REMARQUES SUR LE PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR

(Le multiple le plus aimiile de tous les dSnomi^ateur8 est a^ . 3* . 5\ 73 = 4939200).

i53. Remarques sur le plus grand commun dwiseur. Nous avons établi , n*^ 49 , un procédé pour obtenir le nombre le plus grand qui puisse diviser à la fois deux nombres proposés. Ce procédé est simple , et la démonstration que nous en avons donnée, ne laisse rien à désirer sous le rapport de la rigueur. Cependant , nous allons faire connaître quelques propriétés importantes de ce plus grand commun diviseur, qui nous bonduîi^ont à des simplifications- dans la pratique du procédé.

Soient A et B les nombres proposés. Concevons qu'après les avoir décomposés , Tùn après Tautre , en leurs facteurs simples , suivant la méthode dan®^ 148, on ait reconnu que a, 6, c, rf sont des facteurs premiers communs à ces deux nombres, et senties seuls qui s'y trouvent à la fois. Désignons d'ailleurs, par 71, Ti", ?t", n^, les exposans des plus hautes puissances de ces facteurs , communes à A et B ; on aura alors A=za^b^c^d^^, A\ etB=a»i»'c*"d"''.B'. . . ; A' et B' sont des nombres premiers entre eux. En effet, ou bien , ils renferment encore l'un et l'autre quelques-uns des facteurs a,by c,d\ mais ceux qui se trouvent dans A', ne peuvent pas se trouver dans B', car autrement »-, n', Ti", n" ne seraient pas les exposans des plus hautes puissances communes ; ou bien , A' et B- ne se composent que de facteurs premiers différens de a , i , c , d , et alors les facteurs de A' sont difFérens de ceux de B'*, autrement, ce serait supposer que a,bf c ^dne seraient pas les seuls facteurs premiers communs.. Donc A' et ^' sont premiers entre eux.

Il résulte de là que les facteurs communs à A et B, ne peuvent être que des produits de certaines puissances de a, b, c, d, d'un degré égal ou inférieur à 71 , n% 72", n"', et combinées une à une, deux à deux, trois à trois, quatre à quatre. Or, le plus grand produit qu'on puisse obtenir ainsi, est évidemment a"J"'c'*''d"*; donc ce nombre e-st le plus grand commun diviseur des deux nombres proposés.

D'où l'on voit que le plus grand commun diviseur de deux nombres est le produit des facteurs premiers , communs à ces