Premier exemple. Soit proposé de réduire en décimales

la fraction-.

Il suffit, pour cela, de lui appli- ^o It

quer larègle dun^'SS.Ici, la période 4oJo^857i4a|857i4a. .

commence après la G"" opération ; 5o

c'est-à-dire, après autant d'opéra- 10

lions qu'il y a d'unités dans le divi- ^^

seur 7 diminué d'une unité. 20

Second exemple. Soit la fraction =-.

Dans cet exemple, la période se i3o i37

manifeste après la 3"" opération, i9oJo,35i |35i . . .

c'est-à-dire, beaucoup plus tôt que 5o

ne le marque le diviseur 37. i3

Troisième exemple. ^^

Ici, la fraction décimale est limitée, quoique 1470 1 876

le dénominateur 876 ou 7X iflS, renferme le BgBo/ôTTêS facteur 7. Mais observons que ce même facteur 7000 se trouve dans le numérateur ; et, en le suppri- 0000

niant haut et bas , on trouve — g ou gi, fraction qui (n« iS.q)

peut être convertie en un nombre fini de chiffrés décimaux.

ao8 SOMMATION

Quatrième exemple. —.

La période se manifeste dans ago 184 cet exemple , après la 8"" opéra- 38o jo,345aS8og|5a3dc9l tion. Mais , ce qu* il y a de remar- 44^ quable, c^est que les deux pre- aoo miers chiffres décimaux ne font 3a8

pas partie de la période , tandis 680

que, dans les deux premiers exem- 800

pies , la période commence au 44

premier chiffre décimal.

Les fractions décimales périodiques, dont la période com* mence au premier chiffre décimal, s'appellent fractions pério^ digues simples; et celles dont la période commence après un chiffre de rang quelconque , fractions périodiques mixtes.

16a. Nous venons de voir que certaines fractions ordinaires réduites en décimales, donnent lieu à des fractions décimales périodiques.

Réciproquement, toute fraction décimale périodique , simple ou mixte, provient dune fraction ordinaire, et l'on peut retrouver facilement la fraction qui lui a donné naissance.

Cette question présente deux cas distincts : ou la fraction pé^ riodique est simple, ou bien, elle est mixte.

Considérons d'abord le premier cas.

Soit o,abcde, . . .abcde. , . .abcde. • . 4 la fraction décimale proposée; désignons par n le nombre des chiffres qui entrent dans chaque période, et par x la valeur inconnue de cette fraction.

On a d*abord a;=o , abcde. . . . abcde. . . . abcde. . • . (i)« Multiplions les deux membres de cette égalité par 10* , ou par Tunité suivie d'autant de zéros qu'il 7 a de chiffres dans U période , ce qui se fait (n^ 83) en avançant la virgule de n rangs vers la droite.

Il vient io*.j:, ou iooooo...X.x=^abcde.. ,abcd0... abcde... Ce8t*4-dire, loôçoo... X,x:=iabcde...'+o,abcde...abcdê... (a).

... D£S FRACT10f9S PÉRIODfQUi^. : âog

Si maintenant on retrandie l'égalité (i) de L'égalité {ol), et qu*on obàerve que i ooooo ..•X.aî— aî=(i ooooo • . 7— 1 ) a: ou bien encore , = 99999* ••* Xx,

on obtiendra 99999 X^= abcde. . . .

Donc enlin ap =

99999- y Ce qui prouve qu*unèfraction décimale piriodi^vJè simple est

éqùivalenteà ûnefmction ordinaire qui apoûfhtghïérttiéitr^en'

seiiéh des chiffies dé làpériùdef etpour détiôThinàtêUMn liotn"

bre composé d'autant de g <liiily a de chiffres datié lapétiodéJ

Ainsi la fraction o^35i35i39i . . . èst> d^â|:frès^i^ëttë règle,

35i ■ • '"*' ■ ' ■ * ' ^'l'P "^■'•'i '•' ' équivalente à la fraction . • ,}....«> ^-i

Cette fraction peut être, simplifiée , si Ton remarque que ses deux termes sont divisibles par g. On obtient ppap la suppression

de ce facteur , — ^ ; supprimant de houvéàii le fattèurS tjfui est

encore coitimun, on troute éhfip ^iïf là fràc^on'^réâ&ite',

=-. C'est la fraction du second essetuple traité ji^^ :4$;Hii I r

, Soit encore .lafractioj^.9,p^Ço3g6.<i« • i- « ri. ^vii -iî j :j î La période est ici o3g6;<4oA$^U.&f<^^onc^t'>^Vl^^^'®Il(e à

— '-^ , ou simplement , '^ , - -

3999 . ., s ' 99l^M , ,»^ »\ • ::!; rjo'/ ...

