DES FRACTIONS DÉCIMALES PÉRIODIQUES. A

férens restes autant de zéroa qu'on veut obtenir de chiffre« décimaux I reyient à ajouter tout de suite ces zéros à la droite du numérateur, de la fraction proposée « c'est-^à'^dire , àmultiplier le numérateur par. F unité suivie d^autant de :aéros que l'on veut avoir de chifj^es décimaux , à diviser le produit résuU tant par le dénominateur ^ et à séparer ensuite vers la droite du quotient, le nombre de chiffres décimaujg demandé. Car,d*après le procédé ordinaire de la division^des nombres entiers^ on est conduit à abaisser successivement à la droite de chaque reste^ les zéros qu'on a ajoutés tout de suite. . Cette remarque va nous «ervir à démoûtrer les deux propriétés suivantes :

i59* 1°. Toute fraction ordinaire dont le dénominateur rie renferme pas d'autres facteurs premiers que a et 5^ est n^« ductible en un nombre FINI de chiffres décimaux ; c*estrà-dire qu'après un certain nombre d'opérations, on doit parvenir à un reste nul ; auquel cas la fraction décimale obtenue , exprime la valeur exacte de la fraction proposée.

£n outre , si la fraction est i^éduite à sa pluB simple expression ( ce qu'on peut toujours supposer) , le nombre total des opérations à effectuer, est marqué par le plus grand des deux exposans de a et 5f, qui entrent dans le dénominateur»

Ainsi , les tractions ^ , "f> 7"> — é~ » qui peuvent évidemment se mettre sous la forme

sont réductibles en un nombre ^nf de cbifires décimaux.

La première et la troisième donnent lieu à 3 opération»; ïm seconde à a , et la quatrième à 4-

On trouve en effet , pour leurs valeurs ,

0,875-, o,5a; 0,375; o,fi536; ce qu'on peut vérifier aisément en opérant leur réduction en décimales , d'après le procédé ordinaire.

Pour nous. rendre- compte de cette propriété, remarquon»^ que 10, 100, looc .. étant égaux & a. 5>.a*. 5*^ Q^. 5^^ ...... ^

ao8 ' PROPRIÉTÉS

si , pour opérer la réduction en fraction décimale, on multiplie (n* i58) le numérateur pat lo ^ loo , looo ,. ... le produit résultant sera divisible par s.5, s*.5', a^.5^. .. , . ; donc, en multipliant ce numérateur par l'unité suivie d'autant de zéros qu'il y a d'unités dans le plus grand des exposans de s et 5 que renferme le dénominateur , le produit résultant sera nécessaire^ I ment multiple de ce dénominateur.

Donc le nombre des opérations à effectuer est limité et égal au plus grand des deux exposans de 2 et 5 , qui entrent dans le dénominateur.

, 1 60. Toute fraction ordinaire dont le dénominateur renferme un ou plusieurs- facteurs premiers différens de i^etB , qui n entrent pas en même temps dans le numérateur, donne lieu à un nombre de chiffres décimaux ILLIMITÉ ou INFINI. De plus, la fraction décimale qiCon obtient est PÉRIODIQUE; c'est-àdire qu'après un certain nombre d'opérations^ les mêmes chiffres décimaux âe reproduisent dans le même ordre.

En effet, la multiplication du numérateur par 10, 100 , 1000..., ne fait qu'introduire les facteurs premiers a et 5 çfaacun à une certaine puissance ; ainsi \e facteur premier que l'on suppose exister dans le dénominateur, sans entrer dans 4e numérateur , ne se trouvera pas davantage (n<* i36) dans le produit du numérateur par une puissance quelconque de lo. Donc, quelque nombre de zéros qu'on ajoute , on ne pourra obtenir un produit exactement divisible par le dénominateur ; ainsi les opérations se continueront à Hinfini.

Je dis en outre que la fraction sera périodique. En effets comme suivant le procédé du n° 88, chaque reste qu'on obtient » est toujours moindre que le diviseur qui reste constant , il s'ensuit que , lorsqu'on aura fait tout au plus autant d'opérations qu'il y a d'unités dans le diviseur moins un, on devra retomber sur l'un des restes déjà obtenus.

Or, en ajoutant un o à la droite de ce reste , on aura un nouveau dividende partiel semblable à l'un des précédens ; et pais-« que le diviseur est le méme^ le nouveau quotient et le nouveau reste seront aussi semblables à ceux qu'avaient donnés le premier

DES FRICTIONS DÉCIMALES PÉRIODIQUES. aoj

dividende retrouvé et le diviseur. Ajoutant à la droite de ce reste un nouveau o , on reproduira le dividende partiel qui suit immédiatement celui qu*on avait d*abord retrouvé, et par conséquent aussi, le quotient qui vient après celui qu'on a déjà retrouvé. Ainsi de suite.

Donc certains chiffres du quotient doivent se reproduire pé' riodiquement et dans le même ordre.

Faisons quelques applications.