USAGES DE LA MULTIFLJGATION
Voici l'opération , et 9a preiiv6 par ia division :
2564 iâo5o8 ^7 "^
^7948 3oo loaBS —
oco Donc ; 2664 toises ont coûté i3o5o8 francs.
Seconde question. La toise d'un certain ouvrage en maçonnerie coûte Safranes; on demandé combien on fera construire de toises pour 9^^S francs.
Il est clair qu'autant de fois 3^ sera contenu dans SSgB , autant de toises on pourra faire construire ; ainsi « il siiffit de diviser SS^S par 89 ; et le quoti«nt qu*on (^tiendra sera le nombre de toises demandé.
Preuve..* ai5
ao5
ai 5»*
Comme on obtient pour quotient fli5 , et pour reste lo, il faut savoir Tusage qu'on doit faire de ce reste.
Observons que^ si le dividende renfermait 10 francs de moins , il serait le produit exact de 89 par di5; ainsi, le nombre de toises demandé serait 91 5; mais comme on a 10 francs de plus , il s'agit de déterndner la fraction de toise qu'on peut faire construire avçc ces 10 francs. ,
Or y avec un franc, on aurait évidemment 7- de toise , puisqu'on a une toise pour 39 francs; donc avec 10 francs, on doit avoir 10 fois -^ ouç- de toise ( tioyesn^S ); ainsi ai 5
toises plus -r de toise, est le résnltat demandé»
ET DE LA DnriSIOll. ^3
Tt\ C9t, en générai^ Fosage qa*on doit faire àa reste ^ne dlTÎsioii , lotsqa'ea effectuant cette opération , on a en vue de lésoodre nse question relatlTe à des nombres concrets ;
On conp^û f unité du quotient ( dont la nature est toajoun déterminée par Ténoncé de la question ) dÎMisée en Ottfojtl de parties égales qu'il y a iT unités dans le diviseur; on prend tune de ces partiei azttimt de fois quJL y a danités dans le reste de la division^ puis on ajoute ia fraction qui en résulte, ou quotient eniier.déjà obtenu.
Troisième question. On a payé a^yifi'^pour 896 aunes duMte certaine étoffe ; on demande le prix de Faune de cette étoffe.
Si Ton' connaissait le prix de Faune , en le répétant SgS fois, on derraît reproduire 21478 firancs; ^nsi, il suffît encore de diviser 21478 par 895.
iir478
Su
895 Preuve, ... 895
Gomme h diyiden(}e » outre le produit de SgS par a3^ contient encore SqS francs » il s'ensuit que le prix de Taune est ^fr.-/^liis Twie^acrio/i qu'il s'agh de déterminer;
Pour y parvenir , remarquons que ^-^ répété SgB fois ,
donne a •, ainsi, gS^ répété 895 fois, donne ogS *, et par cçn-
6o3'' sèquênt^ aS plus ^« est un nombre qui, multiplié par figT) ^
reproduit ^i47^» Ponc enEa, le prix demandé e^t a3 francs
5o VSACES DE LA DITISIOU.
Ce résultat s'accorde avec la règle établie dane Pexeinple
précédent.
Quatrième question. Supposons que 49^ personnes aienê à partager également une somme de 1348708 francs; on demande la part qui revient à chacune.
S5a7 4ic8
is4
3708/" tl
Le quotient de cette division étant ^7081 et le reste i94i ou peut déjà conclure que, si la somme à partjager était diminuéa de 1 34 francs, chaque personne aurait pour sa part, 2708 francs. Uaîs« comme la somme renferme ifi4fr^C' ^^ p'^^ QU* I^ produit de 9708 par 498» il s'ensuit que chaque personne doit avoir 3708 francs, plus une partie des 194 francs. Pour se former une idée de cette partie , on peut d*abord considérer le nombre ia4 comme un tout, qu'il faut diviser en 498 parties égales; et Pune de ces parties est la fraction qui doit compléter le quotient; mais il est plus simple (n** 8) de concevoir F unité , qui est ici le franc, divisée en 498 parties égales appelées
498*"", et de prendre ia4 cle ces parties ; ce qui donne
pour la fraction à ajouter au quotient entier.
39. iV. B. Ce dernier exemple nous conduit à une remarque dont nous ferons souvent usage; c*est que, diviser le nombre 194 en 498 parties égales, revient i prendre 124 fois la 498* partie de l'unité. En effet, si, au lieu de i94i on avait seulement 1 à diviser en 498 parties égales j chaque partie
serait -7-^; mais, comme le nombre à partager est 194 fois
plus grand , on conçoit que le résultat du partage doit être
PRINCIPES SUR LA MULTIPLICATION ET LA DIVISION. 5l
1^4 fois pins grand, ou égal a ia4 fois 7-5, oubîenenEo,
De même, diviser i5 en a8 parties égales, revient à prendra i5 fois la a8® partie de Tunité. Car, si Ton avait seulement 1
k diviser en a8 parties, chaque partie serait égale à —3- ; mais ,
comme l'on a à partager i5, on un nombre i5 fois plus grand,
1 , i5 le résultat doit être égal à i5 fois -^, ou k -7;.
