CHAPITRE VI

Formation des Puissances j et extraction des Racines cannées et cubiques des nombres.

5 1*'. Formation du carré et extraction de la racine carrée,

178. JNoTiONS PRÉLIMINAIRES. On appelle carré (n* m), ou seconde puissance d'un nombre , le produit de ce nombre multiplié par lui-même , et racine carrée ou a"* d'un nombre , un second nombre qui^ multiplié par lui-même^ ou élevé au carré , donne pour résultat le nombre proposé.

Ainsi, 7 a pour carré 4s \ et réciproquement, 4.9 a pour racine carrée 7; de même, i3 a pour carré iaXiaoui44> et réciproquement, la racine carrée de 144 est is»

La formation du carré d*un nombre entier ou fractionnaire ne présente aucune difficulté ; il suffit de multiplier ce nombre par lui-même, d'après les règles connues.

Mais il n*en est pas de même de l'extraction de la racine carrée d'un nombre, qui a pour objet : Un nombre étant donné, trouver le nombre quij multiplié par lui-même, peut produire le nombre proposé. Cette opération, assez difficile, exige des détails particuliers ; elle est d'ailleurs d'une très grande impor-tance dans la Géométrie et l'Algèbre.

Les dix premiers nombres entiers étant

leurs carrés sont évidemment

i> 4> 9, »^, 35, 36, 49, 64, 81, 100; et réciproquement , les nombres de la seconde ligne ont pour .racines carrées le^ nombres de la première.

A l'inspection do ces deux lignes , on reconnaît que , parmi

a34 EXTEÀCTiON DE LA RACIIIB GÀ&RiB

les nombres entiers d*un ou de deux chiffres , il n'y en a que neuf qui soient des carrés fP autres nombres entiers; les autres ont pour racine carrée un nombre entier^ plus une fraction.

Ainsi 53^ qui est compris entre 49 et 64 1 a pour racine carrée 7, plus une fraction. De même, gi a pour racine carrée g, plus une fraction.

17g. Mais ce qui est très remarquable, c*est qu*un nombre entier , qui nest pas le carré éCun autre nombre entier, ne peut pas avoir non plus pour racine , un nombre fractionnaire exact.

Cette proposition qui, au premier abord, peut paraître un paradoxe , est une conséquence du principe établi (u^ i34) ^^^ I^ divisibilité des nombres. En effet, pour qu'un nombre fractionnaire exact, r , puisse être regardé comme la racine carrée d'un

nombre entier , il£aut que son carré, T X r 9 ou r;, aoit égal i

un nombre entier. Or, cela est impossible; car, supposons

que T soit réduit à sa plus simple expression; a* et h^ n*0Qt pai( b

(n® i34) d'autres facteurs premiers que ceux qui entrent dans

a eXb\ et puisque ces deux derniers nombres sont premiers

•ntte eux ^ il en est de même de a* et 6*. Ainsi, 7^ est un hoth-

hre fractionnaire irréductible , et ne peut, par conséquent ^ être égal à un nombre entier.

La racine carrée d*un nombre entier qui n*est pas le carré d'un autre nombre entier, ne pouvant être exprimée par aucun nombre exacte s'appelle nombre incommensurable ou irrationnel; c'est-à*dire, nombre qui ne peut pas se mesurer exactement au moyen de l'unité. Ainsi, ^/a, \/5, V^n, sont des nombres incommensurables ou irrationnels.

On dit alors que le noinbre proposé n'est pas un carré parfait.

180. La diiFérenoe de deux carrés parfaits consécutifs est d'autant plus considérable, que Ins racines de ces carrés sont

plafi graiOdea^ et Vexpression dç cette différeppQ est utile à connaître*

SoÎQQl en effet deux nombri^f conaéçutifa , a et a H- 1 .

