MÉTHODE ABRÉGÉE

Soit à diviser 43o4568fi6 par 5683.

"ai

La division à* gâucbe est faite d'après Te procédé ordinaire , et il est inutile de s'y arrêter ; occupons-nous seulement de \a seconde. Conformément à la règle , on sépare 3 chiffres à la droite du dividende, puisqu*il j en a 4 dans ïe diviseur , et Ton divise la partie à gaucbe^ 4^04^6 par 5683, comme à l'ordinaire I ce qui donne pour quotient 76 , et pour reste 4^31 .

Cela posé, on supprime le dernier chiffre 3 du diviseur , et l'on divise 4^^^ P^f ^6^4 ce qui donne pour quotient 7; on tnultiplie 568 par 7, en ajoutant au produit les â unités de retenue que fournit le produit ai , du chiffre supprimé, par 7, et Ton retranche le produit ^ de 4^31 ; il vient a53 pour reste.

Supprimant le chiffre 8 , dans le dernier diviseur , et divisant a53 par 56 , on obtient pour quotient 4* Multipliant 56 par 4 et ajoutant au produit les S unités qui proviennent de la multiplication du chiffre supprimé, par 4, il viept, après la soustraction de ce produit , le reste 526.

Si; après avoir supprimé le dernier chiffre de 56, ce qui donne 5 , on divise a6 par 5 , il vient pour quotient 5 ; mais observons qu*il faut, pour que ce quotient soit exact, qu*on puisse retrancher de â6 le produit de' 5 par 5 , augmenté des 3 unités que donne le produit du chiffre supprimé^ 6, par 5; comme cela ne se peut, on diminue le quotient d'une unité , et il vient 4 pour le véritable chiffre des unités.

En comparant les deux opérations ci-dessus ', il est facile de reconnaître que les deux ou trois premiers chiffres sont les mêmes dans chaque division partielle^ et que par conséquent^

POUR LA DIYISIOxV. , 1^9

les cbiffres an quotient doivent étr6 les mêmes dans l'une «t Fautre^ mais il faut ayoir bien soin de reporter les unités de retenue provenant de la multiplication du chiffre supprimé, par le quotient obtenu. Autrement , on parviendrait à des restes trop forts ^ qui donneraient alors au quotient des chiffres plus grands que les véritables.

Prenons , pour second exemple ,' les deux nombres, , 54034705678904s et 2786459-

^^Sà^Fii

Après avoir séparé 6 chiffres à droite dans le dividende ^ on divise la partie à gauche par le diviseur tout entier, ce qui donne le premier quotient 193^ et le reste 2560469.

On sépare ensuite le dernier chiffre 9 du diviseur , et l'on divise le reste par 278645 ; on obtient le quotient 9 , et le nouveau reste 52656 que l'on divise ensuite par 27864; il vient pour nouveau quotient 1 ; mais au lieu de retrancher ayiG 4 , on retranche 27866^ parce que le dernier chiffre supprimé est 5; il reste 2479^*

On opère sur ce reste et sur les suivaos, d'après la règle prescrite; à l'avant dernière opération ^ on parvient au reste 21 » qui , divisé par 2 , donnerait au moins le quotient . 9 , mais si l'on a égard au dernier chiffre supprimé, il est aisé de recott-

t5o MÉTHODE IBRÉGéft

naître que Ton ne peut mettre que 7 au quotient^ ptiUqUf 8 fois 3 ou iG, augmenté de 6 unités de retenue^ provenant de la mnltiplicatton de 7 par 8, feraient aâ«

N. B. Si 9 an commencement de l'opération , lorsqu'on a ânpprimé sur la droite du dividende les chiffres que la règle prescrit y la partie à gauche ne contient pas le diviienr , on sup^ prime tout desuite autant de chiffres^ dans le diviseur^ qu'il est nécessaire ; pour que le nouveau diviseur soit contenu dans celte partie à gauche.

Soit à diviser 3c564897 par 673S4.

Après avoir séparé les quatre derniers 3o5Ç] 4^97 ^"^^fi^ chiffres à droite dans le dividende , la jg partie à gauche 3o56, ne contient pas le — ^ diviseur; mais en supprimant les deux £r derniers chiffres du diviseur, il vient ^

673 ; et l'on effectue l'opération d'après la marche indiquée.

