CHAPITRE II
Des Fractions.
41. vJn a déjà vu (n°* i et 8) ce que cW qu'Hiie fraction , et
quelle idée on doit s'en former» On distingue toujours deux
termes dans une fraction , le dénommtttear et le numérateur.
Le dénominatenr indique en combien de parties égales l'unitë
eit divisée , et le numérateur^ combien on prend de ces parties ;
l'ensemble des parties que Ton prend, constitue la fraction.
Ainsi , dans la fraction -r, qu'on prononce trois quarts ,
4 est le dénominateur et indique que l'unité est dîvis<ie ei|
4 parties égales; 3 est le numérateur et indique qu'on prçnd
5 de ces parties. De même, la fraction —, que Ton prononce
onze douzièmeSp «xpjrm^e que l'unité ^t divisée ^c 1 a par>ties égales , et qu on ^n,pjiend .v 1 .
a4 DE LA MULTIPLICATIOK.
ter tous ces nombres eatre eux. Mais cette manière d'opérer . serait très longue, si le multiplicateur était composé de plusieurs chiffres; on a donc cherché i la simplifier, et c'est dans cette abréviation que consiste la multiplication.
1 8. Tant que les deuxfacteurs sont exprimés chacun par ua seul chiffre , leur produit s'obtient par l'addition successive du nombre à lui-même ; ainsi , pour multiplier 7 par 5 , on dit : 7 et 7 font 14 et 7 font ai et 7 font a8 et 7 font 35 : ce dernier nombre étant le résultat de l'addition de 5 nombres égaux à 7 , exprime le produit de 7 par 6.
Les commençans feront bien de s'exerCer d'abord à ces sortes de multiplications , parce qu'ils doivent s'en graver les résultats dans la mémoire ^ s'ils veulent ensuite obtenir facilement les produits des nombres exprimés par plusieurs chiffres. Toutefois, jusqu'à ce qu'ils se soient suffisamment exercés , il convient de placer sous leurs yeux une table appelée table de multiplication ou table dePythagore, du nom de son inventeur, ou du moins de celui qui le premier en a répandu l'usage.
Table de Multiplication,
Sens horizontal.
to 12
la
La première bande horizontale de cette table se forme en ajoutant 1 à lui-même jusqu'à g.
DE LA MULTIPLICATION. aS
La seconde , en ajontant a à lui-même ; la troisième en ajoutant 3 j et ainsi de suite. •
Remarquez d'ailleurs qu'on peut également dresser cette table par colonnes verticales. Cktique colonne verticale est composée des mêmes nombres que la bande horizontale de même numéro. Ainsi, la sixième bande horizontale se com-^
posant des nombres 6, la , 18 , 54 > la sixième colonne
verticale renferme les mêmes nombres 6, la, 18, b^,
Celapo^é > pour trouver, au moyen de cette table, le produit de deux nombres exprimés par un seul chiffre , on cherche le multiplicande dans la première bande horizontale ; et , en partant de ce nombre , on descend verticalement jusqu'à ce qu*on soit vis-à-yis du multiplicateur qu'on trouvera dans la première colonne verticale : le nombre contenu dans la petite case correspondante , est le produit.
Par exemple , pour trouver le produit de 8 par 5 , on descend depuis 8; pris dans la première bande horizontale, jusque vis-à-vis de 5 pris dans la première colonne verticale , eX le nombre 4o/ contenu dans la petite case , est le produit demandé.
On pourrait également prendre 8 dans la première colonne verticale , se diriger horizontalement jusqu'au dessous de 5 , pris dans la première bande horizontale , et l'on trouverait en- core 40 pour le produit demandé.
ig. Supposons maintenant que le multiplicande étant exprimé par plusieurs chiffres, le multiplicateur n'en ait qu^un seul. Soit a multiplier 8469 par 7.
On pourrait ( n° 17 ) obtenir le résultat, en écrivant les uns au-dessous des autres , 7 nombres égaux à 8469 , comme on le
voit ci-^contre 8469
et en ajoutant successivement les unités simples, 8469 .
les dixaines , les centaines , etc. ; on trouverait 8469
ainsi pour résultat 6921 3. 8469
Mais il est évident que cela revient à prendre 8459
successivement 7 fois les 9 unités du multiplicande, 8459
7 fois les 5 dixaines , etc. , et à faire la somme 8469
de tous ces produits. SoaiS
a4 DE LA MULTIPLICATION.
ter tous ces nombres entre eux. Mais cette manière d'opérer . serait très longue, si le multiplicateur était composé de plusieurs cbifTrès; on a donc cherché à la siiripliGer, et c'est dans cette abréviation que consiste la multiplication,
18. Tant que les deuxfacteurs sont exprimés chacun par un seul chiiFre , leur produit s'obtient par l'addition successive du nombre à lui-même ; ainsi , pour multiplier 7 par 5 , on dit : 7 et 7 font 14 et 7 font ai et 7 font a8 et 7 font 35 : ce dernier nombre étant le résultat de l'addition de 5 nombres égaux à 7 » exprime le produit de 7 par 5.
