NOTIONS SUR LES OPÉRATIONS ALGEBRIQUES
-^t polynôme ou quantité à plusieurs termes , une eicpression algébrique composée de plusieurs parties séparées par les signes + et — ; ainsi , 5a , 5a*, ya^b^ sont des monoo^es ; 3a— 5i, Qa^^^3ab+4^^ sont des polynômes ; la première de ces deux expressions est dite un binôme y parce qu'elle a dexix termes ; la seconde , un trinôme ^ parce qu'elle en a trois , etc....
1 13. Voyons maintenant comment on peut effectuer sur des quantités exprimées algébriquement, les opérations fondamentales de l'Arithmétique , en nous bornant toutefois aux ca» les plus simpres , ceux sur lesquels nous, aurons à nous appujTer dans la suite de ce Traité.
Addition. Pour ajouter les deux nombres a et 6 , on écrit simplement a-f-fr. De même , a-|- 6 -|-c indique l'addition de» nombres a, 6, c ; cela résulté des notations convenues.De même, a — 6 et C'^'d'^f 9i]o\iXé% ensemble, forment la quantité unique a — 6 -|-c + rf"— /*•
Si Ton avait a— & et 6— c à ajo;iter, on écrirait a— 6+6 — c; mais comme^ d'une part>& est soustrait, et que de Tautre, il est ajouté) il s'ensuit que ces deux opérations, se compensent, et que l'expression se réduit k a'—'C \ c'est ce qu'on appelle en Algèbre , opérer la réduction des termes semblables.
1 14* Soustraction. Pour soustraire 6 de a , on écrira a^** b. De vAème ^ si l'on avait c à soustraire de a-— 6, on .écrirait a — i •— r.
Mais; soit à soustraire l'expression c-^dàe l'expression a-»6; on pourra d'abord indiquer la soustraction de cette manière ,. IX — 6 — (c *- d), en écrivant entre deux parenthèses la seconde quantité c — à , et la faisant précéder du signe — . Mais si l'oa veut réduire le résultat à un seul polynôme, voici comment il faut raisonner : «
Si l'on avait c tout entier à retrancher de <i— & , il viendrait pour résultat, a— '6— t ; or, comme ce n'est pas c, mais bien c diminué de d qu'il faut soustraire , le résultat a — > 6 — - c est trop faible du nombre d'unités qui se trouvent dans d-, ainsi ^ on ramènera le résultat à sa juste valeur , en ajoutant d à o — J,— c, etil viendra a — 6 — c-f^d.
|5(^ HOTIOUS ÉIÉMÈIITAIRBS •
Ce8t«â-dlr« qvk^fpoursatutrmre un potymomë d'un autre ^ il faut écrifB le second à la suite du premier, uvec des signes eontraires à ceux dont il était affecté.
On trontera d*aprè» cette règle , et par des raiseAneBien»
analogues ,
5a— (ai— 3c) =i: 3a — uft + 3c, 5a— 4i(6d— /+^) = 5a — 46 — G^Z+Z— ^.
1 )5. MuttiplicatioH, Soit à mnltiplier a4 par 6^?
On écrira a^ X &^> ou simplement o^bK ^
Mais si Ton a a^ à multiplier par a' , on observera que le Q0nibre a étant 5 fois faetear dans le mnltiplicande ,^ et 3 fois facteur dans le multiplicateur , doit être 5+3, ou 8 fois facteur dans le produit; ainsi, l'on aa^ Xà* = a^; c'est-à-dire que, hrsque la lettre est la même dans les deux facteurs de la multiplication , on V écrit une seule fois e/ on lui donne pour exposaiU^ lasonune des exposons des deux facteurs. On trouverait de mâitte a*6' X a*i^ = a^b^.
Soit maintenant a-^b à multiplier par c ?
On peut d'abord indiquer le produit de .cette inanière^ (a — b) c.
Mais si l'on veut obtenir un seul polynôme, on remarque que, multiplier a-^& par c revient (n® ûj) à multiplier c par a'-^b, c'est-à-dire, à prendre c autant de fois qu'il y a d'unités dans a diminué de &; si donc, on multiplie d'abord c para tout entier , oe^qui donne ca ou oc , le produit est trop fort de celui de c par 6 , ou de bc\ ainsi, il faut retrancher bc de ac, et l'on obtient ac^^bc pour le produit demandé.