Oaa(aMi5),(a+ty;=;=(a4-*)(a+6) — a* + aa6+6»; d'où , en faisant ^=:t i » (a+ 1)* =«*+ sa + i,

La différence entre (a + 0* ®* û%.est donc aa+i '» d'où i on voit que /a dlfflérence entr^ les carrés de deux nombres c&nséciftifs est égule au double du plus petit de ces deux nombres y augmenté d'une unité. Ainsi « la différence entre les carrés de 34s et de 347» est légale à 9 foi^ 347 P^ ^ > ^^ ^9^ t en |>i«n , en d'autres termes , les carrés de 347 ^^ ^^ ^^ comprexuient 694 nombres qui ne sont pas des carrés parfaits.

Ces notions établies ^ proposons-QOus de rechercher u^ pro*cédé pour extraire la racine carrée d'un nombre > en commen** çant par les nombres entiers.

281, Extraction de la racine carrée d^un nombre entier.

Si le nombre n'a qu*un ou deux chiffres « sa racine s'obtient iixunédiatement d'après Tinspection des neuf premiers nombres (n* 178); considérons donc un nonibre de plus de deux chiffres ^ 6084 par exemple.

Ce nombre étant composé de plus de deux 6 Q«8 4 t 7^ chiffres, sa.racine en a plus d'un ; d'ailleursj 4 9 j wg

iloatpluspetit que 10000/ quiest le carréde "^ g^^ g ioo',ainsi,laraciiierenfarmenéeessairement 1184 — r/ d«ixchiffres,saToir:de8dixainesetdeflum- • ^

fée. Or, si l'on désigne les dixaines par a , et les unités par 6 , on a (n* 180)

Go84=(o-f.iy2a:fl»4.aofc4-6*; ee qui prouve que le oarré d'un nombre composé de dixaines ef d**nnit6S , renferme le carré des dixaines , plus le double pro^ àuif des dixaines par les unités , plus le carré des unités.

Cela posé^ si Ton pouvait découvrir d^is 6084 1 ^^ carré desdixaines de la racine, on obtiendrait facileneot les dixaines;. mais le carré d'un nombre exact de dixaines ne pouvant donner moins que de» centaines , il s ««suit que ee carré doit se ttfoavar dans la partie 60, à gauebe des deux derniers chiffresr qu'on

s5S EXTRACTION' DE LA RACINE CARRÉE

sépare, pour cette raison, par un point, de cette partie qui, d'ailleurs, outre le carré des dixaines , peut renfermer des cen^ taines , mille, provenant des autres termes du carré. La partie 60 est comprise entre les deux carrés 49 et 64» dont les racines sont 7 et 8 ; or, je dis que 7 est le chiffre des dixaines cherché ; car 6000 est évidemment compris entre 4900 et 6400 , qui sont les carrés de 70 et 80 ; il en est de même de 6084* Donc la ra* cine demandée se compo.«ede 7 dixaines, et d*un certain nombre d'unités moindre qpe dix.

Le chiffre 7 étant trouvé , on Técrit à droite du nombre donné , en les séparant par un trait vertical ; puis on retranche son carré 49 > de 60, ce qui donne 1 1 pour reste à côté duquel on abaisse les deux autres chfffres, 84* Le résultat 1 1 84 de cette première opération, contient encore le double produit des dixaines par les unités et le carré des unités. Or, des dixaines multipliées par des unités , ne pouvant donner au produit , moins que des dixaines, le dernier chiffre 4 ne fait pas partie du double produit des dixaines par les unités ; ainsi, ce double produit se trouve renfermé dans la partie à gauche 1 1 8 , qu'on sépare du chiffre 4 , par un point»

Donc, si Ton double les dixaines, ce qui donne i4> et qu'on divise 118 par 14 > le quotient 8 est le chiffre des unités , on un chiffre plus fort que celui àen unités. Ce quotient ne pent pas être trop faible , puisque 1 1 8 contenant le produit du double des dixaines , 1*4 > par les unités, il faut qu*on puisse en retrancher le produit de i4 p^T le chiffre qu'on essaie ;' mais il peut être trop fort, parce que 1 18, outre ce double produit, contient encore des dixaines provenant du carré des unités. Pour vériEer si le quotient 8 exprime les unités , il suffit de l'écrire à la droite de 14 9 ce qui donne 148, puis au-dessous de lui-même, et de multiplier 148 par 8. On forme évidemment par là, i*. le carré des unités ; â^. le double produit des dixaines par les unités. Or, cette multiplication effectuée, donne pour produit 1 184) nombre égal au résultat de la première opération ; en le retranchant de ce résultat , on a o pour reste -, donc 78 est la racine demandée.

