UR LA MULTIPLICATION ET LA DIVISION

donne pour reste 71 que Ton écrit au-dessous de 8/ comme on le voit ci<<lessus.

On multiplie 8 par 7; il vient 56, qu'on divise par 9, et l'on obtient le 3* reste a ^ qu'on place à la droite de 8. Enfiq , l'oa opère sur le produit total comme sur les deux facteurs ; ce

qui donne le 4* ^^^^ ^» V^ d^>^ ^^^ ^g^l ^^ ^*» pour que l'opération soit exacte.

Pour rendre raison de la preuve par 9 d'une manière géné^ raie , désignons par A et B les deux facteurs proposés , par Q, Q'y R et R' les quotiens et les restes de la division du multiplicande et du multiplicateur par 9 ; on a les égalités suivantes

. B=9XQ'+R'.

Multipliant membre à membre ces deux égalités, on obtient (n° ii5)... AB = 9».QQ'+9.9'R + 9.QR'+RR'.

Or^ les trois premiers termes du second membre de cette nouvelle égalité, sont' évidemment des multiples de 9; donc (n® 139) le reste de la division du produit AB par 9, doit ^tre égal à celui que donne le produit RR' divisé par 9 ; ce qu'il fallait démontrer. ' .

Si l'un des deux facteurs de la multiplication est divisible par 9 , le produit doit Fétre également ; il en est de même, si le produit RR' est multiple de 9.

Quant à la preuve de la division ^ il peut arriver deux cas : ou , en effectuant la division d'après le procédé connu , Ton li'obtient pad*de reste, ou bien, on en obtient un.

i«. S'il ny a pas de reste, le dividende est censé le produit exact du diviseur par le quotient obtenu ; et dans ce cas , on peut appliquer la règle précédente , en regardant le diviseur et le quotient comme les deux facteurs d'une multiplication , le dividende comme le produit.

a®. Siï Ton obtient un reste , ce qui arrive le plus communément , on commence par soustraire ce reste , du dividende total ; le résultat. de cette soustraction doit être alors le produit exact

iga RECHERCHE

148 /«Soit N un nombre dont il faut trouver tous les diviseurs tant simples que composés.

Déaignona par a le plus petit nombre premier, à. partir du nombre a ^ qui divise N » et effectuons la division de N par a autant de fois de suite que possible ; soit n le nombre de fois que la division a pu s'effectuer, en sorte quon ait N=a'^XN'» N' ne renfermant plus le facteur a. Puisque tout nombre premier différent de a, qui divise N, doit (n^ i33) diviser N^ il s'ensuit que la recherche des facteurs premiers de N , autres que a, est ramenée à celle des facteurs premiers de N'» nombre plus simple que N.

Désignons de même par b le plus petit nombre premier qui divise N', et par n' le nombre de fois que ce facteur y entre; on aura N'=i«'xN', d'où Ton déduit N=a»A*'xN% N' ne renfermant plus les £acteurs simples a et b.

Désignons encore par c le plus petit nombre premier qui divise N", et par n" le nombre de fois que ce facteur y entre ; on trouvera N"= c^'x N*, et par conséquent, N=a"i*'c»''xN*.

En continuant cette série d'opérations, on obtiendra bientôt un quotient qui sera un nombre premier, ou une certaine puissance d'un nombre premier; et alors en divisant par ce nombre premier, autant de fois que possible , onjinira par trouver un quotient égal à tunité.

Supposons, pour fixer les idée», que N" soit égal à c2"*, i étant un nombre premier, on aura alors N = a"i"'c»''€l**; a, bf c, d représentant (n^ i36) les seuls facteurs preâiiers que puisse renfermer N.

Le nombre N est dit alors décomposé dans ses facteurs simples*

Si Von veut ensuite former tous les diviseurs composés , il faudra (n® i38)' déterminer tous les produits qu'on peut obtenir, en multipliant a à a^ 3 à 3. . . les puissances de ces facteurs premiers, comprises depuis la première jusqu'à la puissance n'"' pour a, i|^'"*'.pour i, n"''"* pour c. • . .

