II. s
et l'on voit que ^ se déduit des deux précédentes , d'après la
loi énoncée plus haut. Donc cette Idi est générale.
Ainri > ïe numérùteut d*unë réduite quéltonque' se forme en ntttttiplinnt te numérateur de la réduite précédente par le quchtient iredomplet qui lui correspond , et ajcutant au produit le numéfdteur de là réduke qui précède de deux rangs celle qu'on veut former^. Le démnHinateur. se for^ D'APR&a LA MÊME LOI , aumcjùhdés deux dénomùMeuTiS préàédens*
y. B. Lorsque le ûôtùbre réduit en fraction ûoutinuéj ou x,
eit moindri^ que l'unité, on substitue - à la place de a ^ a&a
de poUTôir appliquer la loi/ qui suppose nécessairement qu'on ait d'abord fUrmé les deux premièfi^s réduites.
Soit prbpddé^ pour premier exemple , de former Us réduites eonséctftiyés'de la fraction continue ,
On a, polur les âevx prélaiàret réduites , -^ 6t --•
Pour former la troisième^ multiplion& le numérateur i de la seconde paf 3! , et ajoutons o au produit; multiplions ensuite \e
fKO?KlélÈS ^RINCllPALES t)tt R1SDUITES. StvS
déhètuinàtëdir à dé là stcdûàé pat 3 , et àjoutonâ dti {itôduit
le dipomâatew i dé là i^i^éiÊiérâ ^ il tieiidra -.
On trouvera de même pour le§ l'éduilèfl svtyahtea-^
^ ij «4 SB i«* 59^ 55* 149'
On obtiendrait également pour les différentes réduites de la
fraction cbnHnùé prôtehant de =-t3 (i>(^es n^ 167) ,
a 5 7 la ' 43 829 7/ a* 3' T* Tl\547
170. Oonsétjuence de ta loi précédente t II résulte évidemment âè cette loi^ que les termes des différentes réâuités augmentent à aMémre qtte f o« prend wt phs grttiABOiBliré dd Aactioés fantégrantes , puisque le numérateur ou le dioeâiftiiliteur d%ne t^ daite quelconque , est au moins égal à la l^ôisàme des iHimérii^ Umn ^ OQ à li lonuaè deftdénottiûlAfteiirs des dpuz îfédiHtei ^ui la précèdent.
', PROflRIÉTi^ BCS RÉDUITES,
171. Première propriété. 3i Ton prend dan^ 1^ deux eiç^mr plee précédons , la différence, entre deux réduitçs consécutives quelconques , en conveiçant ^e retrancher toujoucs une^réduite » de celle qiii la suit> ou trouvei^ constamment poi^r le num^ateur dé cette différence , -f ^ 9^ — ^'» suivant que la seconde des deux réduites que Ton cçnsidàre^ cntdet rang^oir ou ^«npaiiv le dénominateur de cette diîjréireiKce e^t d^ailleurs ,t^nJ9urf..^l an produit des dénominateurs des deux, réduites. ., |
Ainsi , dans le premier exemple , on a
^ I àXl 7 a ÎIX7' iÇ 7 10X7 '.
cette propriété est générale.
aa4 PRQPRliTES PRINCIPALES
Pour la démontrer , prenons dans la fraction eonlinue géni-
P O R raie > trois réduites consécativ^es qùelcoiiques,, =; > ^ > fP'
Maïs, d'après le n« xSg , R=Qr+P, R'=QV+P'. Mettant pour R et R' ces yaleuvs dans le nnnuérateur de la difFérence précédente, on obtient
R Q (Qr+P)<y-Q(<yr + PO . ■
r'"'q'"~ R'cy
ou , effectuant les calculs, et réduisant ,
D*oû Ton voit que le numérateur de la différence ^, — ^, ,
est éffà et'de signe contraire -au nomératenr de la différence
Q P. . Qy~p<y
Ciest^k-dire qb» &^ msnv^teicr^ cie deux différences con^ sécutivés sont égaux et de signes contraires. Mais si l'on considère les deux premières réduites t
a nb-^i ' izft-4-t a +1 f
- et — r — > on a — i — — - = -r^ ;
ddnc^ d'après ce ^ui vient d'être dit, le numérateur de la différence suivante doit être —1 ; le numérateur de la troisième différence doit être + 1 , et ainsi de suite.
Eh général' , le numérateur d'une différence quelconque est -4- i'> si Az seeonde des deux rfêduites que Von considère] est de tang pair, et-^i^si elle est de rang impair; quant* au dénominateur, il est évidemment égal au produit dés dénominateurs des deux réduites.
17a. Conséquence de là propriété précédente: Une
réduite de rang quelconques .^^ e^ toujours une fraction ou un
nombre fractionnaire irréductible.
DES REDUITES. 2)a5
En effets supposons pour un instant que R et R^ aient. un facteur commun h ; comme , à*après la propriété ci-desiîuâ^ on; a RQ^— -QR' = d=i , il vient , en divisant les.. deux membres
. RQ' QR' . 1 ^ , , .
par h , -^ -V— = ^ r* ^^' ^® premier membre de cette
égalité est un nombre entier ^ puisque R et R' sont divisibles par h y et le second membre est essentiellement une fraction ; donc il est absurde de supposer que R et R^ne soient pas premiers entre eux.
Il résulte de là que, si Ton convertit en fraction continue, une fraction dont les deux termes ne sont pas premiers entre eux; et que l'on forme ensuite toutes les réduites jusqu'4 la dernière inclusivement j, on ne retrouvera pas la fraction proposée, sou^ sa forme primitive , mais bien cette même fraction réduite à sa plus simple expression , c'est-^i-dire, débarrassée du plus grand commun diviseur entre se» deux termes.
Soit, par exemple, la fraction -^.
En la convertissant en fraction continue , on trouve
= o H j- , et les réduites sont
La dernière réduite — est la valeur de -^ débarrassée du
facteur is commun à ses deux termes*
