RR

i^^ i3i ) j donc il faut que le seicon4.tç^m9 --^^ soit lui'^méme un

nombre entier. Ainsi le produit de B par le second reste R^ est encore divisible par P.

Le premier membre de l'égalité (3) est un nombre entier,

la..

l8o PRINCIPES

puisqva BR est 'divisible; par P^ le premier, terme du second

membre est aussi vn. nombre entier , puisque BR', et par consé-

BR" quent BR'Q", est divisible par P; donc le second terme -p- doit

être lui-même un nombre entier.

En un mot, on voit que la divisibilité de ABpar P^ entraîne nécessairement la divisibilité par P , des produits BR, BR', BR",

BR* ; et puisqu*après un certain nombre d'opérations , on

doit parvenir à un reste égal à i ^ il en résulte que le produit 6Xi> ou simplement, B, doit être lui-même divisible par P. Ce gu il fallait démontrer*

Nous avons supposé â*abotd A>P; mais si l'on avait A^P,

on diviserait P par A , A par R, R par R' ; du reste, la

démonstration serait absolument la même.

N. B, Il faut bien retenir que P est premier, avec l'un des deux facteurs; car par exemple, 56xi5 ou 840 est divisible par .40 et donne pour quotient a 1 , quoiqu'aucun des nombres 56 et lé ne soit divisible par 40. Cela tient à ce que , ^o étant égal à 8 X 5, le premier facteur 8 ^e trouve dans 56 ou 7X8 , et \e second facteur 5 se trouve dans 1 5 ou 5 X 3; donc 56 X i5 est égal à 7X8X5X3 ou 7X3X8X5, ou e^fîri, à ai X4o. f

i33. Troisième principe. Tout nombre premier absolu P, qui. divise exactement un produit A X B , doit diviser tun des deux facteurs.

En eflPet , supposons qqe P né divise pas A'^ il est nécessairement />rc?nfer avec A (n** i3o) ; donc il doit diviser B (n*» i3a).

De là résultent les conséquences suivantes : .

1 34. ,1". Tout nombre premier absolu qui divise A* et engé^ néral une puissance quelconque A"* Je A, doit diviser A.

En effet , A* est la même chose que AX A, Or, tout nombre premier qui divise ce produit , doit (n**i 33) diviser l'un de» facteurs. De même A^ étant égal à Ax A* , tout nombre premier qui divise A^ doit diviser A ou A* 5 et pour dîviîfer ce dernier faèteur , îl do|t diviser A ; ainsi de s^i,tc, . ,

i35. a**. Tout nombre V ^ premier avec chacun des deux faom teurs d'un produit AxB^ est aussi premier avec ce produit.

sua LA DiVISIBILlTÉ' DES NOMBRES. iSl

En effet, un nombre premier absolu qui diviserait P et AB , devrait diviser A ou B • ainsi P et A, ou bien, P et B, ne seraient pas premiers entre eux ; ce qui serait contre la supposition.

i36. S**. Lofsquun nombre N a été formé par la multiplication de plusieurs autres , A, B ; C , D. . , . , ce nombre ne peut avoir d'autres facteurs PREMIERS que ceux qui entrent déjà dans A, B, C, D. . .

En effet, tout nombre premier qui divise le produit ABCD et ne divise pas D, doit diviser ABC (n® i33); de même, tout nombre premier qui divise ABC et ne divise pas C , doit diviser AB , et par conséquent A ou B.

Ainsi, en d'autres termes, un nombre étant formé parla mui-* tiplication de plusieurs autres , on ne peut P obtenir de, nou^ veau, en multipliant de& nombres qui renfermeraient des fac'* teurs premiers dijférens de ceux qui entrent dans les nombres déjà multipliés*

137. Quatrième et dernier principe. Tout nombre N I divisible par deux ou plusieurs nombres , d, d' , d' , . . . pre* tniets entre eux , est divisible par leur produit. '

En effet , puisque c{ divise N , on aN= d/ , i; étant un nombre entier ; mais par hjrpothèse , d! divise aussi N ,donc if^divisé £?^; et comme d , d! sont supposés premiers entre eux , il faut (n® i32) que d! divise exactement 9; et Ton a qz=zd'q\ d'où Ton déduit -^^d^^dCq'^ddx^q'. Ainsi N est divisible par J^f.