C'est-à-dire que (a— J)c=cc— &c.
Soit encore a — b à multiplier par c— d?
Le produit peut d'abord s'indiquer ainsi : (a— i) (c^-^^Q.
Mais pour obtenir un seul polynôme , on commence par mul<* plier a— & par c, oe qui donne ac*^^} et l'on observe ensuite » que ce n'est pas par c tout entier que l'on avait à mnltiplier a^— &, mais bien par c diminué de d.
Ainsi , Iç produit ae-^bo est trop fort du produit dé a *— &
SUR LES Of^RATIONS ALGÉBRIQU£;S. 169
par d, c^est-à-dîre , de a^^bd.Ik>nc , pour ramener le produit Àsa joate valeur, il faut retrancher ad^^bd de ao-^bc\ ce qui donne , d'après la règle de la soustraction, ac*»-^C'-^ad'^ê.
Pour effectuer la multiplication de deux binômes , multipliez successivement chacun des termes du multiplicande par chacun des term^ du multiplicateur, en observant cette règle par rap^ port aux signes : si les deux termes du multiplicande et du multiplicateur sont tous les deux affectés du même signe ^ leur produit est affecté du signe +; mai^ s^ils sont affectés de signes différens, Surproduit ^st affecté du signe —,
On trouvera, d'après cette règle, que (a-f-i) (c — cf)=: ac -f- bc-^ad-^ bd ; (a — i) (c + rf) 5=flc — * Je + ad'^bd,
1 1 6, Division. Nous ne considérerons qu'un seul cas de cette opération. C'est celui de detxx monômes composésiiera même lettre.
Soit df à diviser par a^ ?
On peut d'abord indiquer le quotient de cette manière -^
cr
ou a^ l a'. Mais observons que , comme a^ est un produit dont à' et le quotient sont les deux facteurs , l'exposant 7 du dividende doit être (n*' 11 5) égal à la somme de l'exposant 3 du diviseur et de l'exposant inconnu du quotient; donc réciproquement , celui-<i est égal à la différence entre l'exposant du divi" d^nde ei PexposanP du diviseur , c'es^ir^lire , à.7 -^ 3 ou à i^
Ainsi, -^ = a*; en eiFet , a* X a* = o^.
h^ c^ On trouvera de même -rj- sa i*; -§- =aa c* ou c ; . • • ,
Les autres cas de la division sont inutiles à considérer, pour l'objet que nous nous proposona.
Telles sont les seules notions sur l'Algèbre dont nous aurons à faire usage dans le cinquième chapitre et les suivans.
1 17. Pour faire ressortir dès à présent les avantages que Ton peut retirer de l'emploi des lettres pour représenter les nonibres^ nous résoudrons les deux questions suivantes :
1 6o APPLICATIONS
1". Quel changement produit^on dans une fraction, en ajoutant un même nombre à ses deux termes (cette question a déjà été traitée n^ 46) ? .
Désignons par t la fraction proposée , et par m le nombre que Ton ajoute aux deux termes a et i de cette fraction ; ce qui donne la nouvelle fraction •—- — .
Pour comparer ces deux fractions > réduisons-les an même
dénominateur; il vient pour la première fraction, —r: — 1 9 et
pour la seconde ^ S -tt"* ^" ^^®" > efFectaant les calculs
« .1 1 1 j « c tth + om ^ ab+bm d après la règle du n» ii5, 3^-^^- et j^^-.
Or, les deux numérateurs ab^aniet ab + bm ont une partie commuue ab > et la partie bm du second numérateur est plus grande que la partie am du premier^ puisque l'on a&^a. Doncaussi^ la seconde fraction est plus grande que la première. Ainsi ^ Con augmente la valeur dune fraction ^ en ajoutant un même nombre à ses deux termes.
On voit d*ailleurS; par le raisonnement précédent , qu'il faut
que T soit une fraction proprement dite , ou que l'on ait a •< fr ,
ponrque la proposition soit vraie; si, au contraire, on avait a'^b , la proposition aurait lieu dans un ordre inverse , puid^ qu*aIors on aurait ab -|- bm ^ab + am.
N. B. Ce moyen de démonstration y rigoureux et général » tant que les nombres sont désignés par des lettres^ cesserait deFêtre, si Ton venait à opérer sur des nombres particuliers.
