THÉORIE GÉNÉRALE

le multiplicande par chacun de ces chiffres considérés comme des unités simples , et à écrire ces produits au-dessous du précédent, en les avançant, au fur et à mesure, d'un rang vers la gauche.

Additionnant enfin tous ces produits , on trouve pour le produit total, 177608828.

4°. Vérifions cette opération par la division ; et pour cela , il suffit de diviser le produit obtenu . „ „ ^ ' ^„

par l'un des facteurs, 5«68, par i776o88a8 | 5«G8 exemple. '^*o8 J 3407*

Pour obtenir le chiffre des uni- ^^

tés les plus fortes du quotient il ^—

faut prendre les cinq premiers ch'if- °°°°

fres à gauchedu dividende, et diviser .77G0 par 5-68. Pour cela Ion cherche en ,7 ou dix-neuf, combien de fois 5, il y est 3 fo„ pour qumze, et l'on écrit 3 au quotient. Multipliant le diviseur par 3, et retranchant le produit, du premier dividende partiel , on obtient pour reste 1 ?«o qui . suivi du chiffre 8, donne iCw8 pour le second dividende partiel , sur lequel on opère comme sur le précédent.

Divisant if«o8 par 5-68, ou plutôt iffpar 5, c'est-à-dire, vingt, trois par 5, on a pour quotient, 4 que l'on écrit à la droite du précèdent, et pour reste 3«o.

Comme, Me chiffre suivant 8 étant abaissé, le nouveau dividende partiel 3«o8 ne contient pas le diviseur, on met un o au quotient, et l'on abaisse le chiffre 3 du dividende; ce qui donne 3«D8a pour nouveau dividende partiel.

Opérant sur celui-ci comme sur les précédens, on trouve pour quotient 7, et pour reste 4,36.

■f^"**"* enfin 'e dernier chiffre du dividende, et divisant 4«968 par 5<»68, on obtient « pour quotient et o pour reste. Donc, 3407» est le quotient demandé.

Nous engageons les élèves à s'exercer sur d'antres exemples pris au hasard, et dans les différens systèmes, particulièrement

DES SYSTÈMES DE NUMÉRATION. ijS

sur les deux dernièrëd opérations; ces exercices étant très propres à leur donner l'habitude du calcul.

ia5. La question du n® laS > qui a pour objet de passer d'un système quelconque 6 à un autre système c, peut être résolue directement, c'est-à-dire, sans que l'on soit obligé de passer d'abord, du système b au système décimal , et ensuite de celuici au système c. Il suITirait, en effet, de traduire la base c dans le système b, et d'appliquer la règle du n® lai, en ^ectuant les opérations dans ce même système.

Ainsi, pour faire passer (23io4) (voyez n* ia3) du système quinqire au système duodécimal , il faudrait (n? 121) diviser 23io4 par 22 ou douze , écrit dans le système quinaire, et effectuer la division dans ce système. On obtiendrait un reste qui exprimerait les unités du premier ordre dans le système duodécimal , et un quotient qu'on diviserait encore par dous^ ou 22 pour en extraire les unités du second ordre; et ainsi de suite.

Nous ne nous arrêterons pas davantage, sur ces opérations qui n'offrent aucune difficulté.

126. Remarque générale^ Le système duodécimal offre quelques avantages sur le système décimal , en ce que sa base douze renferme un plus grand nombre de facteurs que dix. En effet douze est divisible par 2, 3, 4^ 6; tandis que les seuls facteurs de dix sont 2 et 5.

Toutefois , on ne pourrait substituer le système duodécimal ou tout autre , au système décimal , sans remplacer l'ancienne nomenclature par une nouvelle qui fût plus appropriée au système adopté , et qui permît d énoncer plus facilement les nombres écrits en chiffres.

Nous aurons, d'ailleurs, plus d'une fois l'occasion de reconnaître que la plupart des propriétés qui ont été découvertes sur les nombres ^ sont vraies, quel que soit le système de numération que l'on adopte. Quelques^'Unes sembleront appartenir au système décimal en particulier ; mais leurs analogues n'en existent pas moins dans les autres systèmes. L'emploi des lettres de l'alphabet, pour représenter les nombres, est très propre à faire ressortir la généralité de ces propriétés , en ce qu'elles peu-