DES SÏSTBMES DE NUMÉRATION
Reîïiarque. Il peut arriver que la base du nouveau système «oit plus grande que dix ou celle du système décimal.
Dans ce cas, il y a une légère modification à apportera la règle.
Soit, par exSnple, le nombre 84a3, à traduire dans le système duodécimal, ou dans le système de douze chiffres.
Les chiffres de ce système sont i, a , 3 , 4 > 5, 6, 7, 8, 9 , «, €y o (nous cort venons d'employer les deux lettres grecques ce, C, pour design er^les nombres dix et onze).
84a3'i la oa3 j 701 j 12 1 1 101 1 58
(4ct5C)
La base douze étant exprimée par 1 2 dans le système décimal, on divise 84*^5 par 12, ce qui donne le quotient 701 et le reste 1 1 qui exprime les unités du premier ordre dans le nouveau système. Or, 1 1 écrit dans le système décimal signifie onze, et par conséquent, doit s'exprimer par C dans le système duodécimal. On écrit donc à part , non pas 11, mais Q, comme exprimant le chiffré des unités du premier ordre.
Pareillement , à la troisième division , on obtient pour reste 10 ou dixqm, dans le nouveau système, s'exprime par ot] on écrit donc et à la gauche des deux chiffres déjà trouvés. On ôbtient ainsi (4«5?) pour le nombre proposé , traduit dans le système duodécimal.
122. Réciproquement , un nombre étant écrit dans un système quelconque dont la base est h , on peut se proposer de l'énoncer en lanfçage ordinaire , ou, ce qui relaient au même » de le traduire
i6g THÉORIE GÉNÉRALE
dans le système décimal. Soit en général... • hgfdca, un nombre écrit dans le système de b chiffres j a, c, d^f[,,, exprimant lea unités du premier, deuxième, troisième.... ordre.
Il résulte du principe fondamental établi n^ 1 18, que le chiffre désigné par c exprime des unités b fois plus grandes que s'il était seul \ àonCf sa valeur relative est égale au produit de c par b, et peut se représenter (n^ 111) par c X &> ou simplement, cb. De même le chiffre d exprime des uùités b fois plus grandes que celles du chiffre c; ainsi, sa valeur relative est égale au produit de d par bxb ou par b^^ et peut être exprimée par db'^.
On reconnaîtrait de même que fb^, gb^, hb^^. , sont les va-' leurs relatives des autres chiffres.
Donc enfin , le nombre proposé a pour expression
a+cb + db''+fb^+gb^+hb^+
En donnant à la base b et .aux chiffres a, c, d,f.., des valeurs particulières, on effectuera, dans le système décimal, toutes les opérations arithmétiques indiquées par cette expression , et Ton obtiendra le nombre correspondant à ces données particulières et traduit dans le système décimal.
Soit, pour exemple, le nombre (4^67) écrit dans le système de huit chiffres , à traduire dans le système décimal.
Ce nombre , diaprés l'expression ci-dessus , peut être mis sous
laforme7+6x8 + 3x8*-f4X83.
On a d'abord 7 = 7
et 6x8 = 48
ensuite 8* ou 8 X 8=64 ; donc 3 X 8* = 3 X 64 = 19a
enfin83=64X8=5i2idonc4X83=4X5ia = flo48 .
Faisant l'addition de ces nombres , on trouve aagS
âagS pour la valeur de (4^67) traduit dans le système décimal.
On peut vérifier l'exactitude de cette opération par la règle
dun'iai. 2295)8
Réciproquementi celle-ci peut être vérifiée par la règle actuelle qu'oo énonce de cette manière :
