CHAPITRE V

Propriétés générales des Nombres.

iii« IjsTRODXTCTJONi Avant de pénétrer davantage dans la science des nombres , et pour en découvrir plus facilement de nouvelles propriétés ^ il est indispensable d*emprunter à TAlgèbre quelques-uns de ses matériaux y tels que les lettres et les signes^ à Taide desquels on indiqne d*une manière générale et abrégée les opérations et les raisonnemens que comporte la résolution d'une question.

Ces élémens sont au nombre de dix principaux , que nous allons &ire connaître successivement.

1^ Les lettres qa*oa emploie à la place des chiffres, pour représenter les Nombres \ leur psage offre à la fois une écriture plus concise et pTus générale que celui des chiffres; il fait mieux ressortir l'existence de telle ou telle propriété, par rapport à une ou plusieurs 'èlassei de nombres.

2^« Le signe +> ^ont on se sert pour marquer l'addition de deux ou plusieurs nombres ,' et qui s'énonce plus.

Ainsi « 45 + â3 s'énonce 4^ pl^^ ^^ » ou 45 augmenté de aS; de même , a + ^ +> <^ s'énoi^çe a plus b plus c > .ou le nombre désigné par a , augmenté du nombre exprimé par b et du nombre exprimé par c.

t54 ifOTfaw

3"*. Le oigne — qui s'énonce moins, et dont on Fait uMge pour marquer la «oustraction de deux nombres l'un de l'autre.

Ainsi , 73 -— 49 s'énonce /S moins 49 1 ou 73 diminué de 49 > ou bien encore , la différence de 73 à 49 > ^^ "^ ^ s'énonce a moins b.

4^. Le signe de la multiplication , qui est X > ou uti point que l'on place entre deux nombres , et qui s'énonce multiplié par.

Ainsi ^ 22g X35 ou ag.SS s^énoncë ib$ multiplié par 35 ^ ou le produit de sg par 35 ; a X 6 ou a.b s'énonce a multiplié par 6.

N. B, Lorsque les nombres dont il faut indiquer la multiplication , sont exprimés par des lettres , on convient encore de les écrire les uns à la suite des autres , sans interposition de signe ; ainsi ^ ab signifie encore a multiplié par bé Mais il est bien enteâdu qtie la notation ab tie peut êti^ «m^ ployée que lorgne les nolnbres sont désignés par dei lettres ; car , si Yoii voulait , par exemple , représehter le produit de 5 par 6 , et que Ton écrivît 56 , on confondrait cette notation avec le nombre tinquante^six. Dans ce eas , il est indispensable d'employer le èîgnè ^ an un point , et Toii écrit & X • ou 5.6.

5*". Le 8ign« de la division, qtii se éômpose de deu^ pôiâts ': , que l'on place entre le dividende et lé dWîseur; ou bien encore, d'une barTè •«- | àunleseut et au-desBOiie do laquelle o» plice

le dividende et le diviseur. Ainsi , a^^ t 6 ou ^ s'énonce a4 ^*visé par S, ou te quotient de a4 par 6. De même , a ib oq ^ g

s'énonce a divisé par b, La notation nr est la plus usitée*

6*. Là éôéfficfent, éîgnè que Pon etiiploîe lorsqu*tfn nombre , désigné par une lettre ^ doit être ajouté i Inî « même plusieutif fois. Ainéi, au Ire» d'écrire a+û+A+û + tf , qui représente le nombre a ajouté quatre fois à lui-même , on écrit ha. De

SUR L£S SIGNES ALGÉBRIQUES. l5â

même, lia représente a ajouté à liii-«iême lo fois ^ \%Lab exprime le produit de a par b , ajouté 1 1 fois à lui-même.

Le confident est le nombre particulier^ écrit à la gauche d*ua autre désigné par une ou plusieurs lettres , et qui mmque le nombre de fois ^ plus UN, que ce nombre est ajouté à lui ^.même.

