A90 LOI DE FORMATION
gm
La première est a^ qu'on peut mettre lous la forme -, la seconde esta4- t oU| réduisant Tentier en fraction, — t — •
Pour obtenir la troisième représentée par a -f- ■ , il buf-
fit de substituer dans la seconde, b + -^ klsL place de b\ car j
désignant & 4* ^ ?^^ ^'f on aura .
expression, qui ne diffère de . — r*^ qu'ence que ^ ou &-f- -
remplacé b.
Faisons donc cette substitution; il vient pour la troisième
a(64"-)+i aJ-4 — f-i réduite , a -j = = ;
b+i j+if b+i
ce c
oubien, réduisant les entiers en fraction et multipliant .haut et basDarc (ab+i)c + a
aJwMa Lieu b J "'■^■"^ ■ ' •
La quatrième s'obtiendra également en substituant dans la troisième, c -f-;*^ !& place de c, ce qui donnera -
PE8 RÉDUITES CONSÉCUTIVES. . âSIl
OU, réduisant les entiers en fraction et multipliant haut et bas
P*'^> ^bc+i)d+b •
Sans aller plus loin , on peut voir déjà que le numérateur de la troisième réduite peut s'obtenir en multipliàJlt le numérateur de la seconde par le troisième quotient c ^ et ajoutant au produit le numérateur de la première fraction* Quant au déno* minateur^ il se forme de la même manière, au moyen des dénominateurs de la seconde et de la première fraction.
Le numérateur et le dénominateur de la quatrième réduite s'obtiennent également en multipliant respectivement les d^nx termes de la troisième , par le quatrièmequotient cl> et en ajoutant aux deux produits > les deux termes de la seconde fraction.
Si Ton fait attention à la manière dont la troisième et la qna<« trîème réduites ont été forméeîB ^ on' sentira que dette loi defof'^ motion doit s'étendre aux réduites suivantes. Mais pour en dé*^ montrer rigoureusement la généralité ^ nous auro^s recours à un moyen analogue à celui qui a été indiqué (n** laS») Nous ferons Voir que cette loi, ayant lieu pour trois réduites conàécti-' tives de rang quelconque, est encore vraie poi|r la réduite sui* vante; car alors, ayant été reconnue vraie pour Jes, trois pre-» mières réduites, elle Ip sera pourla quatrièqi^ j él^t vraie pour celle-ci et les deux précédentes^ elle lésera pgnr la^c^^quième; et ainsi de suite indéfiniment.
Soient donc», ^> h7> ^^^ réduites consécntives ; r le
quotient incomplet auquel on s'est arrêté, pour formerai et
R Qr +P supposons que 1 on ait ^=Q'7rT:F"
Ajoutons maintenant une' nouvelle fraction intégrante -^ à
la suite de r, et soit ^ la réduite correspondante*, il e^t clair
aaa loi de formition 0es rédvitbs consécutives.
que , pour former ^ , tout se réduit à remplacer dans l'exprès*
sion de rg-, r par r -f* - ; ainsi Ton aura