. ( On supprime le o comme injut^e -, i?i^U. ox^;^ dû ii*.^prd en tenir compte, coname faisant péx^p dç|8 cIiiffi;es,<igl^Tpén9f[^e,) Le facteur q étant commun aux deux termes de ce résultat ^ on

♦le supprime, et il' vient -^, fraction dont Ites deW téttûés

liH \ •

sont encore divisibles par 11; et en le supprimant, c;a obtient enfin * -r-^' pour, la' fraction^ réduite à' si»' fliéindredi^nafeti*^

iVr B. Si la fraction périodique renittrmvtun «ntîtrjôn «h ferait d'abord abstraction ;. jpuis on L'ajouterait à Ia,fraçtioA ordinaire éapivalente , après qu elle aurait été réduite à .ses nioindreA termes. ,

iilO SOMMATtoil t)t.8 fkA^TtîàM PÂRtODIQUES. '

On 4^0 abord o,ibflioa. . ..== — = — = 3:7;

donc 4^i6ai6a«.«.fe44- s'-S's^.

i€3» ,?<|940i>A am, c9m à^^isictions périodique nùfcta^

ava^t la.fériodd et dnq dan^ U ^ripd^ ; naii û usinière de raÛQiuiar i|>i\,fera pat moin^ générale.

Sp^t dqsc aijEi^ ahcde apç^, . . ù fractkai pift>poséev Re^ marquons qu'en la multipliant et divisant en même temps par 10000 « on peut la mettre sons la forme

• "I IÇMBQO . '

Ox^ ; h qufPtijt^ ^^^^ parenthèses équivaut^ d'après la règle

abcde * ^

pjréçjjdçn^e , i^pqt^ + j i ou bien, réduisant l'entier

99999 Donc la fraction eUe-iuémaV <}<>{*»* lënide t<Ai j^ûspiàit;

Ce qui^prouye qu*U7ie fraction périodique mixte quelconque ' iïVéqûpidénieûUMfiaction oriihûîre (juiapour ^t^té^Ai^VK ràpérîèidè' ûn^rhéhtéé du ffî^ôdûii dé là pùHié non périodique pat Un hdèiSte composé Sautant dé 'q quily a déchiffrés dans Ift période yft^uruiffiOMimkjEjJvi'itmé^he iiombre de g, mii4î d'autant de zéros qtiily a de cHi^es dans, la partie non périodique. . ' ^

CiomidérQn0> par eacemple 1 U frattiom o^St^ofi^SoG. . . .(

la règle f«réciéden«« dottte pour la valeur » S-^ \y'.\\?!^??S ^.

Pour simplifier ce rësûltà't, àh ébserve que 3i ^9993 est la mênie cliose que âi^iôôoo*-i]) ou Sioooô— STi ; c^bst-à-dire , qu'après avoir ajouté quatre zéros è la droite de 3i ^ il suffit de

AUTRES PROPHl^tâS tt£S fllÂCinÔttft PERIODIQUES, sn l

reMBcher 3i dit fésu^Uaiy c# ^ de^ime So^s^^.' Ajc^tifaiit à ee nombre» q3o6 . on obtient — ^-^ , fraction qui se léduit à

•j-^, après que les deux ternaes ont été divisés suçcessîvenaent

pfllf les feotectts g ^ â5 et 1 1 , cpeil ledr «dut éridemmenf ooiumans,? (^J^oyez lea cat aotères établie pour tes trdk nombres. )

Noils proposerons pcrnr exerdce , les fractions. . .'.

Les fractions ordinaires qui leur ^ont équivalentes ^ peuvent être ramenées a des termes très simples.

ny r £ 1 PQrs X QCXQQQ -{- abcde j ., . j