En effets il résulte des opérations précédentes, que Ton a.rQ«

D*UN NOMBRE ENTIER. q!oJ

tranché auccessivement de 6084 1 le carré de 7 dizaines ou de 70^ plas le dauble produit de 70 par 8^ plus, enfin, le carré de 8 » c'est-à-dire , les trois parties qui entrent dans la composition du carré de 70 +S ou 78; et comme le résultat de la soustraction est o, il s*ensuit que 6084 est égal au carré de 78.

Soit, pour second exemple, le nombre 84i-

Ce nombre étant compris entre 100 et 8.4 1 3() 1 000 , sa racine se compose encore de deux 4 4B

chiSresyOudedixainesetd'unités.Onprou- 4 /.i q

rera > comme. dans l'exemple précédent^ 4 4 i 4Ai'

que la racine du plué grand carré con-

tenu dans 8, ou dans la partie à gauche des deux derniers chiffres , est le chiffre des dixaines 4e la racine. Or» le plus grand carré contenu dans 8 est 4 dont la racine est 9; c'est le chiffre des dixaines. Si Von retranche le carré de a ou 4 dû nombre 8^ il reste 4; abaissant à côté de ce reste la tranche suivante 4i> on obtient 44"^ > résultat qui renferme encore le double produit des dixaines par les unités ^ plus le carré dès unités.

On prouvera encore , comme dans l'exemple précédent » que , si l'on sépare le dernier chiffre 1 par un points et qu'on divise la partie â gauche 44 P^^ 4» double des dixaines y le quotient sera le chiffre des unités , à moins qu'il ne soit plus fôrt que ce chiffre. Ici , le quotient est 11, et il est évident qu'on «ne peot pas avoir plus de 9 pour .les unités (car autrement , ce serait supposer que le chiffre trouvé pour les dixaines , ne serait pas le véritable). Il faut donc essayer 9; pour céla> l'on place- 9 à la droite de 4 > double des dixaiiies^, puis an-dessous de- lui-même, et l'on multiplie 49 p^^ 9* Or, cette multiplication donne le pro** doit 44^^ ^^^ ^^^ ^g^^ ^^ résultat de la première opération.; ainsi, 39 est la racine demandée.

En réfléchissant sur le procédé qu'on vient de suivre^ pour extraire la racine carrée d'un nombre de trois ou de quatre chiffres^ on voit qa*il se compose de deux opérations principales. Lapre^ mière consbte à séparer les deux derniers chiffres àdcoite » et d extraire la racine du plus grand carré contenu dans la partie à.

2l38 EXTRACI^ON DE LA RACllIE CARREE

gauche. Celte racine exprime nécessairemefit ieè dizaines de la racine totale; car le carré de Yvette racine suivie d*un zéro, et le carré de cette même racine avgmentée d*ime unité et snÎTie également d'nn zéro, Comprennent évidemment le nombre pro«posé. La seconde conftiMe, après avoir abaissé les deux chiStes à droite da nombre, et après avoir séparé lé dernier de ces deux chiffres par nn point, consiste^ dis-je , à diviser la partie à gau^ che pat le double du chiffre déjà trouvé d la racine. Le quotient exprime les unités, à moins qu'il ne soit trop fort; et pour s'assurer s'il nest pas trop fort , on forme le carré de.ce quotient ^ et le produit du double des dixaiaes par ce quotient. Si la somme qu'on obtient est égale au résultat de la première opération « ou bien » test moindre que ce résultat , on est sûr que le quotieat représente les unités 9 et on Técrit alors à la droite des dixaines; dans le cas contraire, t9n le diminue d'une ou de plusieurs unités.