En général , diviser un nombre en autant de parties égales quil y a d unités dans un autre , revient à diviser l'unité en autant de parties égales qu'il y a d'unités dans le second, et à prendre l'une de ces parties autant de fois qu'il y a doutâtes dans le premier, 1
4o. Des deux propositions démontrées n°' a5 et 26 , on déduit quelques conséquences qu il est bon de faire connaître» parce qu^elles sont d'un usage continuel en Arithmétique.
Observons avant tout que, d'après les déEnitions mémcB do la multiplication et de la divi{>ion des nombres entiers » on rend un nombre entier autant de fois plus grand ou plus petit qu'il y a d'unités dans un autre, en multipliant ou divisant le pr&* mier nombre par le second.
Ainsi, lorsqu'on multiplie 24 par 6 , le produit qu'on obtient est 6 fois plus grand que 24» puisqu'il résulte de l'addition de 6 nombres égaux à 24* De même, si l'on divise 24 P^ 6» le quotient est 6 fois plus petit que 24 > puisque ce quotient répété 6 fois , reproduit 24.
Cela posé, je dis d'abord que si, dans une multiplication , on rend le multiplicande ou le multiplicateur un certain nombre de fois plus grand ou plus petit,. le produit est , par ce changement, renc^a le même nombre défais plus grand ou plus petit.
Soit, par exemple» à multiplier J^j par 6 , et supposons qu*aa lieu d'effectuer cette opération, on, multiplie 4? par 24 qui est 4fob plus grand que 6; comme» d'après ce qui a été dit n® 25 ,
5a pRiNcrpES sur la multiplication et la division.
nmltiplier 47 P^^ ^4 Tcvient à multiplier 47 pi^r 6^ I& prodak obtenu par 4> îl s ensuit que le produit de /^j par a4 ^^X ^g^l à 4 (ois le produit de 4? P^^ ^ > ^^ ^^^^ > ®^^ 4 fois plus grand que le produit de 4? par 6.
Réciproquement, le produit de 4? par 6 (qui est le quart de q4) ^^^^^ 6 fois plus petit que le produit de 4? P^r 24^1! s'ensuit que si Yon rend le multiplicande 4 fois plus petite oà si on le divise par 4» 1^ produit est^ par ce changemeat, rendu 4 fois plus petit.
On a vu d'ailleurs (n^ 26) que , dans une multiplicatidn dé deux facteurs , on peut intervertir Tordre des deux Cacteurs ; donc ce qui vient d*être dit, par rapport au multiplicateur, s'applique également au multiplicande ; donc, etc....
Il résulte de là qu'on ne change pas la valeur êtun produit j en rendant le multiplicande un certain nombre de fhjs plus grand f pourvu qu^on rende en même temps le multiplicateur le même nombre de fois plus petit , c'est-à-dire, en multipliant le premier facteur par un certain nombre , et divi» sant le second par le même nombre. Car, par la première opération , on rend le produit un certain nombre de fois plus grand, et par la seconde, le même nombre de fois plus petit; donc il y a compensation.
C'est sur cette dernière conséquence que se fonde un moyen qu'on emploie quelquefois pour vérifier la multiplication.
Soit 347 ^ multiplier par 72. Multiplier 347 par 73, revient à multiplier 2 fois 347 ou 694 par la moitié de 72 ou' par 35. Ainsi , après avoir multiplié 347 P^^ 7^ > on peut ensuite multiplier 694 P^r 36-, et si la première opération eèt juste, on doit retrouver le même nombre.
Maintenant, puisque, dans la division, le dividende est un produit dont le diviseur et le quotient sont les deux facteurs , il s*ensuit que si l'on rend le dividende un certain nombre de fois plus grand ou plus petit , c*est-à-dîre , si on le multiplie ou divise par un certain nombre entier, le quotient est) par ce changement, multiplié ou divisé par le même nombre.
En effet I comme, après le changement; le quotient multiplié
DES FRACTIOKS. 5f3
par le diviseur doit reproduire un dividende un certain nombre de fois plus grand ou pkia petit que le premier, il faut nécessairement, le diviseur restant le même, que le quotient soit ce même nombre de fois plus grand ou plus petit»
Au contraire, si, sans toucher au dividende, on reitid te diviseur un certain nombre de fois plus grand ou plus petit , le quotient est par là, rendu ce nombre de fois plus petit ou plus grand: cest en effet la seule hjrpothèâe admissible, pour que la multiplication donne le même produit ou le même dividende.
Donc, en multipliant ou divisant le dividende et le diviseur p€tr un même nombre ^ on ne change pas le quotient; puisque si , parle changement fait sur le dividende, on hluUipiie oli divise le quotient par un certain nombre , le second changeme/ït le rend le ^même nombre de fois plus petit ou pkis grand ^ ainsi » il jr a compensation.