Pour être sûr d'obtenir tous les diviseurs , il est convenable

AUTRES CARACTÈRE» DE DIVISIBILITÉ. igi

notions algébriques que celles dont i^oas ayons fait usage jusqu'à présent.

Nous engage(»is seulement les élèves à s'exercer sur la question suivante : Quels sont, dans un système de numération quelconque dont la base est b, les deux nombres qui jouissent depropriétés analogues à celles de^etde ii ou onze , dans le système décimal y et démontrer ces propriétés? Ils y parviendront facilement, d'après ce principe, que, dans tout système de numération, une puissance quelconque de la base peut être exprimée par l'unité suivie d'autant de zéros qu'il y a d'unités dans le degré de la puissance, c'est-à-dire, par lo'', n étant le degré de la, puissance.

147. Quant aux caractères de divisibilité d'an nombre par les multiples 6, 122, i5, 18, 36, 4^ , des nombres premiers a, 3 et 5, ils sont assez simples pour trouver place ici.

1®. Un nombre est divisible par 6 ou 18, lorsque le nombre étant pair y la somme de ses chiffres considérés avec leur valeur absolue , est divisible par 3 ou par 9.

Car ce nombre est alors divisible par 22 et par 3 ou 9 : or, 2 et 3, ou a et 9 sont premiers entre çux^ donc (n® iSj) le nombre est divisibl^ar 6 ou par 18.

â®. Un nombre est divisible par la ou 36, lorsque les deux derniers chiffres considérés avec leur valeur relative, formant un nombre multiple de 4, la somme des chiffres est , en outre , divisible par 3 ou 9. Car alors, le nombre est divisible par 4 et par 3 ou 9; donc il est divisible par 4X3 ou 4X9^ c'està-dire , par la ou 36.

S**. Enfin, un nombre est divisible par 1 5 ou 45, lorsque le dernier chiffre étant un o ou un 5 , la somme des chiffres est divisible par 3 ou 9 ; puisqu'alors le nombre est divisible par 5 et par 3 ou 9 , et par conséquent par i5 ou par 4S.

Passons actuellement à la recherche de tous les diviseurs d'un nombre, tant simples que composée ', comme Cette question est d'une très grande important», nous al Ions, l'exposer d^une manière complète et générale.

ip4 RECHERCHE

que Ton place à côté de ce second diviseur ; passant au troisième diviseur a , on le multiplie par 4 9 ce qui donne 8 pour nouveau diviseur ; car 8 est égal à a^. On passe ensuite au diviseur 3 , par lequel on multiplie tous les diviseurs 22 ^ 4 > ^ > ce qui donne les nouveaux diviseurs 6, la, a4 ; car ces nombres représentent 12,X 5, Q^'X.5,2?'X3. Passant au diviseur 5 , on multiplie par 5 les nombres a^ 4> S> 3> ^» ^^^ 24> ce qui donne de nouveaux diviseurs qu*on place à la droite de 5.

En un mot , pour chaque facteur simple, obtenu dans la pre^ mière série d'opérations , on multiplie tous les diviseurs qui précèdent , par ce facteur, en ayant soin de ne pas répéter le même produit. Ainsi , en passant au second diviseur 7 , on multiplie seulement ^ par ce diviseur, tous ceux qui sont sur la même ligne que le premier . diviseur 7^ ce qui donne

La marche serait absolument la même pour tout autre exemple. Nous proposerons pour exercice , de trouver tous les di viseurs des nombres 1764 , iG65 , 0670, 3o5a7,

que Ton reconnaîtra égaux à a*.3*.7*|3*.5.37|3.3*.5.7l7^.89.

149. Comme il est très important de ne laisser échapper aucun diviseur^ nous ferons connaître une règle d'après laquelle on peut s'assurer si Ton a réellement obtenu tous les diviseurs qu'un nombre peut renfermer.

Pour cela, reprenons l'expression N=a"6"'c""d'**.

