SOIT, POUR SECOND EXEMPLE, A MULTIPLIER 87008 PAR
On dit d*abord: 9 fois 8 font 7a ; on écrit a an 37008
mqg des unités , et Ton retient 7. 9
Ensuite , 9 fois o donnent o ; mais comme > dans g» la première opération , on a retenu 7 dixaines , il ^
faut les écrire ^11 rang des dixaines.
9 fois o font o; on écrit o au rang des centaines , puisqu'il n*y en a pas , et qu'il fout cependant en conserver la place.
Eosuîte , 9 fois 7 font 63 ; on pose 3 et Ton retient 6.
Enfin, 9 fois 3 font a/ et 6 de retenue font 33; on pose 3 et l'on avance 3.
Ainsi , le produit demandé est 333o72.
]>« LA MD|.TiPUlC.%T|ON. 37
^. Ayant de paai^r ao ca« où le moltipUcatear est eomposé de deux on plefienrs oUffres , no»» indiqoerons le moyen de rendre un nombre 10 , 100 « looo* . • • fob plus grand , ou de Je muItipUer par lo, 100, 1000. •••
Il résulte éYidemment do principe fondamental de la nnmé^ ration (n** 5) , qne, si Ton place nn o à la droite d'on nombre déjà écrit , cbaenn des dbifies tignificatib dç ce nombre , recn^ Jant d'un rang yers la gaMcJie , e^isme alon dee nnités 10 &is plna grandes qo'anparayant. De même^ en plaçant deux o à 9a droite, on le rend 100 fois pins grand, puisque cbaqoe chiffre significatif exprime des nuitée 100 fois plus fortes; et ainsi de suite.
Donc, pour mul$ipiier un nombre entier quelconque par 10 > 100» 1000 , 9$c. ^il^iffitd'ajouieràsadroite 1, a, 3,» . ,%éros.
Ainsi, lesprqduit? de 4^ par 10, 100, 1000, locoo, etc., sont 43go ^ 4?^^^ > 4%ooo , ^90000
ai. Considérons actueUem^nt le çqs où le multiplicande e$ le muUiplicaUur sont composés de plusieurs chiffres*
On proposa pe multiplier ». 87468
6iaa76
Oo commence par disposer le multiplicateur au-dessous du multiplicaade , de mapière que les unités d*un mênie ordre soient dans une çiême colonne , et Ton souligne le tout. Gela posé , obseryons que multiplier 87468 par 5847 * revient à prendre le multiplicande 7 fois, plus 40 fois, plus 800 fois^ plus 5ooo fois , et à réunir les produits partiels.
On peut d'abord trouver, d*après la règle du n* 19 , le produit de 87468 par 7; ce qui donne 6Laa75.
Mais comment obtenir celui de 87468 par 4o ?
Concevons, pour un instant, qu'on ait écrit les uns au-des-
â8 DE LA MOLTIPUCiTIOBT.
0OU8 des autres, 4^ nombres égaux à 87468 , et qu'on fassa Vaddition de tous ces nombres, on aura le produit demandé. Or, il est évident que ces 4o nombres forment 10 tranches de 4 nombres égaux chacun à 87468; mais 4 nombres égaux à 87468, font en somme, 4 '^ois 87468, produit que 1 on peut former par la règle du n^ 19 , et qui est égal à 34987a. En multipliant ce produit par 10, ce qui revient (n^ izo), à ajouter un o à sa droite, on obtient 3498730 pour le produit de 87468 par 4o.
On voit donc que cette seconde opération revient à multiplier le multiplicande par le chiffre 4 considéré comme exprimant des unités simples, à écrire un oà la droite du produit, et i placer , comme on le voit ci-dessus , le résultat 3498720 , aiusi obtenu, au-dessous du premier produit partiel.
Pareillement, pour effectuer la multiplication de 87468 par 800, il suffit de multiplier 87468 par 8 , ce qui donne 699744 9 P^iîs d'ajouter deux o à la droite de ce. produit , et l'on a pour troisième produit partiel , 69974400,* nombre qu'on place au-dessous des deux produits précédens. En effet , 800 nombres égaux à 87468 et placés les uns sous les autres,, forment évidemment 1 00 tranches de 8 nombres égaux à 87468 ou bien, 100 nombres égaux au produit de 87468 par 8, c'està-dire, 66974400-
On prouverait par un raisonnement semblable , que pour multiplier par 5ooo, il suffit de multiplier 874t)8 par 5, d'ajouter trois zéros à la droite du produit, et d'écrire le résultat 437340000 , ainsi obtenu , au-dessous des trois premiers produits^
EffectuantmaintenaDtraddition.de ces quatre produits partiels, ou trouve enfin pour le produit total, 5i 1435396.
