La formule ^-^ iziziz conduit a des con
séquences assez rço^rquables.
^ ^ . ^ . r pgr^Ci 00000— i)4-a6crfe Oiï peut la mettre sous fa forme ^^ ■ ^ — ^ — — ^
, . ,1 . pc/rjooooo — pars+abcde ,
ott bieû encore, âouâ celle ci : ^-2 — ■ ^ - ■■ ^ - ' ' ■ — •— •
Cela posé, H eât évident, d*aprèd cette dér&ière' fornie » que lea calcnb qui sont indiqués an numérateur étant effec-; tués, le résultat ne peut être terminé par un ou plusieurs zéros ; car, pour que cela fàt, il faudrait que quelques-uns dé9 éemierè obifFi^e^ de p^ts, fuissent led tntoes qne hëéemiéc^ cbiffres de ùbeît\ et daiis ce eas , Id période lie coniménoérait pas après le 4° chiffre décitnal, comthe on Ta éuppoi^é. ( Fai* e«empfe, si Ton ataSf i :î=t e^, rît^nP, 1* frâetion prinl^itive a^âh Oypqdëabédêûbcdé. ,., et là' période commencerait ait 3* ehiffi'e ; elle serait ieûbû.} Gti voit donc ' cfj'aprèè la ré^ duotion de t'eistpf eâsioâ dî«^^sus'*à des tnoindres- fêriued , It réétiltât doit être ime fracfîott 'flèffit îêfdénàmînâtènr renfefmc les denx fàétethrs-a et 5 , ou atrmdns l'un des* deux, à la 4* pnisôatrtse> c*ést«'à'»difc , à'trtie ^niâdateé d'îitt degté marqué par le nombre des ôhfflBres qui ne font pas partie die fà période. Nous pouvons co^plnr^ delà, les deux propositions suj vantas : 1**. Toute fraction, dont le iénotninateurne renferme aucun des
àid AtTHES PAOPRliTÉS
dêux facteurs premiers aetB, ouestpremier avec a et S,donne lieUy étant réduite en décimales ^àunefractionpério^que simple^
En effet , si Ton pouvait parvenir à une fraction périodique mixte , il s'ensuivrait que la fraction ordinaire équivalente à la*> quelle on parviendrait, d'après la règle du n° i63, étant réduite à ses moindres termes , serait égale à la fraction proposée. Or Cela est impossible , car on a vu (n^ 167) que, pour qu'une fraction dont les deux termes sont, premiers entre eux, ou qui est irréductible , soit égale à une autre fraction, il faut que les terfnes de celle-ci soient Içs mêmes multiples des termes de la première ; il en résulterait donc que le dénominateur de la fraction proposée serait multiple de a x>u de 5; ce qui sesait contre l'hypothèse.
â°. Toute fraction irréductible dont le dénominateur ren* ferme un des deux facteurs Si et 5^ ou tous les deuxélevés chacun à une certaine puissance, donne lieu à une fraction périodique mixte, dont la période doit commencer après AUTANT de chiffres, qu'il y a d^unités dans le plus grand des deux exposans de % et de 5 y qui entrent au dénominateur.
D'abord, la fraction périodique ne peut pas être simple ; car
la formule pour ces sortes dé fractions , étant *-^, il est
impossible que cette fraction , dont le dénominateur ne ren- .
ferme aucun des facteurs a et 5 , soit , après la réduction à
ses moindres termes, égale à la fraction proposée, dont le déno*
mio^teor renferme ces mêmes facteurs.
£q second lieu, U période doit commencer après n chiffres ,
si n désigne le plus grand des deux exposans de s et 5, qui se
trouve dans le dénominateur; car supposons, par e:içemple,
qu'tUe commence après n— 1 chifires ; la fraction équivalente
à cette fraction périodique , aurait un dénominateur qui ne ren*
fermerait les deux facteurs a et 5, ou l'un d'eux, qu'à la S"*-!''"'
puissance , et ne pourrait être égale à la fraction proposée , puis-
que d'ailleurs , ces deux fractions sont supposées irréductibles.
Par exemple, les fractions -, ^-(n* 161) ont donné lieu à
7 ùj
DES FRACTIOKS PÉRIODIQUES. 8lS
des fractions périodiques simples^ parce qaey et37 sont pre-
miers avec a et 5 ; mais la fraction ^ a donné lieu à une frac-
tion périodique dont la période commençait après le second
chiffre , parce que 84 est égal à aS s u
Enfin; la fraction •— pouyant se mettre sous la forme-^r^-»- ,
donnerait lieu à une fraction périodique, dont la période commencerait après le 4*"' chiffre décimal*
On trouve ^ en effet , pour la valeur de cette fraction en décimales, o,8a38636363
i65. Nous ne pousserons pas plus loin l'examen des propriétés des fractions décimales périodiques. Non9 nous bornerons à ob^ server que des propriétés analogues aux précédentes , se manifesteraient dans un système quelconqnede numérationdont la base serait b.