Renxirque. Dans la recherche de la racine carrée d*ua nombre , on ne peutt)btenîr d'abord le carré des unités ; car ce carré donne en général (n° 178) des dixaines qui se combinent avec celles que fournit le double produit des dixaines par les unités ; en sorte qu'il est impossible de déterminer d'une manière précise dans qucfUe partie du nombre proposé se trouve le carré des unités.

Nous prendrons pour troisième exemple , un nombre qui n'est pas un carré parfait; soit le nombre 1287

En appliquant à ce nombre le procédé 1 a . 8 7 I 35 ci-dessus , on trouve 35 pour racine , et 6â 9 '^

(lotir reste; ce qui indique que 1^87 n'est "3 g, 7 5 pas Un ear ré parfait^ mais qu'il est com- g a 5 T^

pris eVitre lé carré de 35 et celui de 36. ^^^

En effet, le etàré de 35 est iaâ5> «t celui ^ ^

de 36 est iag6, nombre qui surpasse içaS de 71 , on de

35Xa+< («• ï8o>-

Ainài, lorsqu'on nombre 11 ^èt pas vtû carré parfait, le pro-

<>édé fait oorinaitre au moins , 'la racine du plus gr^md carré

contenu dans €e ittnnirèf on bieli eabore., la partie entière de

iafotine tairrée de ee nombre.

B'ITN nombre EKTIER. 3^9

Noua verrous bientôt comment oa obtient approjtimatiyement la fraction qui doit compléter la racine.

i8a. Passons à Textraciion de la racine carrée d'mr nombre de plus de quatre chiffres.

Soit 56821444 1* sombre proposé.

725 4&09 iao544

Lé taombre proposé surpassant 10000 , sa racine doit être plus grande qufe ioô, c'est-à-dire, avoir plus de deux chiffres. Mais » qt^l qù*eâ èoit le notubrë , on peut touf ours la regarder comme composée séûtemfelit d'imités et de dixaines (bar soit S567 un riômbfe quelconque, îl est décomposàble en 556o + 7, ou 5S6 diiàirie^ , pîus 7 Unités).

Ibis lt)rs , le catté dé Cette raèîàé , ou le nombre proposé , contient leei^irrédes dlitàînes, -pltia le double produit des dixaînes par les unités , plus le carré des unités. Or le cattè des dîxàines donné aà Moins des cefftaihes ; dbnc là d^erhièré trahche, 44 , ne peirt éb fiaferè partie , et c'éétdahs la ^àttrè à gauche que ^e trouvé 6é càïté. Je HHs ifiàifatlenàïit que, si Tolti ^cherctie ta racine dû plus gfahd tarré échtetiii dans 'cette "pârfie i gàiiche, àonsîdèrée aMrée sa v^l^uir'alSsblue , âh aura le iiohihre total dès dixaînes de la tàéith dëîiiàjiâéë. flÀ ieffbt , éoit a k tacine dû plus granâ c^arré contenu dans 568a 14 ; cela 're\*îeïi^ à tfirfe tfié ce dernier «feûfefè est trofeaprià tentrè d* et (à + iT'» ^^^^ «'"ssï , 5682i4 >< 1^)0, 5ô«i 56i83"i46fOi è*t ébtnpf'fe ehtt-éYi'X lobettû+i )^x 100; et ^inttie ces dëftx dëttà^rs âôtlsbttô diffèrent entré ètiX de plus d'une oétmhté^ il è'enjftiit ^litélê noinbi'e proposé lûi^méme^ ou

â4o EXTRACTION DE LÀ RACINE CARRÉE

568fli444> €8t compris entre a'X too et (a-|-i)*X loo; ainsi les racines carrées de ces deux derniers nombres > c'est-à-dire, aXioet(a4-i)X^Cy comprennent Id racine demandée. Donc en&n, cette dernière racine se compose de a dixaines» plusd'un certain nombre d'unités moindre que dix, La question est , par ce moyen , ramenée à extraire la racine carrée du nombre 568a i4> considéré avec sa valeur absolue.