iV. B, Dans la pratique, on se dispense ordinairement d'ajouter les zéros à la droite des produits partiels, par les chiffres des dixaines , centaines , mille , etc. ; mais on écrit chaque produit partiel au-dessoi^s du produit précédent, eu l'avançant d un rang vers la gauche par rapport à ce produit , c'est-à"*diro que l'on fait occuper au dernier chiffre le même rang que celui qu occupe le chiffre par lequel on multiplie.
DE LA MULTIPUCATION. âg
RÈGLE GÉNÉRALE. Pour multiplier un nombre de plnsienra cbiffres par un nombre de plusieurs chiffres, multipliez d'abord tout le multiplicande par le chiffre des unités du multiplicateur , iaprès la règle du n^ ig; multipliez de même tout le multiplicande successivement par le chiffre des dixaines , par celui des centaines^ etc. , considérés comme des unités simples ^ et écrivez les produits partiels les uns au^-dessous des autres, de manière que chacun soit avancé d^un rang vers la gauche, par rapport au précédent, puis additionnez ces produits; vous aurez le produit total demandé.
aa. Souvent quelques-uns des chiffres du multiplicateur sont des zéros ; et alors il faut apporter quelques modifications dans la disposition des produits partiels.
Soit a Multiplier 870497
435fl485
On multiplie d*abord tout le multiplicande par 7; ce qui donne pour produit 6093479.
Maînten2mt , comme il n'y a pas de dizaines au multiplicateur, on passe à la multiplication par 4> chiffre des centaines du multiplicateur, ce qui donne le produit 3481988; et comme il faut lui faire exprimer des centaines , on le place sous le premier produit , en l'avançant de deux rangs vers la gauche.
Pareil liement, comme il n'y a ni mille, m dixaines de mille daus le multiplicateur, on passe à la multiplication par 5, chiffre des centaines de mille , et Ion écrit le produit 4352485 sous le précédent, en l'avançant de trois rangs vers la gauche', par rapport à celui-ci.
£n général, lorsqu'il se trouve un ou plusieurs zéros entre deux chijfres significatifs du multiplicateur, on avance le produit correspondant au chiffre significatif qui est à gauche de ces zéros, d^ autant de rangs plus un vers la gauche, parrap^
3a I>E LA MULTIPLICATION.
port au produit précédent , tfu'il y a de zéras intermédiaites. Au tedte , pouf éviter f dut e •rreur à ce sujet > il faut s*a.i8urer à ehaque opération ^ A le defnief dbiffrc du prodtfit partiel , est dans la colonne des uAiiés de thème ordre que celui du chiffre pdr lequel on multiplié»
a3. Si Tud des detix facteurs dé la multiplication » ou tous kfl deux sont terminée par des zéros , on abrègt» l'opération en les multipliant oonmie si ces xéros n*y étaient pas ; mais on les place ensuite & la droite dir produit.
Exemple. SoiT A MULTIPLIER 47^00
PAJL 2900
i3G3ooooo
Après kroir multiplié 4'^ par 29 » d'après le procédé connu , on écrit 5 tétoà à la droite du produit; et l'on obtient i363ooooo pourje produit demandé.
En effets si l'on n'avait d'abord que 47000 à multiplier par 29 , il est clair «{u'après avoir multiplié 4? par 29 , il faudrait faire exprimer au produit des mille f c'est^i-dif e , des unités de même espèce que le multiplicande; ainsi , Ton devrait déjà ajouter trois zéros. Actuellement» multiplier un nombre par ^900 y revient (n® ai) i prendre loo fois le produit par ag; donc I il faut ajouter deux nouveaux zéros. Le même raisonnement s*applr({uerait à tous leê cas semblables.
s4 Pour peu qu'on réfléchisse sur le procédé de la multiplication, on aeUt la nécessité de commencer l'opération par la droite, du moins dans la multiplication partielle par un des chiffres du multiplicateur ^ à cause des retenues que l'on fait continuellement en multipliant un chiffre du multipli* cande par un chiffre du multiplicateur. Mais rien n'eropécherak d'intervertir l'ordre des multiplications partielles par lès diiFérens chiffres du multiplicateur, comme on peut le voir dans l'exemple suivant :
