Troisième propriété. Les diCh^ irt ea séduites d«B
ûaiS PROPRIÉTÉS PRINCIPALES
lient des valeurs approchées de x, et il est aisé de détermioer le degré d'approximation fourni par chacune d'elles.
D*abord , puisqu'on vient de voir que la valeur de x est
comprise entre deux réduites consécutives quelconques , ^ et
M-. il s'ensuit que la différence entre x et l'une de ces ré-
duites > est moindre que ^ — ^ , différence qui existe entre les
deux réduites; donc déjà, l'erreur commue, lorsqu* on prend l'une de ces deux réduites pour la valeur de x, est moindre que l'unité divisée par le produit de leurs dénominateurs.
Mais bien plus , si Ton considère la différence
PO' — OP' a? — ^ = ^rCr I TVN^w » obtenue dans le numéro précédent ,
• comme on a (n** 171 ) P<y — QP'ssi (abstraction faite du
signe ) , il en résulte a: — ^, = ^^^— L^-^,,
Or, le quotient complet^ est^ par sa nature , plus grand qne 1 ; donc (Q'y-f F)Q' est >(Q'+P')Q', et à plus forte
raison , > q\ D'où x ^ S. <;; ^ ^ . ^ et à fortiori
* •" 7v ^ TvT'
Ainsi, ïa différence entre x et ^, ou /"erreur commue, fors-
qu*on prend ^ pour la valeur de x, est moindre que t unité di*
visée par le produit du dénominateur de la réduite, multiplié par la somme faite de.cemême dénominateur et de celui'qui précède ; ou moins exactement , mais en termes plus simples , moindre que Funité, divisée par le ccCrré du dénominateur de la réduite considérée.
175. Quatrième propriété. Une réduite de rang quelconque donne une valeur plus approchée de x, qu'aucune de celles qui la précèdent.
DES RÉDUITES. fidj
V En effets conaîdéroos encore les deux difierences du a* 173 ,
P' W'j'+nP' ' Q'~(Q>+P')Q'*
comme on a (n® 170) Q'^F, il s'ensuit que le dénominateur (Q'^+P')Q', est plus grand que le dénominateur (Qjf+ POP'i d'ailleurs jr est > 1 ; donc ( abstraction faite du signe ) , le numérateur PQ' — QP'' est moindre que le numérateur (QP'— PQ')j'. Ainsi, par cette double raison, la difFérence
entre x et p^ , est numériquement moindre que la diiTéreoçe
entre a: et =;7.
176. Cm<2UlèME ET DERNIERE PROPRIÉTÉ. Une réduite de rang quelconque approche plus de la valeur de x , non^seule^ ment qu aucune des réduites précédentes, mais encore qu'aU" eune autre fraction , dont le dénominateur est moindre ,que celui de la réduite considérée ; en sorte que Ton peut assurer qu*il n'existe pas d'autre fraction qui , en termes plus simples , donne une valeur plus approchée de x.
Soient ~7 la réduite que l'on considère, et —7 une fraction Q ^ m
quelconque, telle que Ton ait m'<Q'; je dis que x — — 7 est plus grand ( abstraction faite du signe ) que x — ^.
Démonstration. Remarquons d'abord que la fraction -^,
ne saurait être comprise entre ^ et p>; car, pour que ceU
fût, il faudrait que la différence entre =5 et —7, savoir,
— =;7— - — , fûc numériquement moindre que la différence r m ^
^77^7 , entre ^ et = •, ce qui est impossible , puisque Pm'*— VnP'
nombre entier, est au moins égal à i> et que,i»'P' est plu»
93o PROPRIÉTÉS PmKClPALES DES RÉDUITES.
petit qne FQ' , à cause de l'hypothèse m' < Q^ ( On ne peut supposer Pm' — mP' =s o , car il en résulterait «:=: —7 , et cette
dernière fraction étaot égale à la rédaite qui précède ^, la
proposition serait déjà démontrée^)
PO m
Il suit de là que p; et ^sont à la fois ^ ou <^-7; donc
les différences =7 — —7 et ^ — —7, ou leurs numérateurs
Pth' — niP'y Qm^^^mQ^, sçnt nécessairement de mime signe.
Cela posé, Ton a trouvé (n** 173)
Prenons aduellement la différence entre x et — 7. On a
Ht Qy + P m ^ (Qffi' — mQ0jr4- Pm'~mP '
Or, par hypothèse, m' est <Q^; ainsi le dénominateur de cette secQnde difFérence est moindre que celui de la première* D'un autre côté , le numérateur {(^m' — m(^)y'^l^m' — mP', se composant dje deux termes addltû*<» eu saustractifs à la fois ,
est plue grand que 2. Donc , par cette double raison ^ x — — ? eal numériquement plus grand que x — ^.
N» B, Il est à remarquer que les quatre dernières propriétés reposent sur le même calcul, celui du n* 176, si l'on y joint toutefois , pour la cinquième , l'expression de la différence entre^
j? et — ;; ce qui en rend les démonstrations plus faciles à retenir, m ^ *^