Par exemple , que l'on ait la fraction — , et qu*on ajoute
i5 3 unités i leh deux termes . il vient — .
ao
Réduisant ces deux fractions au même dénominateur , on obtient, pour la première, 5^ , et pour la seconde, 5-^.
DES RÈGLES PRÉCÉDENTES. iSl
On voit bien ici, que la seconde fraction est plus grande que la première ; mais rien ne prouve que ce qui a lieu dans cet exemple particulier , aurait également lieu dans tout autre.
La démonstration exposée n^ 4^ ^s^> d'après la nature de ses
raisonnemens , aussi générale que celle qui vient d'être don-
née ; mais celle-ci , quoique moins élégante peut - être , a
l'avantage d'être plus concise. La voici réduite à ses moindres
termes :
a a "^ m / Soient r et , , ^ les deux fractions que Fon veut contr- D D+m
parer.
Réduisons-les au même dénominateur; il vient , ' , , — et
•z — ^ , ; or , par hypothèse , on a a < ^ , d'où am < bm ;
donc , ab + am <^ ai + bm \ ainsi , la seconde fraction est plus grande que la première.
a*». On demande le produit de la somme de deux nombre multipliée par ht différence de ces mêmes nombre^?
Soient a et b les deux nombres proposés ; leur somme sera exprimée par a. + h, et ^ leur différence par a — b. , , . , ;
Or; si l'on effectue la multiplication de a-f ipar a — fr, d'après les ihglep du n° ii5, il vient pour produis û*-raî + .a6i— 6*, ou, omettant les deux termes — ab^y+ab qui 3e détri?isejçit , a*~t*-, dope. ,., (a.+i) (^a—b)z^a^^b\ '\ ;' ^IZ^,^^^, .
Ce qui prouve que la somme de deux nombres quelconques multipliée par leur différence, donne .toujours pom. produit la différence de Murs carrés ou secondes puissance . .^ ^ ^ .
Exemple. Soient les deux nombres vl5 et 12; leur sojHjne est 37 , et leur différence i3 j multipliant Sy par .i3, on a pour
produit 48 !•
D'un autre côté , ûS X ^5 donne ^ GaB ; i 2 X 1 2 donne 1 44 ^
d où. . . . (a5)*~(ia)»=48i.
Donc (a5+ ia)(25— is) = (aS)^— (lay.
Ces derniers raisonnemens ne sont qu'une vérification de la propriété sur deux nombres particuliers, tandis que ceux qui
l6â THÉORIE GÉNÉRALE
précédent^ forment une démonstration rigoureuse et générale, en tant que les nombres ont été désignés par des lettres.
Ces questions suffisent pour mettre lés comïniençans en état d'apprécier les avantages qui résultent de l'emploi des lettres , pour représenter les nombres. Par leur usage, non-seulement on rend les raisonnemens plus généraux et souvent plus concis, mais encore on conserve la trace des opérations à eS^ectuer sur les nombres qui font partie de l'énoncé de la question^ et qui ne peuvent ainsi ^e. fondre les uns dans les autres, comme lorsqu'on opère sur des nombres particuliers. '
Ces notions étaot établies, nous allons revenir sur no9 pas, c'est-à-dire , reprendra quelques-uns des objets traités dans la première partie , pour les approfondir davantage; nous parviendrons ainsià de nouvelles propriétés , et à des moyens de modiGer ou de simplifier les procédés des diverses opérations de l'Arithmétique.
.^J**^. Théorie des différons ^systèmes de nunulrqtion.
1 18. Nous avons vu (n* 5) comment, à.l'aMé de dix caractères bu chiffres , on parvient à représenter tous les nombres > en partant de ce principe de convention, que tout ckiflEre placé à la gauche d'un autre, exprime des unités dix fois plus grandes que celles de cet autre chiffre. Nous nous proposons maîntétiànt de faire voir qu'on peut également écrire tous les nombres avec plus ou moins de dix caractères , pourvu quMl y en ah au moins deux dont le zéro fasse partie.
Oriâ^ppelle, en général, base d'un système de numération » le nombre d'es chiffres qu'on emploie. Le système où l'on fait usagé de deux bhiffres , se nomme système binaire, celui où l'on en considère trois, système ternaire, etc.