Il est évident qu'on obtiendrait tous les diviseurs de "N^y compris l'unité, en multipliant tous les termes de la série . . . 1 ,a*,a*,.a^,a^ ... a*

par tous les termes de celle-ci **6S6*> i^>i^. . . i"',

puis tous les termes du produit ainsi obtenu , par les termes de la nouvelle série i,c\ c*, c^, c^, . .c"' , et enfin , tous les termes du nouveau produit , par les termes de la nouvelle

série \ i,d\d\d\dK . •d-'^;

puisque les differens termes de ce dernier produit sont des combinaisons iài,aàa,3à3... dea, b ^ c* , , élevés à des puis** sances dont les degrés ne surpassent pas n, n', n" ... Or le nom-

DE TOUS LES DIVISEURS 1)'UN NOMBRE. ig5

bre des termeâ du premier polynôme est évidemment n -|* i ; le nombre des termes da second est n'-f" i ; donc le nombre total des termes du produit de ces deux polynômes est égal à (n-f-i)

Pareillement^ le nombre des termes du troisième polynôme est nf'+i ; ainsi le nombre total des termes du produit des trois séries est (n+ 1) (71'+ 1) (»"+ 1) , et ainsi de suite.

D*où Ton déduit cette règle : Augmentez d'une unité les expO" sans ny n', n", . , , des différens facteurs premiers qui entrent dans le nombre N, puis multipliez entre eux ces exposons augmentés d!une unité; le produit exprime le NOMBRE TOTAL DES DIVISEURS DE N , j' compris l'unité. Voilà pourquoi Ton écrit ordinairement 1 en tête des diviseurs , dans la pratique du procédé : ce diviseur doit entrer en ligne de compte.

Dans l'exemple ci- dessus, on a trouvé 588o=a^x3*x5' X7*, ce qui donne (3+1 ) (1+1) (i+O (a+i) ou 4X2 X a X 3 , ou 48 , pour le nombre total des diviseurs réellement différens. Ce qu'il est aisé de vérîHer^ d'après le tableau (ri^ i4^)*

i5o. Première remarque. Il arrive quelquefois qu'en essayant la. division d'un nombre N par les nombres premiers s ^ 3, 5, 7 . . . on n'en trouve aucun qui le divise exactement. Or, lors-^ que l'on a poussé l'épreuve jusqu'à un nombre entier qui sur^ passe la racine carrée de N (voyez /e n° 18 1) , sans trouver aucun diviseur exact, il est inutile d^ essayer de nouveaux diviseurs y et ton peut assurer que N est un nombre premier.

Ainsi, 73 est un nombre premier; car la racine carrée de 73 est entre 8 et 9, et aucun nombre entier jusqu'à 9 inclusivement^ ne divise exactement 73.

Pour démontrer cette proposition , soient deux nombres A et

B, dont le produit est égal à N5 et désignons par R la racine

carrée de N ; on a A X B = R X R ; d'où l'on tire , en divisant les

A *R deux membres par B X R> • • b"^^ "S-

Or, pour que cette égalité subsiste, il faut que, si Ton a A>R , on ait, en même temps, B<^R; car autrement, il en résulterait un nombre plus grand que i , égal à un nombre plus

ig^ CARACTERES DES NOMBRES PREMIERS.

petit que i. D*oû l'on voit qu*il ne peut exister un diviseur do N , plus grand que H , par cela seul qu'il n'y en a pas de plut petit. Ainsi le nombre est premier.

Les jeunes gens qui savent déjà extraire des racines carrées, reconnaîtront tuiits peine ^ d'après la remarque précédente, que 1 i?i, 719 , 977, 33fl9 , SiaS. . . /sont des nombres premiers

1 5 1 . Seconde remarque. Tous les nombres premiers: jouissent d*uQ6 propriété assez curieuse, c'est que, si oit les augmente au diminue d'une unité, les résultats sont des multiples de 6» Ea d'autres termes, tous lès nombres premiers sont compris dans la formule générale Gndtzi (it étant un nombre entier qtteU cotique).

