PRINCIPES SUR LA MULTIPLICATION
On a coJQiBeiicé ici la multipUcatk)!! par le chiffre, dea centaines du moltiplicaleur; mais dans 0704 |
ropération suivante > on a eu aoin d'avancer le ^°7
produit , d'un rang vers la droite y c'eit-à-dire ^ d6 âsS 1 S le placer aû^essons du premier , de manièreque 45fôa
le dernier chiffre ^12 soit au-dessous des dixaînes %938
des deux facteurs. De même , le troisième produit "** ^
est avancé d'un rang vers la droite^ par rapp^t (
au précédent» L'usage seul veut que l'on forme les produits
en allant de droite à gaucbe ; cela est ânssi plus naturel et plus
commode*
525. Nous terminerons la multiplication par l'exposition de quelques propriétés dont nous ferons souvent usage.
1°. Soit le nombre 345 à multiplier par ja, nombre qui est égal à S fois g. Je dis que multiplier 34^ P^^ 7^ revient à multiplier 345 par 9 et le résultat par 8.
{^our se rendre compte de cette proposition^ sans effectuer le calcul, il jTuffit d'employer un raisonnement analogue à celui dun^ 21. Multiplier 345 par jz, c'est faire la somme de 7a nombres égaux à 345. Or, ces 7a nombres écrits les uns sous les autres , forment évidemment 8 tranches de 9 nombres égaux à 345*, donc, après avoir multiplié 345 par 9 , il faut prendre ce produit 8 fois. Ainsi « multiplier 345 par le produit 7a des deux facteurs 9 et 8 ^ revient à multiplier 345 par 9 et le résultat par 8.
Comme 9 est lui-même égal au produit de 3 par 3, on peut dire encore que multiplier 345 par 7a , revient à multiplier 345 d'abord par 3, le résultat obtenu, par Z, et enfin le nouveau résultat , par 8.
Ce raisonnement pouvant d'ailleurs s^appliquer à d'autres nombres y il en résulte cette proposition générale : Multiplier un nombre par un produit déjà effectué de deux ou plusieurs facteurs, revient à multiplier te nombre successivement par chacun des facteurs.
a6. a^. Dans une multiplication de deux facteurs , il est
3d DE LÀ DIVISION.
indifférent de prendre le premier nombre pour multiplicande et le second pour multiplicateur, ou réciproquement. £a d'autres termes: Le produit de deux nombres est le même, dans quel^ qu'ordre qu'on effectue la multiplication.
Ainsi, le produit de 469 par aSj est égal au produit de oSy par 459.
En effet , concevons l'unité écrite 1 ^ 1 , 1 , 1 ^ 1 469 fois sur une même ligne horizon* 1 , 1 , 1 , 1 ^ 1 , taie , et formons 237 de ces lignes ; il 1,1,1,1^1, est clair que la .fomme des unités conte- 1, 1, i, 1^ 1 nues dans ce tableau^ est égale à autant .... •
de fois les 459 unités d'une bande hori-
zontale, qu'il y a d'unités dans une colonne verticale ou dans q3j, c'est-à-dire que cette somme est égale au produit de 4^9 par a37 ; mais on peut dire aussi que cette somme est égale à autant de fois les 237 unités d'une colonne verticale, qu'il y a d'unités dans une bande horizontale ou dans 4^9 , c'est-à-dire qu'elle est égale au produit de 2237 par 4B9 ; donc, etc.
Si la nature d'une question conduit à multiplier le nombre 75 par 564a , on fera de préférence , d'après la proposition qui vient d'être démontrée , le produit de 564a par 75 , parce qu'on n'aura que deux produits partiels à former, tandis que la première opération en donnerait quatre.
Cette proposition sera démontrée (CHAP. V, n® 137) pour un nombre quelconque de facteurs.
De la Division,
37. Diviser un nombre par un autre, c'est (n"9) trouver un troisième nombre qui, multiplié par le second, reproduise le premier; ou bien, en d'autres termes, c'est, étant donné un produit et l'un de ses facteurs, déterminer le second facteur.
Comme dans une multiplication de nombres entiers, le produit se compose d'autant de fois le multiplicande qu'il y a d'unités dans le multiplicateur, on peut encore dire que diviser un nombre entier par un autre , c'est chercher combien de fois le
DE LA DIVIMOK. 33
premier nombre, considéré comme produit , contient le second, coosidéré comme multiplicande; le nombre de fois est alors le multiplicateur. Enfin ^ on a encore yu (n® 9) que diviser un nombre entier par un autre , c'est partager le premier nombre en autant de parties égales qiiil y a d* imités dans le secend.
Ces deux derniers points de vue , soua lesquels on envisage quelquefois la division , ne conviennent qu'aux nombres entiers , tandis que les deux premiers conviennent à tous les nombres possibles , tant entiers que fractionnaires. Toutefois , les dénominations données aux termes d'une division, ont été tirées des deux derniers points de vue.
Ainsi ^ le premier nombre s'appelle dividende (nombre à diviser on à partager) , le second s'appelle diviseur et le troisième it nomtae quotient , du mot latin quoties, parce qu'il exprime combien de fois le dividende contient le diviseur.
Il résulte évidemment des deux premières définitions , que , lorsqu'on aura obtenu le quotient^ pour faire la preuve de l'opération , il suffira de multiplier le diviseur par le quotient; et si V opération est exacte , on devra reproduire le dividende.