Dans tout système de numération analogue au système déci«* mal , on convient que tout chiffre placé à la gauche d*un autre exprime des unités autant de fois plus grandes , par rapport à celles decet autre chijfre, qu il y a d'unités dans'LX "Base, cest' à'dire, dans le nombre des chiffres du système. Ainsi, dans le système binaire , chaque chîffre acquiert une vale^ir de deujc: eo
DES SYSTEMES DE NUMÉRATION. i63
deux fois plus f rande , à mesure qa'on l'avance d'un y de deux, trois... rangs vers la gauche; dans le système ternaire , la valeur d*un chiffre est de trois en trois fois plus grande; et, en général , dans un système dont la base est 6, chaque chiffre acquiert une valeur de & en 6 fois plus grande.
Lorsqu'un nombre est écrit dans le système dont la base est i, le premier chiffre à droite exprime les unités du premier ordre y le chiffre immédiatement à gauche^ les unités du second ordre y le chiffre à gauche de ces deu»-I& y les unités du troisième ordre ^ et ainsi de suite. Il faut b unités du premier ordre pour former l'unité du second ordre , b unités du second ordre pour former l'unité du troisième ordre, etc;
1 ig. Ceci bien entendu , passons à la manière d*exprimer en chiffres un nombre entier, quel que soit le systèmequ'on adopte. Pour fixer les idées, nous considérerons le système septénaire y ou le système dans lequel on emploie sept chiffres* Les mêmes raisonnemens pourront s'appliquer ensuite à un tout antre système.
Les caractères du système septénaire sont 1,2, 3, 4> ^> 6, o, dont les six premiers expriment les six premiers nombres.
Ajoutant l'unité à six y on forme le nombre sept y ou l'unité dn second ordre, qui, d'après le principe énoncé ci-dèssus , peut s'exprimer par 10, puisque le o n'ayant aucune valeur par lui-même, fait exprimer au chîSrë 1 , qui est à^a'gauche, ^epf unités simples. '
Mettant successivement tons les chiffres du système à la première et à la deuxième place,. on ibrâler'a évidemment tous les noiubt^s consécutifs, compris depuis se/^i^ ou 16, jûsqu'aii nombre exprimé par 66i • ': ■ ». . •
Ce nombre étant écrit,, si on* lui' afdutë une nouvelle unité, il en résultera ^ix unités du «tecoiid ordre plus sept unités 8d premier ordre, c'est-à-dire, ^epf'tinlté^du second otcfre, ou ima seule unité du troisième ordre, qui pourra s'exp^mer par 100*.
Mettant successivement à la première , seconde et friodslème place 9 les différens chiffres du système, on formera touè les nombres consécutifs, compris depuis 100 jusqu'au nombre exprimé par 666.
lS4 * THÉORIE GÉNÉR;kLE
Raisonnant sur ce dernier nombre comme Rir G6 , on parviendra d'abord à l'unité du 4"* ordre, qui s'exprimera par looo; puis on obtiendra successivement tous les nombres consécutifs^ compris depuis lOoo jusqu'au nombre exprimé par 666G *, et ainsi de suite à Tinfini.
D'où l'on voit que tous les nombres entiers possibles sont susceptibles d'être écrits dans ce système.
Quel que soit le système adopté^ les unités dediiFérena or-* dressontrespectivementreprésentéespari, lo, loo^ ]ooo, loooo, comme dans le système décimal.
lâo. N. B. Nous avons dit , n^ 1 18 , que le chiiFre o était un caractère indispensable dans tout système analogue au système décimal , c'^st-à-dire, dans un sybtème où la valeur relative 'd'un chiffre dépend du rang qu'il occupe à la gauche de plusieurs tutres. A la rigueur, on pourrait s'en passer; mais le système serait moins régulier , comme nous allons le voir.
Soit proposé, par exemple, d'établir le système ternaire^ en adoptant les trois chiffres signiEcatifs 1 , a, 3.
Les trois premiers nombres seraient d'abord exprimés par ces chiffres.
Pour représenter i/uatref cinq et six^W suHirait d'écrire 11,
Pour exprimer sept^ huit , neuf, dix , onze , douze , on écrirait 221 ^ aa, sS , 3i , 52, 33.
De même m, lid, ii3, 121, lan, iq3, exprimevaientire/ze , quatorze , quinze , seize , dix^sept^ dix-huit.