Pareillement, ^ divisant N, doit diviser dd!x,(f ; d'ailleurs, d* . est premier avec J, «f ,,et par conséquent avec dd^ (rfi 'i35). Donc d" doit diviser q' , et l'on a q'=idY , ^'où l'on tire '^r=zdd'X,d''q'':=dd!d">^q'' \ ce qui prouve que N est divisible par dd!d" ^ et ainsi de suite.

i38. Conséquence, Si rf, rf', d". . . étant des nombres pre-^ miers entre eux, chacun entre comme facteur dans (T uncertain nombre de fois exprimé par » , n', b*. . ., le nombre N est divisible exactement par d" d'"' d""^..., et par tous les nombres qu'on peut obtenir, en multipliant deux à' ^ deux, trdfe à trois, etc.. ., les diverses puissances de êf, rf , d*... comprises depuis

28o CARACTÈRES

la première, jusqn'à celle dont le degré est marqué par n fontd, par n' ponr d^ , par n" pour <£"... ^ .

£o effet , d, d^ ^d!',» , étant des nombres premiers entre euz^ il en est de même de d» , cf "^ , d"** ... ; donc (n® 137) leurs produits deux à deux, trois i trois. • . doivent être aussi des divi* seurs exacts de N.

Ce principe sert de base à la recherche des ^viseurs tant simples que composés d^un nombre y question dont nous nous occuperons bientôt,

n est inutile d'observer que toutes les propositions établies jus* qu'à présent, sont vraies dans tous les systèmes de numération. En voici d'autres qui ont plus particulièrement rapport au sys* tèn!i6 déciknal.

i5g. Caractères de divisibilité d^un nombre par Vautres,

n existe des signes auxquels on peut souventreconnaître qu*un Bombire est ou n'est pas divisible par d'autres nombres; ce qui est utile dans la pratique.

Leis rabonnemens dans lesquels nous serons entraîné pour établir ceâ caifactèresi reposent sur le principe suivant :

Soit un nombre A décomposé en deux parties Bet C, en sorte que l'on ait AsB+C (1).

i\ Si un quatrième nombre D divise exactement les deux parties là et C,il divise aussi leur somme A (voyez d? 4^).

a\ Si lé nombre O divise Vune des parties B, san» diviser P autre G ^ il ne dipise pas non plus A; et le reste de la division de A par D est égal à celui que donne la division de C par D«

La première partie de ce principe» est facile à démontrer; en effet 9 divisons les deux membrea de l'égalité (1), par D ; il vient

Or, les deux termes du second menibre sont des nombres entiers , puisque B et C sont , par hypothèse , divisibles par D ; donc le premier membre doit aussi être un nombre entier ; autrement » on ai^çait un nombre fractionnaire égal à un nombre entier , ce qui sfrait absurde. Ainsi A est divisible par D.

DE DlVISlBaiTÉ. l83

Quant à la seconde partie, il est clair, d*aprè» Inégalité (a), que si, B étant divisible par D, C n'était pas divisible, À ne le serait pas non pins; car aatremeht, il en résulterait encore un nombre entier égal à un nombrefractionnaire. Mais il s'agit actuellement de prouver que le reste de la dmsion de A par D est égal au rteste de la division de C par D.

Pour cela, observons que, B étant divisible par D^ on a • B==DQ (Q est un nombre entier ) ; C n'étant pas divisible par D, on a e=DQ'+R.

Donc B4-C ou Ar=DQ+DQ'+R=D (<^+Q')+R (nM i5 ).

D'où l'on voit que A divisé par D, donne pour quotient Q4^y , et pour reste R, qui n'est d'ailleurs autre chose que le reste de la division deC par D. Ce qu'il fallait démontrer.

l^assons aetnellement au développement des différens caractère» de divbibilité..

i4o. Propriétés des nombres a, 5, 4» a5, 8, lao. . . .

1^. T\>ut nombre terminé par Pun des chiffres , o , a , 4 > 6 *8 , est divisible paru*

Eu effet, ce nombre peut être décomposé en deux parties, savoir : la partie à gauche des unités simples, considérée avec sa valeur relative, et k collection des unités simples. (Par exemple, 38676 revient à38570-*{-6). Or la première partie étant terminée par un o^ est multiple de 10; 10 est d'ailleurs divisible para, puis*qne Ton a io=ax5 ; donc ausai cette première partie est divisible par a. Mais l'un quelconque des chiffres o,a,4}^t^9 est divisible par a; ainsi (n** iSg) le nombre total est divisible par a.

Si le Açmbre est terminé par Van des chiffres i j 3^ 5 , 7 , 9 , il n'ctst pas divisible par a, puisque l'une de ses parties est divisible , et que l'autre ne l'est pas.

iV« B. Tout nombre divisible par a^ ou terminé par l'un des chiffres 0| a, 4» 6> 8; ^st dit un nombre pair. Les autres sont dea nombres impairs*

Tous les nombres pmrs sont compris dans la formule an , n étant un nombre entier quelconque; et les nombres impairs dans la formule an^-i**