109. Nous pouvons maintenant établir le procédé qui con-^ vient au cas où , les deux nombres étant des fractions décimales, on demande le quotient avec un certain degré d'approximation, par exemple, à moins d'un millième, dix-millième, etc.

Commencez d'abord par ramener la division à celle de deux nombres entiers ^ diaprés la règle du n^ 87; ajoutez ensuite à la droite du dividende , autant de zéros que vous voulez avoir déchiffres décimaux au quotient ; faites la division diaprés la règle ci^essùs; vous obtenez ainsi le quotient, à une unité près. Séparez enfin vers la droite du quotient le nombre de chiffres décimaux demandé.

Premier exemple. On demande, à moins de 0,001 , le quotient de la division de 1 d34, 669 por 117,35694?

Je commence ( n* 87 ) par ajouter a zéros i la droite da dividende, ce qui me donne 123456900 à diviser par S735894* Eamite, comnoia on me démoule trois chiffres décimaux au

quotient, j'écris 3 nouveaioc stéros à la droite du dividende; c'eat^^re, que je divise ia345â90oooo par 27358941 et je cherche le quotient, à une unité près.

rOOX LA «IVICIDS. tit

Je trouve 45 124; m.aia^ comme en ajoutant 3 nouveaux z^rç^ à la droite du dividende» je Tai rendu 10Q& foia trop grand ^Jl faut^ pour ramener le quotient à sa juste valeur , que je sép^f^ 3 chiffres décimaux sur la droite , ce qui mt donne^ 4^fi^4 P9^^ le quotient denjandé. . ..

Second exemple. On veut avoir ^ à o^oooi près , UquotienJ^ de 229 ,4703568 divisé par 7>55g4 •

Comme il faudrait d'abord, en yertu de la règle n^ 87^ ajouter 3 zéros à la droite du diviseur » et ensuite en ajouter J^ à la droite du dividende ^ tout se réduit à en ajouter un seul^ à la droitç de celui-^ci» c'est- àrdîre, à diviser 22947036680 pac^ 73594. . / "

ii294^o3 1 56«o J 7fjif»

86dgâ

ot I tWm

BgSo

On trouve ainsi pour résultat , 3i i8o5 j donc 3i ,i8o5 est le quotient demandé.

Quoique cette méthode soit réellement plus simple que le procédé ordinaire de la division , Ton doit néanmoins en faire rarement usage, parce qu'il faut avouer que la détermination du dernier chiffre laiase quelquefois une incertitude d'une ou de deux unités sur sa véritable valeur. Elle n'est pas , k beaucoup

l5a CONCLUSION DÉ LA PREMIÈRE PARTIE.

pris , antti commode que U méthode abrégée pour la multiplication^ qui n'offre d'ailleurs aucun inconvénient dans la pratique j aussi « cette dernière est-elle plus fréquemment employée.

110. Conclusion générale. Cette première partie de notre Ouvrage renferme tout ce qui constitue l'Arithmétique élémentaire, dont le principal objet était l'exposition et le développement des procédés k suivre pour effectuer sur les nombres toutes les opérations possibles. Ces opérations sont au nombre de quatre fondamentales, V'additionf la! soustraction ^'\sl multiplication et la division. Toutes les autres > telles que la réduction des fractions k leur plus simple expression, leur réduction au même dénominateur, la conversion d'une fraction

ordinaire en fraction décimale, etc , ne sont que des

combinaisons de celles que nous venons de citer.

n existe deux autres espèces d'opérations arithmétiques dont nous n'avons point encore parlé, parce que, pour être développées d'une manière complète , elles exigexit quelques notions ^^ Algèbre; ce sont Information des puissances et P extraction iès racines des nombres. Nous en ferons Tobjet du sixième chapitre.

Dans le cinquième, nous nous proposons d'envisager les nombres d'une maniée générale et indépendante de tout système de numération, et de faire ressortir les propriétés qui conviennent i tel ou tel système en particulier; ce sera, en quelque sorte , VArUhmétique généralisée*