Il A est pas nécessaire d'aller plus loin, pour sentir les incon-véniens de ce système. Son principal défaut consiste en ce que des i^iités d*un même ordre sent exprimées d'une manière dilFér/epte. Ainsi ^ dans i3 et 83 > le ohifire 3 exprime une unité du second croire > comme les dhiffres t et 9 qui sont à sa gauche^ Dans , i;^3 , l'ensembk des chiffres , a3 exprime neuf ou l'unité ^p trpUième ordre > ainsi que le chiffre 1 qui est à la gauche de ces,deux-*là.
£n faisant usage du chiffre o , ii suflit de déterminer les nom* bres d'unités de différens ordres qui entrent dans le nombre
DES SYSTÈMES DE NUMÉRATION. l65
proposé, et d'écrire les uns à la gauche des autres, les chiffres qui expriment ces nombres.
121. L'accord parfait qui existe entre la nomenclature des nombres et la manière de les écrire en chiffres dans le système décimal 9 permet de les exprimer facilement et, pour ainsi dire, sous la dictée en langage ordinaire. Mais il n'en est pas de même des autres systèmes qui ne présentent aucune connexion avec la nomenclature actuelle.
Que Von propose , par exemple , décrire le nombre trois CENT SOIXANTE-NEUF dans le système septénaire ? II est difficile de reconnaître à priori quels sont les chiffres propres à exprimer les unités du premier, second, troisième.... ordre qu'il renferme. Or, comme ce nombre, écrit en chiffres dans le système décimal , revient â 869 , il s'ensuit que cette question dépend de la suivante , qui est beaucoup plus générale: Un nom^ bre étant énoncé en langage ordinaire^ ou écrit dans le système décimaL traduire ce même nombre dans le système dont la base est b.
Pour la résoudre , remarquons que , puisqu'il faut b unités du premier ordre pour former une unité du second ordre , autant de fois le nombre proposé contiendra le nombre b , autant il renfermera d'unités du second ordre du système b ; c'est-à-dire que, si l'on divise ce nombre par ^1 le quotient exprimera de&unités du second ordre, et le reste ^ qui sera nécessairement moindre que h , exprimera les unités du premier ordre , du nombre éerit dans le système dont la base est b.
Se même, puisque b unités du second ordre, dans le système &, forment une unité du troisième ordre dans ce même système, si ron divise le quotient qui exprime des unités du seco^ ordre, par &, le nouveau quotient qu'on obtiendra , exprimera des unités du troisième ordre , et le reste , toujours moindre que b y représentera les unités du second ordre, du nombre écrit dans le système dont la base est b 3 et ainsi de suite.
D*où l'on voit que , pour passer du système décimal au système dont la base est b^il faut : i**. diviser le nombre proposé par la base du nouveau système, écrite dans h système-décimal^
l66 ' THÉORIE GÉNÉRALE
ce qui donne un reste que Von écrit à part, comme exprimant les unités du premier ordre dans le nouveau système; a**, diviser le quotient obtenuj^par la même base, ce qui donne un second reste qu'on écrit à la gauche du premier, comme expri^ mant les unités du second ordre; Z\ diviser le second quotient par la même base, et écrire le troisième reste qu'on obtient ainsi, à la gauche des deux précédens , parce quil exprime les unités du troisième ordre ; continuer cette série d'opérations jusquà ce qu'on soit parvenu à un quotient moindre que la kase du nouveau système; ce dernier quotient exprime les unité» de Tordre le plus élevé, et s écrit alors à la gauche de tous les restes obtenus successivement.
Appliquons cette règle au nombre ttois cent soixante-neuf ou Sffg , qu'il s'agit de traduire daps le système septénaire.
(io35)
l>iviâant 369 par 7, on a pour quotient Ba, et pour reste 5 qdt Von écrit à part •, ce sont les unités du premier ordre dans le nouveau système.
Divisant 5a par 7, on trouve pour quotient 7, et pour reste 3 qui exprime les unités du second ordre , et qu'on écrit à la gauclie dû chiffre &.
Divisant 7 par 7, on a pour quotient 1 , et o pour reste , ce qui indique qu'il n'y a pas d'unités du troisième ordre ; mais on écrit un o pour en tenir la place.
Enfin, comme le quotient 1 est plus petit que 7, il exprime les unités du quatrième ordre , et le nombre traduit dans le système septénaire revient à ( 1 o35).
On trouverait de même pour le nombre 5347, traduit dans le àystème de huit chîffi-es, 1, a, 3, 4» 5^ ^> 7) ^^ l'ensemble des Nouveaux chiffres (iq543). ^
