Propriété du nombre 11. Tout nombre est divi

l86 CARACTERJES

sible par 1 1 » lorsque la différence enire la somme des chiffres de rang impair, à partir de la droite , et la somme des chiffes de rang pair, est o^ouun multiple de ii.

Avant de démontrer cette propriété ^ il^st nécessaire de s remarquer :

1^' Que toute puissance dun degré pair de lo, diminuée d'une unité f donne un résultat divisible par 1 1«

Ea effet y ce résultat est nécessairement composé d*ane suite de chiffres g en nombre pair, écrits à la suite les uns des autres ; or, chaque tranche de deux chiffres, considérée seule, forme 99 ou 9 X 1 1| et est par conséquent divisible par 1 1 ; donc la valeur relative de chaque tranche, qui est un miJtiple de la valeur absolue, est elle-même divisible par ii. Donc, en gé». néral, lo^— i est divisible par 1 1. (sn exprime, comme nous le savons déjà , un nombre pair.)

a?» Que toute puissance d'un degré impair deio, ai^m^ntée d^une unité ^ donne un résultat divisible par ii*

En effet , une puissance d*un degré impair quelconque dé lo, peut être exprimée par lo*""*"* (n® i^o)- Or, on a lo"^* ==io*"Xio {vcye^i n** ii5) ; ou bien encore, io^"'*'V =:io*"X lo — io-f- io = (iQ*''— 1)10 + 10; ajoutant 1 aux deux membres, il en résulte io"'***+ i =(ïo"— 1) 10 + 1 1. Mais 1 0'"-— 1 est divisible par 1 1 , d'après la première remarque ; n'est d'ailleurs divisible par lui-même; doncio*"*^'4-^ ^^ aussi divisible par 1 1 .

Cela posé, soit..* hgfdcba le nombre proposé, que nousap*» pellerons aussi N; on a N = a-f- 10.&-4-10*. c+ 10^. d '+ 10^./'+ lo^.g-f- 10*- *+ • • •> égalité que Ton peut mettre sous la forme

N,/ +(io+i)ft+(io«— i)c+(io»+i)d+(io*-iy+.. . 1-f.a — b +c —à +/" — ..•

Or, d'après les deux remarques précédentes, la première ligne se compose de nombres essentiellement divisibles par 1 1 , et forme par conséquent une première partie qui est ellemême divisible par n. Donc, si la seconde partie, qui nVst

DE OITISIBIUTÉ. 187

autre chose que la différence entre la somme a+c +/+^ + - • des chiffres de rang impair, et la somme ^-f^'t'g'H**** ^ chiffres de rang pair, est divisible par 1 1, comme on Ta supposé, le sombre total N est aussi divisible par 11 .C.Q.F.D.

i44' l>orsque la diflFërence entre la somme des chiffres de rang impair et la somme des chiffres de rang pair, n*est pas o ou un multiple de x i, le nombre total n*est pas divisible par 1 1 , puisqu'une de aea parties est divisible , et que Tautre ne Test pas. Mais alors , il y a deux cas à considérer relativement à la manière d'obtenir le reste de la division.

1^ Si la somme des chiffres de rang impair est' plus grande que la seconde, la différence devra être ajoutée à la première ligne horizontale de la valeur de N. Désignant donc cette première ligne par B , et la différence à ajouter par G , on aura N=B+C; et si G nest pas divisible par \i, le reste de la division de G par 1 1 sera le même que celui qu*on obtiens droit en divisant N par 1 1 (p? i3g)..

â°. Si /au contraire, la somme des chiffres de rang pair est plus grande que celle des chiffres de rang impair, la différence devra être soustraite de la première ligne ^ et l'on aura N=B-^G; G désignant toujours la valeur numérique de la différence. ^

Pour déterminer dans ce cas le reste de la division de N par 11^ observons que Ton aB = iixQ>Q étant un nombre entier, et G=ii xQ'+R^donc N=ii XQ— uXQ'— R; ou bien, retranchant et ajoutant 11, N=iiXQ— hXQ' — 11 + 11— R=ii (Q — Q'i)-f ii R. D'où l'on voit que, dans ce cas , le reste de la division de N par \i est égal, non pas au reste R de la division de G par 11, mais au résultat qu^on obtient en retranchant R cfe 1 1 .

Soit, pour fixer les idées, le nombre 473B6708. En faisant la somme des chiffres de rang impair, à partir de la droite, on trouve 37 ; faisant de même la somme des thiffres de rang pair, on obtient i3. Or, la première somme est plus grande que la seconde. Donc , si Ton prend la différence , ce qui donne i4> le reste 3 de cette différence divisée par n, 'est égal i.

l88 PREUVES PAH 9 ET PAR II

celui de la division du nombre total; ce qu'on peut vérifier aisément > en effectuant cette dernière division comme à l'ordinaire.

Mais si Ton avait le nombre 370546345, puisque la somme des chiffres de rang impair est i5 , que celle des chiffres de rang pair est aa ^ i5| il s'ensuit que , si Ton prend la différence entre ces deux sommes, ce qui donne 7, le reste de la division: du nombre total par 11 , n'est pas7} mais bien 11 —-7 ou 4i comme on peut s'en, assureur.

145. Preuves par g et par 11 de la multiplication et dé la division. Nous ne pouvons passer sous silence un moyen simple et très commode de vérifier la multiplication et la division des nombres entiers. Eh voici l'énoncé :

Faites successivement la somme des chiffres du multiplia cùnde et la somme des chiffres du multiplicateur, en ayant soin d'âter^aufaret à mesure, tous les ^ que ces deux sommes renferment; vous obtenez ainsi deux' restes , qui (n° i4a) ne sont autre chose que les restes de la division des deux facteurs par 9.

Multipliez ces deux restes F un par F autre , et divisez leur produit par 9 ; cela vous donne un 3® reste. ,

Enfin , faites la somme des chiffres du produit obtenu , en étant tous les 9 qui s y trouvent; vous obtenez un éf reste qui doit être égal au 3*^ pour que l'opération soit exacte.

Soient, par exemple , les deux nombres 5786 et 47^ à multiplier Tun par l'autre ; la multiplication étant effectuée d'après le procédé connu, on fait la somme des chiffres'du multiplicande, en ôtaot les 9 au fur et à mesure ; ainsi l'on. dit, en commençant par la.

gauche: . .». a74835o

5 et 7 font 1 2 ; de 1 a ôtez.9 , il reste 3 ; 3 et 8 font 1 1 ^ de 11 ôtez 9, il reste a; enfin a et 6 font 8; c'est le reste de la division du multiplicande par 9 , et on l'écrit à part. . On opère de la même manière sur le multiplicateur*, ce qui

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