CARACTERES

29. Tout nombre terminé par un o ou un 5, est dwUible par 5. C'est la même démonstration qae pour le nombre d.

Si le dernier chiffre est diffiérent de o ou de 6 > le nombre ii*e9t pas divisible par S \ et le reste de la division de ce nombre par 5, est égal au reste de la division du dernier chiffre par 5 (n®^ 1 3g) •

Ainsi i3a7 divisé par 5 donne. pour reste a, qui est égal au reste de la division de 7 par 5*

De même 34789 et 71436 donnent pour restes 4 et 1.

3^. Tout nombre dont les deux derniers chiffres considérés avec leur valeur relatii^e forment un nombre divisible par 4 ou sS, est lui-même divisible par 4^^^^ •

En effet, ce nombre peut se décomposer en deux parties , Is partie à gauche des dixaines considérée avec sa valeur relative^ et la collection des dixaines et unités. (Par- exemple, 3548 et 37876 reviennent à 35oo+48; et 27890 + 75), Or,, la première partie étant terminée par deux zéros, est multiple de "i 00 ; 1 00 est divisible par 4 ou a5 , puisque 1 00 = 2»5 *X 4 > donc cette première partie est aussi divisible par 4 ou aS; mais la seconde partie est elle-même, par hypothèse, divisible par 4 ou a5. Donc , le nombre total est divisible par 4 ou aS*:

Ainsi, 3548 est divisible par 4> parce que 48 est un multiple de 4'» ^7876 est divisible par âS, parce que jS est. multiple de a6.

Mais 13768 n*est pas divisible par 4» et donne pour reste 3 , c*eât4i-dire,, celui qu'on obtient en divisant 58 par 4*

26659 n est pas divisible par 26 et donne pour reste 9 , ou le reste de la division de 69 par 26.

N. B, Pour le nombre 26 , il n'y a évidemment -que les nfmbres terminés par 00, 26, 5o on 76 , qui soient divisibles par 26.

4^- Tout nombre dont les trois derniers chiffres considérés avec leur valeur relative , forment un nombre divisible par 8 ou 1 26 , est aussi divisible par 8 ou 1 26.

Nous n'en développerons pas la démonstration , parce qu'elle est analogue aux précédentes. Il nous suffit d'observer qu'elle est fondée sur. ce que 1000=126x8.

D'ailleurs, cette propriété n'est guère d'usage.

DE DIVISIBILITÉ. l85

141. Propriétés des nombres 3 et g. Tout nombre dont lœfomme des chiffres considérés avec leur valeur absolue i est divisible par 3 ou par 9 , est lui-^méme divisible par 3 ou par g. .

Remarquons âW>ord que, si d'une puissance quelconque de 10 y ou de Tunité suivie d'un nombre quelconque de zéros » on retranche 1, le résultat est divisible par g; car ce résultat se compose d'autant de chiffres 9 , écrits les uns à la suite des autres» qu'il y avait de zéros. Or, la valeur absolue de chaque chiffire g est divisible, soit par 3, soit par g; donc il en est de même de sa valeur relative, qui est un multiple de la valeur absolue. Ainsi, le résultat est aussi divisible par 5 ou. par g.

Gela posé , soit .... gfdcba le nombre proposé, que nous désignerons d'ailleurs parN ; on a , d*après le principe fondamental du système de numération , N = a+ 10 6+io*.c4-io^.rf

+ io*j/'4-io^g4- , égalité qu'on peut mettre sous la

foi^me

f ^(10—1)^4.(10»— i)c4.(io3—i)d+(ïO^—i)f4-.,

[^Par exemple, 10^. drsio'. d — d+d:={iQ'^ ^ i)d+ d"}.

Or, d'après ce qui vient d'être dit, 10 — 1, 10» — 1 , lo^— 1..., et en général, lo"— i , étant divisibles par 3 ou par 9 , la première ligne horizontale se compose d'une suite de nombres multiples de 3 ou le g ; ainsi, cette première partie du nombre N est elle-même divisible par 3 ou par g. Donc, si la secoilde partie, qui n'est autre chose que la somme des chiffres du nombre proposé, considérés avec leur valeur absolue , si cette seconde, partie, dis-je , est divisible par 3 ou par g , le nombre total est lui-même divisible par 3 ou par g. C. Q. F. D.

143* Pour obtenir le reste de ta division d'un nombre quelconque par g, il suffit défaire la somme des chiffres considérés avec leur valeur absolue, et de diviser <^tte somme par g. Si cette division ne donne pas de reste, le nombre total est divisible par g; mais «i Ton obtient un reste, il est le même que celui qu*on obtiendrait en divisant le nombre total par g.

C'^est une conséquence du principe établi n? i3g.