DANS UN ORDRE QUELCONQUE

De cette proposition incidente ^ et de la proposition que le produit de deux nombres est le même dans quelque ordre, etc., il est aisé de déduire la même proposition pour trois.

Soient a, 6, c, les nombres proposés.

Je dis que l'on a abc ±= bac = bca = cba = cab = acb.

En effet, le second produit est égal au premier, en vertu de la proposition pour 2 facteurs ; le troisième est égal au second, d'après la proposition incidente^ le quatrième est égal au troisième ; d'après la proposition pour a facteurs; le cinquième est égal au quatrième , en yertu de la proposition incidente ; enfin , le sixième est égal au cinquième, en vertu de la proposition pour st facteurs. Donc , tous ces produits sont égaux.

De la proposition incidente et de la proposition pour 3 facteurs, on déduit; avec la même facilité , la proposition pour 4*

Soient a, bt c, d^ les nombres proposés*

Je dis que Ton a abùd 2= bacdr=bcad=^cbad:=zcabd=zacbd

z=:ahdc T=i

^ ■ = bcda 3= . ••«.....•.••i

z=:cadb =

D'abord^ les six produits de la première ligne horizontale sont égaux entre eux, en vertu de la proposition pour 3 facteurs , puisqu'ils résultent de la multiplication des produits abc, bac > . . . > par le même facteur d.

♦Le premier produit de la seconde ligne est égal au premier produit de la première, d'après la proposition incidente; quant aux autres produits de cette ligne, on s'est dispensé de les écrire , mais on les formerait en conservant toujours la lettre ç à la dernière place ; et ils sont tous égaux , d'après la proposition pour 3 facteurs.

Le premier produit de. la troisième ligne est égal au troisième |)rodi^it'de la première , en vertu de la proposition incidente ; et les autres produits de cette ligne sont égaux à celui-là, en vertu de la proposition pour 3 facteurs^

Enfin , le premier produit de la quatrième ligne est égal au cinquième produit de la première , d'après la proposition inci-

iy6 MULTIPUCATION DE PLUSIEURS FACTEURS

dente \ et tous les produits de cette ligne sont égaux, d*aprèj la proposition ponr 3 facteurs.

On a ainsi obtenu tous les produits possibles des quatre fac^ teurs a^b^ c ,d, puisque l'on ne peut former que six produits terminés par une même lettre. Le nombre des produits quatre à quatre y est d'ailleurs égal à 4 foîs 6 ou 24.

N. B. Il est aisé de reconnaître que les premiers produits de chacune des trois dernières lignes s'obtiennent en considérant les produits de la première , dans lesquels l'avant-dernière lettre est différente, parce qu'alors on la£ait passera la dernière place, en vertu de la proposition incidente.

Quoique ce moyen de démonstration puisse s'étendre facile* ment à un nombre quelconque de^facteurs , il n'est pas inutile d'en faire ressortir la généralité.

Pour démontrer que le produit d'un nombre quelconque de facteurs reste le même , dans quelque ordre qu'on effectue leur multiplication, nous allons faire yoir que, si le principe est vrai pour un nombre m de facteurs ^ il a également lieu pour un nombre m -f- 1 • ^^ principe sera ainsi démontré générale^ ment, car ayant été reconnu vrai pour a facteurs , il sera vrai pour 3', s'il Test pour 3, il le sera pour 4, etc....

Soit donc un nombre m +1 de facteurs a, ft, c, d,... 9, r, j; puisque le principe est supposé vrai pour un nombre m de facteurs, on peut d'abord intervertir de toutes les manières possibles, l'ordre des m premiers facteurs a, fc, c, d, ...'7, r; en multipliant tous les produits égaux ainsi obtenus par s^ on formera tous les produits de m+i facteurs, terminés par le facteur s , et ces derniers produits seront aussi égaux.

Mais on a, d'après la proposition incidente ,

àbcd, . . . qrs'=abcd, • . . qsr.

Permutant de toutes les manières possibles les m premiers facteurs du second membre de cette égalité, puis multipliant les produits par r, on obtiendra une nouvelle suite de produits , tous égaux entre eux et aux précédons , dans lesquels le facteur

r occupera la dernière plate On aura encore

abcd, . . . qrs == abcd. . . . rqs = abcd, . . . rsq \