 est 5 que i*on écrit à la droite du o , et il reste 7.

3i, Venons au cas où le dividende et le diviseur sont corri'^ poses de plusieurs chiffres. .

Pour découvrir le procédé > proposons^nous de multiplier les nombres 694 et 437; après quoi nous vérifierons l'opération par la division.

Il résulte d<e cette multiplication que le produit 259578 se compose des trçis r w

produits partiels du multiplicande 694» #!t^

par les unités, dixaines et centaines du ,

multiplicateur 4^7* I^onc t%ciproque- 4^56

ment, étant donnés le produit aS^hyS et 178^

Pun de ses facteurs 5g4» pour trouver le 3376

second facteur ou le quotient de la dî- aSoStS

f ision de ces deux nombres, il faut tâcher de mettre en évidence dans le produit a5g578, les trob produits partiels dont il se compose. L4 chose ne pa^ ràit pas fadle^ i cause des réductions qui se sont opérées ^ntre les chiffres , dans l'addition des produits partiels. Cependant , pour y parvenir^ voici comment on raisonne :

DE Li DlYlSilO^, 39

JLe produit partial de 694 par le« ce^- ^ ^^ 1 r >r

taines du quotient^ ne pouvant donner „^^ 1—=^

moins que des centaines, se trouve neces- / • ^ '

sairement compris dans les aSgS centaines ^^978

du dividende; et si Ton cherche le plus lySa

grand nombre de fois que 694 est contenu . -^

dans aSgS , ce chiffre exprimera /e^ cé/i- ^ .^

taines du quotient total, ^

D*abord, ce chiffre n'e^t pas plus fort que ooco

le chiffre des centaines, puisque son produit par 5g4/ donnant un nombre plus petit qm sBgB centaines, le quotient total est au moins égal à autant de fois ioo> qull y a d'unités dans ce chiSkie. En second lieu , ce chiffre n*est pat plus faible (^e le chiffre des centaines, puisque, si on Taugmentait seulement d'une unités son prodilk par 594, serait plus grand que aBgB centaines , et ne pourrait par conséquent être son»* trait du dividende ; ainsi, ce chiffre doit être celui des cenrtaines du quotient.

La difficulté, pour déterminer le chififre des centaines du quotient, consiste donc à chercher t;ombien de fois âSgS con« tient 594, ou, ce qui revient au- même, à chercher le chiffre qui, multiplié par 694, donne le nombre le plus" approchant de aSgB. On pourrait d'abord obtenir ce chiffre , en soustrayant successivement et autant de fois que possible > 694 de s5g5 j mais on simplifiera cette recherche, en observant, d'après la règle (n* 19) delà multiplication d'un nombre de plusieuri chiffres par un nombre d'un seul, que aS est, à quelques unités près, provenant des réductions , le résultat de la nïftlti»^ plication du chiffre 5 de 694, par le chiffre cherché. Or, si Voh divise fl5 par 5, on obtient pour quotient 5, qni est évidetoment un chiffre trop fort; car, dans la multiplication de 894 par 5, le produit de 9 par 5 est 45 dixaines, ce qui donne 4 centaines à reporter sur le produit de 5 par 5 ou aS. Essajon» donc 4; le produit de 694 par 4 est 2376, nombre qni est plus petit que aSgS, et qu'on écrit alors au-dessous de ce dernier nombre ; ainsi, 4 ^% le véritable chiffre des centaines du quo*

4o DE LA DIVISION.

tient ; c'e^t pourquoi on Técrit sons le diviseur^ comme on le voit ci-dessus. (On voit d'ailleurs que ^376 est le 3* produit partiel qu'on a obtenu , en multipliant 5g4 P^^^ 4^7» )

Soustrayant 22376 de a5g5, et ab^ssànt à côté du reste 21 q , les chiffres suivans du dividende^ on a a 1978^ nonabre qui se compose encore de la somme des produits partiels de $94 P^>^ les dixaines et unités du quotient.

Pour obtenir les dijçaines, on raisonnera comme précédemment. Le produit de 694 par des dixaines , ne pouvant donner nioins que des dizaines, se trouve nécessairement dans les 51197 dizaines du nouveau dividende ; et si l'on cherche le plus grand nombre de fois que 694 est contenu dans 12197^ ce chiffre set^ celui des dixaines du quotient. D'abord ^ il n'est pas^rop fort, puisque son produit par 694 pouvant être sous^ trait de 21197 dixaines, le quotient est au moins égal à autant de dixaines qu'il y a d'unités dans ce chiffre. Ensuite , il n'est pas trop faible y puisque, si on l'augmentait seulement d'une unité, son produit par ^94 serait plus grand que 9197 dixaines , et ne pourrait plus 6tre soustrait du dividende a 1978^

Voyons donc combien de fois 2^197 contient 094» ou plutôt , d'après l'observation faite ci-dessus, combien de fois ai contient 5 ; on trouve 4 > mais dans la multiplication de 5^4 par 4> le produit de 9. par 4 est 36 , ce qui donne 3 centaines à reporter sur le produit de 5 par 4> ou ao ; aiosi 4 ^^^ ^^^P f<o^^* Essayons 3; le produit de 694 par 3 est 178a, nombre qui est plu9 petit que ai97> et que l'on écrit sous 2197 : ainsi y 3 est le chiffre des dixaines du quotient , et on le place à la droite du chiffre 4 déjà trouvé. (Le produit 178a est d'ailleurs le a* produit partiel de la multiplication de 694 par 4^^. )

Souatrayant 178a de 9197, et abaissant à côté du reste 4^5 le chiffre 8 du dividende, on obtient 4^58, nombre qui représente le produit partiel de 694 > parles unités du quotient.

Cherchant enfiiU combien de fois. 41B8 contient 694^ ^^ P^"' tût, combien de fois 4 1 contient S, on trouve 8 \ mais 8 est trop fort;. comme il est aisé de le voir; essayons 7, il vient pour le produit de 694 par 7, 4^58 , nombre qui, soustrait de la partie