PRINCIPES

cipes dont Texpositioa exige beaucoup d'ordre. Nous allons les développer successWemeDt.

Définitionspréliminaires. On dit qu'on nombre entier est «aroc-* tentent divisible par un antre , lorsqu'il existe un troisième nombre entier qui ^ multiplié par le aecend , donne le premier:

Tout nombre entier qui en divise exactement un autre , est appelé yàc^tfur^ diviseur ou sous-^nuUiple de ce nombre; et celui-ci est dit muUiple du premier.

Tout nombre entier qui n'a d'autre diviseur que lui-même ou Tunité y «st appelé no/n&re premier a^^o/tty ou simplement, nomr bre premier.

Deux nombres entiers sont dits premiers entre eux > lorsqu'ils n'ont d'autre diviseur -commun que l'unité , qui est diviseur de tout nombre.

Il récite de là qu'un nombre premier qui ne divise pas exactement un autre nombre entier » est premier avec cet autre, puisqu'alors ils ne peuvent avoir de diviseur comjnun que l'unité.

Ces définitions ont été déjà établies (n^ 48)«

i3i. Premier principe. Tout nombre P gui divise exactement [un des facteurs du produit XxJ&f divise nécessairement le produit; ou ce qui revient sta même^ tout nombre entier qui en divise exactement un autre, divise nécessairement les nmltiples de cet autre nombre (^voyez n^ 4^).

En eCFet, soitQ le quotient supposé exact, delà division de A par P;onaA=:PxQy d'où , multipliant les deux membre» de cette égalité par le même nombre B>

AXB=PXQXB=PXQB; on voit donc que P est £acteur du produit AB.

i3a. Second principe. Tout nombre P qui divise exacte-ment un produit AB , et qui est premier avec l'un des deuxfac^ teurs , divise nécessairement l'autre facteur»

Supposons, par exemple, que P soit premier avec A, je dis que P doit difiser B.

£n effets puisque A et P sont deux nombres premiers entre eux y il s'ensuit que, si on leur applique le procédé du plus grand commun diviseur (n^49)> c'est-à-dire, si Ton divise A par

SUR LÀ DIYlSlBlLITii DES NOMBRES. i^q

P ( en supposant d'abord A > P ) , puis P par le premier resté , ce premier reste par le second , et ainsi de suite , on parviendra nécessairement , après un certaii^ nombre d'opéiratioi)^ à un dernier reste égal à l'unité.

Cela posé, désignons par Q, QS<y, Q*... ctparR,R',R% R*... le* qtiotiens et les restes successifs (Q', Q" Q*.,. s'énoncent Qfnme^ (^fconu^ (yitrc.^ ^ y. ^^ obtiendra les égalités suivantes :

A ra=P Q + R i ^,^^^ ^ mnhipliant i -p" = ^Q + "|r. (^)

• I les deux membres de 1 npn' iÎtj'

P =R Q' + R' 1 chacune de ces ëga- | B =— ii 4-55- (a)

i liWs par3,e(.ei|dN i * P

^ • i dnits par P , Ion dt:- I p P F ^ '

R' «R-iT-^R-l'"'' ■ ■ ■ ■ ■ /?^'=?^<?:+H-74) ^1 P p -I- p W

O^, si l'on considère l'égalité (i), on voit que le premier embre est i|n nombre entijsr, puisque AB est > par hypothèse , visible par P; le premier terme BQ du second membre , çst

aussi un nombre entier; dbncîlfant que te seco^ad terme -^

soit lui-même un nombre entier: autrement^ on aurait un nom-

bre entier égal à un nombre fractionnaire , c^ qui serait absurde*

Ainsi déjà , de ce que AË est divisible par P, il s'ensuit que le

produit de B par le premier reste R , estlui-même divisible par P.

Considérons maintenant l'égalité (a). Le premier membre

est évideinment un nombre entier; le premier terme du second

memore est aussi un nombre entier , puisque , BR étant divisible

par P, il doit en' être de même de son multiple BRQ' {voyez