Les commençans feront bien de s'exercer d'abord à ces sortes de multiplications , parce qu'ils doivent s'en graver les résultats dans la mémoire^ s'ils veulent ensuite obtenir facilement les produits des nombres exprimés par plusieurs chiffres. Toutefois, jusqu'à ce qu'ils se soient suffisamment exercés , il convient de placer sous leurs yeux une table appelée table de multiplication ou table de Pythagore , du nom de son inventeur^ ou du moins de celui qui le premier en a répandu l'usage.
Table de Multiplication.
Sens horizontal.
mm
La première bande horizontale de cette table se forme en ajoutant 1 à lui-même jusqu'à 9.
D£ LA MULTIPLICATIOH. aS
La seconde , en ajontant a à lai-méme ; la troisième en ajoutant 3 y et ainsi de suite. -
Remarquez d*ailleurs qu'on peut également dresser cette table par colonnes verticales. Chaque colonne verticale est composée des mêmes nombres que la bande horizontale de même numéro. Ainsi, la sixième bande horizontale se com-»
posant des nombres 6, lâ ^ 18 , 54 1 la sixième colonne
verticale renferme les mêmes nombres G, la, 18^ 5^.
Gela po^é , pour trouver, au moyen de cette table, le produit de deux nombres exprimés par un seul chiffre , on cherche le multiplicande dans la première bande horizontale ; et , en partant de ce nombre , on descend verticalement jusqu'à ce qu'on soit via-à-yis du multiplicateur qu'on trouvera dans la première colonne verticale : le nombre contenu dans la petite case correspondante , est le produit.
Par exemple , pour trouver le produit de 8 par 5 , on descend depuis 8j pris dans la première bande horizontalei jusque vis-à-vis de 5 pris dans la première colonne verticale , C|t le nombre 4o/ contenu dans la petite case , est le produit demandé.
On pourrait également prendre 8 dans la première colonne verticale, se diriger horizontalement jusqu'au dessous de 5, pris dans la première bande horizontale , et l'on trouverait encore 40 pour le produit demandé.
19. Supposons maintenant que le multiplicande étant exprimé par plusieurs chiffres, le multiplicateur n'en ait qu^un
seul. SOIT A MULTIPLIER 84&9 PAR 7.
On pourrait ( n** 17 ) obtenir le résultat, en écrivant les uns au-dessous des autres , 7 nombres égaux à 8469 , comme on le
voit ci'^contre ^4^9
et en ajoutant successivement les unités simples, 8469 .
les dixaines , les centaines , etc. ; on trouverait 8469
ainsi pour résultat 5931 3. 8469
Mais il est évident que cela revient à prendre 8459
successivement 7 fois les 9 unités du multiplicande, 8469
7 fois les 5 dixaines , etc. , et à faire la somme 8469
de tous ces produits. SoaTs
a6 J>€ LA MVtTiFtlGATfON.
Ainsi 9 après avoir disposé le maUipItcateur 7 au- 8469
dessous du multiplicande , comme on le voit ici ^ et 7
ayoir sooligiié le tout, on dit d*abonl : 7 &is 9 font 63 g .^g ( voyez la table de multiplication ) ^ on fi dixaines et
3 unités ; on pose 3 sous les nnités , et Pon retient les 6 dixaines pour les réunir au produit des dixaines du multiplicande par 7.
Onditensuite:7foisSfont35et6derctenuefont4i dixaines» ou 4 centaines et 1 dixaine ; on pose 1 au rang des dixabes et Ton retient les 4 centaines ;
7 fois 4 font a8 et 4 de retenue font 3a centaines , ou 3 mille et a centaines ; on pose a au rang des centaines et Ton retient 3;
Enfin» 7 fois 8 font 56 et 3 de retenue font 69 ; on pose 9 et l'on avance 5 , parce qu'il n*y a plus de chiffres à multiplier dans le multiplicande.
On trouve ainsi BqaiS pour le produit demandé.
D'où Ton voit que, POUR MULTIPLIER UN KOMBRE DE PLU- SIEURS CHIFFRES PAR UN NOMBRE D*UN SEUL CHIFFRE, il
faut mukiplier successivement les unités , dixaines , cen^ laines » etc, , du multiplicande par le multiplicateur , et écrire ces différens produits partiels au rang qui leur convient^ en observant à chaque multiplication partielle ^ de retenir les dixaines pour les joindre avec les dixaines , les centaines pour les joindre avec les centaines , etc