D*aborâ j pour réduire une fraction ordinaire en subdivisions de b en frfois plus petites que l'unité^ il faudrait, conformément à la règle du n^ 88 , multiplier le numérateur par h, ou 10 ; c'est'àrdire , ajouter un o à sa droite , et diviser le produit par le dénominateur , ce qui donnerait au quotient des unités b fois plus petites que Tunité principale, et un certain reste; écrire à la droite du reste un nouveau o , et diviser le résultat par le déno-minuteur y ce qui donnerait au quotient des unités b fois plus petites que les précédentes, ou b^ fois plus petites que Tunité principale; et ainsi de suite. Ceci admis:
Toute fraction ordinaire dont le dénominateur ne renferme pas d'autres facteurs premiers que ceux qui entrent dans ta base b, étant réduite en subdivisions de h en h fois plus petites que tunité^ donne lieu à une fraction d'un nombre LIMITÉ déchiffres» Mais toute /raç^fon IRRÉDUCTIBLE doiit le dénominateur renferme des facteurs premiers , dijférens de ceux qui compo^ sent la base , donne lieu à une fraction iun nombre INFINI de chiffres , et PÉRIODIQUE.
Et ainsi des autres propriétés. Nous laissons aux élèves le soiu d'en rechercher les énoncés et les démonstrations.
£i4 ROTIOHS PaiUMlHAIEES
^ IV. Des Fractions continues, (i)
166. Les fractiona continues doivent lenr oaisaance à Té va-» 1 nation approchée des fractions dont les termes sont consîdirables , et premiers entre eux.
Pour nous faire miatoi comprendre , soit proposée la fraction
r*Â p dont il' ail aisé da firifier qaa les deux termes sont pre-
miers entre enx^ et qui, pour cette raison , est (n^ 167) irréductible.
£n laissant la fraction sous cette forme , on s'en fait difficilement une idée bien juste ; mais si , en vertu d*nn principe connu, l'on £vise ses deux termes par i5g, ce qui n*en change
P93 Ja valear , elle dev»ot -rr-sr , oa , effeatiMiit la divî-
«ioo indiquée au dénominateor, -*^^ — jr.
Cela posé , négligeons pour le moment la fir^etiaa ^g- ; lu
fraction s qui «n résuUe^estplusgrandequela propp9ét,piiia*
que Ton a diminué le dénominateur.
D'un autre côté , si , loin de négliger '^ » <w wmfUm Mtle
fraction par i , ce q^i donne alors =-7^ ou j 1 ^<^^ nomvaUe
fraction est, à son tour, plus petite que la proposée , puisqu'on a augtnenté le dénominateur.
(ï) Quclqucs-ana des Qiifncros de c« paragi^pUe «appoient des notions d'Algèbi'e un peu plus étendues que celles qui ont fait l'objet de PintrodoctioB du cinquième chapitre , mais les élèyes penvcnc passer outre , sauf à y reyenîr iorsc|a*il8 «e seront famittarisÀ davantage av€C les opénitioiisderAlgM>re , on lors* qu'ils sentiront )^ hépnssilr dViodûsr œtte tbéoiw.
iSo D'où Ton peut conclnrs que la fraction j^ eit co^Q^jse f p»
tre = et -;• Ceci donne déji uofe '^^ assez exacte de la fraction.
Si Ton vent une plus gfanâe approximation , il n'y a qn*à
. iS , , i5q
opéf er sur --r- , comipe on a opéré sur -prë»
ti • » 16 1 1
Il vient
•t la propoiée devieot ■ 1
9+76- Si Ton néçliga Jg,^ ^9J pV?9 8'^si.4 quÇ -^f fo*
il »tiit que . »! ■ t(t phi« pe^ que •^. Mail " " ' .w-
▼i«nt à j^ OH -4 j aî;i«i la proposée çat «pojrç çompii?* eptpç
La difFéreace de ces deux dernières fractions ^ réduites au i^jfpe àf^o}fiiMfw, est . 'r ll J mi J^« Donc )f«rv«iNrx|iift 1*0»
comj^et j çn prenant = jpççr la yalenr de la prpposée, est moindre
que^. -
Opérant sur <-g , comme on a opéré sur les précéd^t^s , on
k -^^st -r^ «= — — . ' Qt la fraction propcfsée peut se mettre
j2l6 NOTIONS PRÉLIMINAIRES
souslâfdfïhè
• * ib.
Négligeons -7; le nombre -oui^ est plus grand que -g;
donc
— - , . ûu — , est plus petit que —r-.
Donc ' ou ou =-, est plus grand que -r-S.
D'où fon vott que -pâ est coMpris entre -^ et — . La première est trop petite et la seconde; trop graade. Orj^ la*' différence de ces deux fractions e$t^ ^ ou ggg ;
• •'• I» " If . Q .10
ainsi> I erreur quel on commet^ en prenant soit ^, soit s-, pour
la valeur de la fraction proposée 1 est moindre que
On voit comment^ par cette suite d-opér,ations , on parvient à trouver^ en termes plus simples^ des fractions qui donnent des valeutsiappi^ochées d'une autre fraction dorït les termes - sont très considérables.
" ,' . 1 est 'ce qu'on appelle une frûfc-
L expression -1 rr u
iion continue. '
Çn général > on entend par fractioa continue , unejraction qui a pour numérateur tunité , et pour dénominateur ûr| nombre entier, plus une fraction quia eUe^n^ëme pour numéfateur tu»
