SVR LE PLUS GRAKD COMMUN PITISEVR. SOI

Poisqud le fins grand oommuii divisear àe deux nombre^ n# •e compose que des facteurs premiers communs aux deux nom-bresy on peut, sans inconvénient; supprimer, dans Vun d'euoc^ un facteur premier qui s y trouve en évidence , et n'entre pas dans Vautre; et réciproquement.

On peut même , si Ton veut « supprimer un facteur qui est évidemment commun aux deux nombres , pourvu , qu'à la fin de Topération , on en tienne compte y en multipliant le résultat auquel on parvient y par le facteur supprimé.

Observons^ d'ailleurs, que le pins grand commun diviseur des deux nombres étant (n** 49) ^^ même que celui qui existe entre le plus petit nombre et le premier reste , entre ce reste et le second; etc. . . , ces suppressions peuvent se faire dans chacune des opérations que comporte le procédé.

Ainsi reprenons les deux nombres âi5o et 36i2.

Je vois que 2i5o contient le facteur 5, et même le facteur a5 -qui n'entre pas dans 36x2; je le supprime donc, et il vient peur quotient 86.

De même, 3Gia contient le facteyr 5, qui n'entre pas dan» fi 1 5o ; je le supprime , et il vient pour quotient 1 204.

Les deux nombres 86 et 1 ab4 ont évidemment le facteur commun a, que je mets à part^ et la question est ramenée à rechercher le plus grand commun diviseur entre 43 et 6ôa»

Divisant 60a par 43» je trouve un quotient exact i4* Dono 43 X a ou 86 est ie plus grand commun diviseur cherché.

Soient encore proposés les deux nombres 377 et q49* Je commence par supprimer le facteur 3 qui se trouve dans fl49 , et n'entre pas dans 377 5 et la question est ramenée à rechercher le plus grand commun diviseur entre S77 et 83.

Appliquons le procédé ; en divisant 377 par 83 , 4

on a pour quotient 4> «t ponr reàte 4^} mais au 9771^ lieu de diviser 85 par 4^^ comme à Tordinaire, je 4^) remarque que 45 = 3".5; or les facteurs 3 et 5 n'entrent pas dans 83 ; fe puis donc supprimer dans 4^ î^' facteurs 3* e^ &; ce qui me donne pour quotient final t unité. Donc 877

âoa DU p. G..C. D. ENTRE PLUSIEUHS NOMBRES.

et 83 y et par conséquent 577 «t 3^9 > sont premiers entre eux. . •

Avec un peu d'habitude , ces modifications abrègent beaucoup la pratique du [irocédé. Au reste, nous ne les avons présentées que parce qu'elles deviennent indispensables dans la théorie du plus grand commun diviseur algébrique.

i5S. On peut avoir besoin dfe déterminer le plus grand commun diviseur entre plus de deux nombres. Voici la règle qu'il faut suivre :

(Pour abréger^ nous désignerons les quatre mots , plus grand commun diviseur , par p* g» c. d.)

Pour trouver le p. g. c. d, entre plusieurs nombres à la fois , il faut d'abord chercher le p. g. c. rf.^ entre deux de ces nombres, puis le p. g, c. d. entre celui qui vient d'être trouvé et un troisième nombre , puis le p, g. c. d, entre ce dernier commun diviseur et un quatrième nombre

Soient A, B , C , E, F. . , les nombres proposés ; et appelons D le;7. g. c. d. entre A et B^ D' le p. g. c» d. entre D et C ; je dis d'abord que D' est le p. g, c, d. de A, B» C. En effet, le p, g, c. d. de A, B et C, devant diviser A et B , divise D> qui est leur p. g. c. J. {voyez n° i53); d'ailleurs il divise G; ainsi il doit diviser ly, qui est, par hypothèse , le p, g, c. d, de D et C. D'un ' autre côté, ly divisant D , divise A et B ; ainsi , D^ divise A, B, C, et par conséquent, leur p. g. c. d. Donc ce dernier nombre et D^, sont réciproquement divisibles l'un par l'autre ; ainsi ils sont égaux.