Réciproquement, dans la multiplication, le produit peut être considéré comme un dividende , le multiplicande comme le diviseur, et le multiplicateur comme le quotient; ainsi , Ton fera la preuve de la multiplication en divisant le produit par fun des facteurs; et si Vopération est exacte, on devra reproduire t autre facteur.
Ces notions établies , passons à l'exposition du procédé de la division.
28. De ménie que la multiplicatioti peut s'exécuter par ^addition d'un nombre plusieurs fois à lui-même , on pourrait aussi trouver le quotient d'une division par une suite de soustractiona.
£n effets qu'il s'agisse, par exemple, de diviser 60 par la.
Autant de fois on pourra soustraire is de 6c, autant de fois la
sera contenu danis €0. Ainsi , le quotient est égal au nombre
de souatractions qu'on peut' faire , avant ^Be le dividende soit
épuisé. . •
34 DE tÀ DIVISION.
Dans cM exemple, comme on est go
obligé de faiiiB 5 9oUstraetions succès^ 'i a
sîvôS , îl s'eùsuît ijné le quotient ^g" i«r reste,
est 5. i^
Mais cette manière de faire la divi- 86 a*.
sîon ' serait trop longue dans là pra- i a
tiqlie , surtout si le dividende était très 24 S*.
grand par rapport au diviseur. C'est 1^
dans l'art d'abréger Pbpératioi) , que coh- 1 ^ 4**
sîste ïè procédé ordinaire de la di- ££^
vision,
223. Dès que l'on connaît de mémoire les produits de deux n(mibres d'un seul chilTrei on peut déterminer aisément le quotient de la division d^im nombre Sun ûu de deux chiffres, par un nombre d'un seul chiffre.
Par exemple 4 35 divisé par j, donne pour quotient 5; ou bien 4 en 35 combien de fois 7 Mi y est 5 fois, parce que l'on sait que 5 fois 7 dpnne 35. De même ^ en 54 combien de fois 9 ? il y est 6 fois. On dit encore dans le premier «xemple » le 7* de 3Ç est 5, parce que 7 fois 5 font 35; et.dans le âecond» le Q^ de 54 est 6^ «parce que 9 fois 6 font 54<' :
Soit encore 68 à diviser par g ? Comme 7 fois g cm 63 et -8 fois 9 ou 7a comprennent 68>, il 8^en^uit qtie 68 divisj^pat 9 donne au quotient 7 pour 63 , avec un reste 5 ; ou bien , Ve 9* de 68 est 7 pour 63> et il reste B« - '■
Pareillement , en 47 combien de fois 8 ? il y est 5 fois ; ou le 8* de 47 ^at 5 ^et il reste 7> puisque 5 fois 8 fint 40 , et que 6 fois 8 donne 48t '' *>* *
On verra plus loin ce qu'on doit faire du reste » lorsque le ^ diviseur n'est pas contenu exactement dans le dividende, f
3o. Passons au eas cà'le^dividende est composé de plus de deux chiffres , le éiviseurn*c^nt encore qu'un -seul chiffre.
Comme il eadste une Haison intimé entre 4a multiplication et la di vision > U est fiaturelde reebërdher le procédé' ife cette dernière opération dans celui qui a été suivi pour la multiplication.
DE LA Divisioir. 35
Repranons le premier exemple* traité n^ i g ,
11 réilike dé celte' mnltipUcation que le produit 845g BgdiS;- se composé de 7 ibis les unités^ 7 fois les 7
dixaioes, 7 fois les centaines^ 7 fois les mille du 'Bgâi? nombre 846g ; ainsi ^ ce produit est la somme de quatre prodails partiels qui correspondent aux quatre chifires du multiplicande. Donc réciproquement , étant donné le produit SgaiS et Tun de ses facteurs, 7, pour retrouver Fàutre facteur, il faut tâcher, au moins par la pensée, de décomposer 5g a i3. dans les quatre produits partiels^ dont le premier à gauche exprime des mf/Ze, le second des centaines > . • . ; prenant alors le 7* de chacun d'eux et réunissant les quotiens partiels, on obtiendra le quotient total ou le second facteur.
Voici comment on dispose Topération :
On écrit le diviseur à la droite du dividende , on les sépare par un trait vertical, puis on tire une barre horizontale andessous du diviseur.
Cela posé , on prend à la gauche du di- ^ ^ . îidende les deux premiers chiiFres for- g 1 "oTST mant 5g mille , qu'on regarde comme le . "
premier produit partiel ^ et l'on dit : en 5g ^2
combien de fois 7, on plutôt (pour se conformer à l'usage suivi, lorsque le diviseur «td*un seul chiffre), le 7* de 5g est 8 pour 5G ; le quotient 8 ainsi obtenu, exprime les mille du quotient total , et s'écrit sous le diviseur, comme on le voit ci-dessus ; on multiplie 7 par 8 et l'on retranche le produit 56 de 59 ; ce qui donne pour reste 3 mille y qu'on doit regarder comme provenant de la retenue faite dans la multiplication des centaines du* quotient par 7. ' ^
On abaisse â côté du 3 le chiffre a des centaines du dividende, œ qui donne 3a centaines , qu'on regarde comme le ncond prodoit partiel, et l'on dit c le 7* de Sa est 4 pour a8 ; <A écrit le.tihtffne 4»^°> ^^^^ exprimer les centaines du quotient 1  la droite du cbifFre 8; ensuite, on multiplie 7
