SUR LES FRACTIONS CONTINUES

nîtéj et pour dénominateur un entier, plus une fraction; et ainsi de suite.

Sonyent le nombre fractionnaire proposé est plas grand que l'unité. Ainsi « pour généraliser davantage la définition d'une fraction continue , il faut dire : Une fraction continue est une expression composée d^un entier, plus une fraction qui a pour numérateur t unité, et pour dénominateur, etc....

Telle est l'expression a-f- (a, 6, c, <2.... étant

des nombres entiers).

167. En réfléchissant sur la marche qui vient d'être suivie pour

1 5o réduire -7-5 en fraction continue , on voit que l'on a divisé d'a-

bord 493 par ih^,ce qui a donnée 5 pour quotient, et pour reste i6« On a divisé ensuite i5g par 16/ ce qui a donné pour quotient 9, et pour reste i5; puis on a divisé 16 par i5 ^ ce qui a donné I pour quotient, et 1 pour reste. De là il est facile de conclure le procédé suivant , poar réduire une fraction ou un nombre fractionnaire en fraction continue : . .

Agissez sur les deux termes de la fraction proposée, comme pour trouver leur plus grand commun diviseur ( voyez n" 49 )• Poussez t opération jusqu'à ce que i}ous obteniez un reste égal à zéro , et les quotiens successifs auxquels vous serez parvenu , seront les dénominateurs des fractions qui constituent la frac-tion continue.

Dans {hypothèse où le nombre préposé est plus grand que Vunité , le premier quotient représente la partie entière qui entre dans l'expression de la fraction continue.

On peut /d'après ce procédé, réduire en fractions continues

les denx nombres —7- et =^.

. Yôici le type des opérations :

ai8 voxipHf VR<^Mi|>Ài»e«

Donc

d'où |^ = a +

a a ji ilSliâ*

Les fractions eontiauet jouiitfeiit il*tiii grand sombre da propriétés dont la rediardMi a été l'abjel des ttatami dm plue célèbres géomètres. Nohs ne Toutons ipi que faire oanoaître les propriétés élémentaires , celles dont on fak tui usage fréquent, et dont les démonstrations sont fiHidées sur les pfenriers principes de l'Algèbre. Nons renvoyons, peur ée plus amples détnits, eax Additions de Lagnmge à l'Algèbre d!BuUr.

PJl»Fi|nriONS.

i63* i^^pfÇAQDs lafractioi; co^tiniie générale

que nous supposons d'ailleurs représenter la valeur d'uo noiphre fractionnaire désigné par x.

On^ appelle/rac^îon^ mt^grranfef , les fractions t i -, ^'*'' dont Veniemble constitue 1# frap^on .continue; et quotUns in-

SUR LU |^ACTlpfï9 COyvmUES. 919

complets, lc;3 dénominateurs b ,c, d. .. On appelle ainsi ces dénominatears , parce que b, par exemple^ nest que la partie entière du poml^ exprimé par b ^^ t-t--^ ; quac n'est q«e U