Pour nous rendre compte de cette propriété , it suffit de remarquer que tout nombre entier 'est nécessairement eompri* dans lune des six classes :

6»-j-*) Sn-f-ûi G/i-j-3, Gji-+-4* 6n+5, 6/1+6.

Or, la 2^', la 4"*' et la 6"*' classes se composent de nombre» qnî sont divisibles par 2, et ne peuvent, pour cette raison, être des nombres premiers. La 3"*' classe ne contient que de» Aombres divisibles par 3. II ne reste donc plus que les deux clauses 6n4* 1 » b'/i + 5, qui soient propres à comprendre lesnombres premiers; et comme on a

6/i + 5=6n-|-ff — I =6(n + i)— 1 = Gn'— i ,

n' désignant un nombre entier quelconque , il s'ensuit enfin , quo tous les nombres premiers sont compris dans la formule 671 di i .

De cette proposition il faut bien se garder de conclure la prO"» position inverse ; c'est-à-dire , que tout nombre de la forme Gndii soit un nombre premier.

Par exemple, a5 est égal à 6 X 4+ > 1 ^^ ^'^^^ P^^ un nombre premier p 3 1 est égal à 6 X ao + 1 , et n'est pas un nombre premier, puisque u X ii = i9i*

Généralement, tous les nombres impairs qui ne sont pas^ divisibles par 3, sont compris dans la formule Gndri. Or, en multipliant deux on plusieurs nombres premiers, difFé^ ven§ de 9 ^ 3, on obtient un produit qui jouit de cette ^o-

RIÉDUC. DES FRAGTIOlfS AU DBMOMtIff. LE ?U3S SIMFIE. igf

priété , $àti9 être cependant un nombre premier^ pataqu il a ét9 fourni par la i^akJpUcafioo d'aisti'es nombres.

1S9. Réduction des fmciions tm même dénomineêeur. La cègle générale établie n° 44 > pour réduire deux ou plusieutis fractiQ^ôa au loéme dénominateur, ccmduit opdÎBairemeat à des fractions dont les termes sont très grands. Openda^it , lorsqiM les dénominateurs primidfs renfermect des facteurs codiuikiins , y est poasible d'obtenir un nombrebeaucoup ^us petit que lisits produit, qui serre ensuite de diinominalieur commun à toutes les fractions^ €*eâtdonc une question importante à traiter^ pooff k «implicite des calculs , que celle qui consiste à déterminer le multiple le plus simple des dénominateurs de deux ou plusieurs fmetiofu.

Or, yoici la règle qu'il faut suivre pour obtenir oe nonihre : Décomposezi les différens dénominateurs dans leurs facteurs pre^ mjers, d'après la règle n^- 148 ; formez ensuite le produit de tous cesfitcteur^ pr^mi^rs élevés respectivement à la plus haute deg puisscffices aUxqmUes c^ffldew^s se trouvent élevés dam les différens dénominateurs. Le pr^nît .ainsi formé est le nom^ bre demandé..

D'aboi^d^ ç^ aQQibre est multiple de cbaqoe dénominateur , puisqu'il contiie&t tous les.fac^eurs «premiers à une puissance au moins égale â.4:elle qui entre dans ce dénominateur. Je dis, en Dutise , q.ue cV^ le multiple le plus simple j car, pour conjtenir exactement un déi^omina^eyr quelconque > il faut ^u'il renferme iAaqii)e facteur premier à uae puissance au atoins égale k celle qui entre dans ce dénominateur.

Soi!, par cïxe^^plie, proposé de induire à un même dénomi- «latiepr les SIX fractions suivantes » > v .

ig 17 a3 175 5ij| 5a5 v6o' a8* a4o' aa5' 49®' 7^<^

Le& six dénominateurs décomposés da<Rs leurs facteurs simples , d'après la règle connue , reviennent à

Les seuls facteurs premiers qui entrent dans ces dénomina^ teurs sont a , 5 , 5 et 7; et les plus hautes puissances auxquelles