Pareillement, le p. g. c. d. entre A» B , G, E , devant diviser A, B, G, divise D^ qui est leur p. g. c. d\ d'ailleurs , il divise £, ainsi il doit diviser le p. g. c. d. Tf entre D' et £. D'un autre côté , D* divisant D', divise A, B, G; ainsi D" divise A, B, G, E et par conséquent, leur p. g. c. d. Ge dernier nombre et D'^ étant réciproquement divisibles l'un par l'autre, sont égaux. Et ainsi de suite.

JV. B. On conçoit qu'il y a , en général , de l'avantage & opérer d'abord sur les deux nombres les plus simples^ puisque

REMARQUES SUR LES FRACTIONS IRRÉDUCTIBLES. ao3

le p, g, c. d, cherché ne saurait surpasser celui qui existe entre ces deux nombres.

Ou trouvera^ par ce procédé , que les nombres 5o4> 766 > laSo et so58 y ont pour diviseur commun 4^.

- On pourrait également décomposer les quatre nombres en leurs diviseurs simples ^ et opérer comme il a été dit (n^ i54)'

167. Remarques sur les fractions irréductibles. On appeHe (p? 5i) fraction irréductible , une fraction qui ne peut être ex^ primée en termes plus simples.

Il résulte évidemment de cette définition , que les deux termes d^une fraction irréductible sont premiers entre eux ; car s'ils avaient un facteur commun ^ on pourrait, en les divisant par ce facteur, obtenir une fraction plus simple , ce qui serait contre la définition.

Réciproquement , toute fraction dont les deux termes sont premiers entre eux, est irréductible^

£n effet ^ désignons par t la fraction proposée , dont las

termes sont , par hypothèse , premiers entre eux ; et soit une

autre fraction -j égale à la première.

On a T = j , d*où l'on déduit c = -=-.

ad

Or, c est un nombre entier; donc -r- doit aussi être un nombre entier; mais , par hypothèse, b est premier avec a, ainsi (n* 1 S2) , é doit diviser d ,. et l'on a.d=ibq. Substituant cette valeur de^ dans l'expression de c, on obtient

abq s

Cela prouve évidemment que pour qu'une fraction -« soit

équivalente aune fraction j- dont les deux ternies sont premiers

entre eux, il faut que les d/eux termes c et à soient les mêmes mukiples âeaeth.

so4 PaOPRlÉTiS

Donc la fraction -r ne peut être équivalente à aucune autre

fraction plua simple.

Il résulte de là qu'après que l'on a divisé les deux termes d^une ffactipn par leur plus grand commun diviseur , là fiaction résultante est irréductible ; proposition que nous avons énoncée (ii^ 5i)> ^^î^ sans la démontrer.

On peut encore conclure que deux fractions irréductibles ne peuvent être égales , à moins quil ny ait identité entre les nu^^ mérateurs et entre les dénominateurs.

£n effets la première étant irréductible, doit avoir ses deux termes premiers entre eux; donc» pour que la seconde lui soit égale I il faut que ses deux termes soient les mêmes rnuUiples des deux termes de la première ; et comme cette seconde fractioa a aussi ses deux termes premiers entre eux, ils doivient êtreL simplement égaux aux deux teftmes de k première..

Ç III. Des fractions décimales périodiques-.

1 $8. L'évaluation d'une fraction ordinaTre en fraction déci* maie, c'est-à-dire en dixièmes, centièmes^. ... de l'unité prin-^ cipale, donne lieu à des circonstances singulières qui méritent d'être examinées. Mais avant de les faire connaître» il est nécçsisaire que nous revenions sur le procédé qui sert è convertir une fraction ordinaire en fraction décimale.

Nous avons vu (n° 88), que, pour opérer cette réduction, il £aut, après avoir écrit «m o au quotient «t une Tirgiile à la droite de ce zéro , i^. ajouter à la droite du numénnteur un 6 et diviser le nombre résultant par le dénominateur ^ ce qui donne au quotient des dixièmes et un certain reste; â°. écrire un nou* veau oà la droite de ce reste et diviser le nombre résultant par le dénominateur , ce qui donne au quotient des centièmes , et un second reste ; 5^. ajouter à la droite de ce reste un nouveau o, et diviser le nombre résultant par le dénominateur; on continue d'ailleurs cette série d'opérations , jusqu'à ce qu'on ait obtenu k degré d'approximation ifii'on veut avoir.

Or, il est évident qu'ajouter successivement à la droite des dif-