7^. L'exposant j signe dont oa se sert lorsqu'un nombre ^ désigné par une lettre , est multiplié plusieurs fois par luimâme. Ainsi , au lieu d'écrire aXaXaXaXa ou aaaaa , on écrit plus simplement a', qui signifie a multiplié J^fois par lui-même; ïfi signifie b multiplié 5 fois par lui-même*

Lexposant est un nombre écrit à la droite et un peu au^ dessus d^une lettre; il marqué combien de fois , plus Une, le nombre désigné par la lettre, doit être multiplié par lui'mêfnê^ ou combien dé fois cette lettre est facteur dans un produit*

On appelle puissance , le résultat de la multiplication d*un nombre plusieurs fois par lui-même , et degré de la puissance, F exposant f c'est-à-dire , le nombre de fois , PLUS UN, que ce nombre doit être «multiplié par lui-même.

Ainsi , a^ s'énonce encore a élevé à la 5* ptiissancô > ou d 5* puissance; i* s'énonce, & 6* puîssatice.

8**. Le signe {/, dont on fait précéder uti nombre , lorsqu'on Yèut indiquer que Ton a à extraire de ce nonîbrô une racine

d'un certain degré. Ainsi, y a s'énonce racine troisième de a , j/b s'énonce racine quatrième de b.

On appelle racine 2«, 3'^ 4% d*un nombre , un second

noxnbre qui, élevé à la a* , 3^, 4^, puissance, peut

produire le premier nombre. Ainsi , 3 est la racine ù,* de g , parce que 3 fois 3 font q *, 7 est la ràfcine a* de 49 > parce que 7 fois 7 font 4d > 4 ^s* l* racine 5* de 64 • parce que 4 fois 4 font 16 , et que 4 fois 16 font 64*

Les racines !t® et 3^'appellent encore raciftéi carrée et eu-bique*

Lorsqu'on veut indiquer une simple extractioti de riactâë carrée ou û*, on écrit seulement devant lé tïôtùhre le rfgnè (/ , sans placer àacuh nombre en dedans du iigAe-, ainsi , \/a ^* gnifie racine carrée 6u â* de a.

ibS NOTIONS SUR LES SfGNES ALCtBRIQUES.

9^. Le signe au moyen duquel on exprime que deux quantités sont égales. Ce signe est :=:, et s*énonce est égal à, ou simplement égale. Ainsi , a=zb signifie a est égal à 6 ^ ou a égale b.

Pour exprimer brièvement que la différence de 36 à a5 est égale à 1 1 1 on écrit 36 — a5 = 1 1 ; c'est-à-dire 36 moins sl5 égale 11.

Les ' expressions a==&^ 36 — a5=ii se nomment des égalités; la partie à gauche du signe = , 6*appelle premier membre ; et la partie à droite, second membre.

10**. Le signe d'inégalité ^ » dont on se sert pour exprimer qu'une quantité est plus grande ou plus petite quune .autre. Ainsi I a ^ & , signifie a plus grand que b; a<^b , signifie a plus petit que b; c'est-à-dire ^ que l'ouverture du signe doit toujours être tournée du côté de la plus grande quantité.

iii2. Pour donner une idée de l'emploi de ces diflPérens signes, et de la simplicité du langage algébrique , faisons quelques applications.

Supposons d'abord que l'on veuille exprimer qu'un nombre représenté par a doit être multiplié 3 fois par lui-même, que le produit résultant doit être multiplié 3 fois de suite par b, et qu'enfin le nouveau produit doit être multiplié a fois de suite par c ; on écrira simplement a^b^c^.

Veut -on exprimer qu'il faut ajouter ce dernier résultat 6 fois à lui-même , ou le multiplier par 7 ? on écrira ja^b^c\

De même ,- 6a^3* est l'expression abrégée de 6 fois le produit de la 5* puissance de a par la seconde puissance de b.

Sa ^— 5b est l'expression abrégée de la différence entre le triple de a et le quintuple de b.

2a^ — - 5ab «f* 4^^ est l'expression abr^ée du double du carré de a , diminué du triple produit de a par 6 , et augmenté da quadruple du carré de b.

On appelle monçTne on quantité à un seul terme, ou simplement te,rme^ une quantité algébrique qui n'est réunie à aucune autre par le signe de l'addition, ou de la soustraction ;