DES SYSTÈMES DE NUMÉRATION
Formez d abord les diverses puissances de la base b écrite dans le système décimal j multipliez ensuite tous les chiffres
«1 Cy d, f, g, h...,
traduits également dans le système décimal, respectivement par les nombres. 1 , &, fc*, P; i*, ft^. . . ; ajoutez ensuite tous ces produits partiels , et vous aurez le nombre demandé.
Soit encore le nombre (4^5S) écrit dans le système duodécimal (voyez n° lai), qu'il s'agit de traduire dans le système décimal. (Les lettres d et ^expriment les nombres dix et onze^) Ce nombre peut d'abord se mettre sous la forme
ii+5Xia+ioXi2» + 4X la^ Cela posé, on a i^ 11=11
3». ia» = i44; d'où ioXia*= 10x144=1440 4^ ia3= 144x13= 1728; donc4Xi23 =S9j^
Donc (4«5^) équivaut à 84a3 écrit dans le système décimal.
N. B. L'expression a + cb + àb^ +fl}^ + gM + Ai^ +
se nomme ^ en Algèbre, une formule , parce qu'elle renferme, sous une forme concise , le système d'opérations arithmétiques à effectuer sur différens nombres , pour obtenir la réponse à une question générale, et parce qu'on peut en déduire toutes les réponses aux questions de même espèce , dont les énoncés différent seulement par les valeurs numériques des données.
123. Les deux règles précédentes conduisent à une troisième , plus générale, quia pour but défaire passer un nombre, d'un système quelconque dont la base est è, à un autre système dont la base est c :
Faites passer le nombre proposé, du système b au système décimal, diaprés la règle du n° 12a, puis du système décimal au système c, d'après la règle du n® 120. Vous obtiendrez ainsi le résultat demandé.
Proposons-nous , par exemple , de faire passer le nombre (25io4) du système quinaire (ou de cinq chiffres) au système duodécimal.
l^O THÉORIE GÉNÉRALE
On obtient d'abord , pour ce nombre transformé dans le système décimal^ i654; ensuite, pour celui-ci transformé dans le système duodécimal , (£5«).
On vérifierait l'opération ^ en reprenant les transformations dans un ordre inverse.
134. Les procédés pour elFûctuer les quatre opérations fondamentales de r Arithmétique sur. des nombres écrits dans un système quelconque, ne diffèrent pas de ceux qui ont été établis pour le système décimal. Seulement , il faut bien se rappeler la loi qui exbte entre les unités de différens ordres, afin qu'on puisse , au besoin , convertir des unités d'un ordre quelconque en unités de Tordre immédiatement supérieur ou inférieur.
Pour familiariser les commençans avec les^différens systèmes de numération, nous proposerons un exemple de chacune des quatre opérations , exécutées dans le système duodécimal.
Rappelons-nous que , dans ce système , les chiffres sont 1, a, -3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, C, o,
ce et C signifient dix et onze.
i^. Soit à ajouter les nombres Zr/o^ , Cag56, 27^^(5 , 4^etS,
D*abord , on trouve pour la somme des unités simples, trente-deux , c'est-à-dire, ^o^et
a douzaines plus 8; on écrit donc 8 au ^2900
rang des unités^ et Ton retient a pour les ^7^<xo
reporter à la colonne des unités du se- 4^aC
cond ordre. 15*678
La somme des unités contenues dans cette seconde colonne est trente-un on a unités du troisième ordre, plus 7 unités du second; on écrit 7, et Ton retient 2 pour les reporter à la colonne suivante.
Agissant de la même manière sur les autres colonnes , on ob^ tient enfin, pour résultat, i5«678.
ce
a^. Soit à soustraire de • 5«too46
Le nombre , , 47^68^