En raisonnant sur ce nombre comme sur le nombre proposé , on est conduit, pour avoir les dixaines de sa racine, à extraire la racine du plus grand carré contenu dans la partie à gaucbe de i4i c'est-à-dire, dans 568a ; et pour obtenir les dixaines de cette nouvelle racine^ il faut encore faire abstraction des deux derniers chiffres 8a , et extraire la racine du plus grand carré contenu daas 56. ^ «

Extrayons donc la racine de 56 , il vient 7 pour 49 } en écrit 7 à la droite du nombre proposé, et l'on retranche 49 de 56, ce qui donne 7 pour reste à côté duquel on abaisse la tranche suivante 8a (parce qu'il faut maintenant déterminer le second chiffre de la racine du plus grand carré contenu dans 568a). Séparant le dernier chiffre à droite de 78a, puis divisant 78 par ]4« double de la racine déjà trouvée, on a pour quotieut, 5 que l'on écrit à la droite de 14 et au-dessous de lui-même ; puis on multiplie i45 par 5 , et l'on soustrait le produit 7a5 , de 78a ; 75 représente alors la collection des dixaines de la racine du nombre 568a 1 4*

Pour en obtenir les unités, on abaisse à. côté du reste 67, la tranche i4> ce qui donne 5714* dont on sépare ïe dernier chiffre. 'Divisant 671 par i5o, double de la racine déjà trouvée, on a 3 pour quotient, que Ton écrit à droite de i5o et au-dessous de lui-même; puis on multiplie i5o3 par 3, et l'on retranche le produit, 4^09 de 5714; 753 exprime alors le nombre total des dixaines de la racine demandée.

EnBn, pour avoir le Ihiffre des unités, on abaisse. à côté du reste iao5, la dernière tranche 44» puis, faisant abstraction du dernier chiffre, on divise la. partie à; gauche iflo54» par iBoG» double de la racine déjà trouvée; il vient pour quotient, 8 q[oa

D*CJN NOMBRE ENTIER. a^l

Ton écrit à la droite de i5o6 et aa-dedsous de lut-méme. Multipliant i5o68 par 8^ et sonstrayant le produit i9o544> on obtient zéro pour reste. Donc 7538 est la racine demandée. Pour la vérifier, il suffit de multiplier 7538 par lui-même^ d'aprè» les règles de la multiplication arithmétique.

Si Ton a bien saisi les différentes parties de l'opération précédente, on en conclura facilement le procédé suivant :

Sépctrez le nombre en tranches de deux chiffres chacune , à commencer par la droite (le NOMBRE des tranches est égal AU NOMBRE DES CHIFFRES DE LA RACINE). Prenez la racine du plus grand carré contenu dans la première tranche à gauche,, qui peut n avoir qu'un seul chiffre y et retranchez lé carré du chiffre trouvé , de la première tranche à gauche.

Abaissez à côté du reste , la seconde tranche à gauche , dont vous séparez le dernier chiffre par un point; puis divisez la partie à gauche de ce chiffre par le double de la- racine déjà trouvée. Écrivez le quotient à côté du double de la racine; multipliez le nombreainsi formé, par ce quotient, et retranchez le produit, du premier reste suivi delà seconde tranche,

Abaissez à côté du nouveau reste, la troisième tranche; séparez le dernier chiffre, et divisez la partie à gauche par le double de la racine déjà trouvée; écrivez le quotient à côté de ce double, puis multipliez le nombre ainsi formé, par le quotient et retranchez le produit, du second reste suivi de la troirsième tranche. Continuez ainsi cette série d'opérations , jusqu'à ce que vous ayez abaissé toutes les tranches.

Si, à la fin de toutes ces opérationis, vous n obtenez aucun reste , îe nombre proposé est un carré parfait. Si vous obtenez un reste quelconque , le nombre n'est pas un carré parfait • mais vous avez la racine du plus grand carré contenu dans le nombre , ou » ce qui revient au même , la partie entière de la racine carrée de ce nombre. Ce reste doit être (n® 1 8o) moindre que le double de la racine trouvée , plus i ; autrement, les chiffres de la racine auraient été mal déterminés.

i83. Nous proposons pour nouvelles applications, d'extraire

24% CÀftACTÉIlSS

\e$ moÎQef CArréef des nombret 17698849 ^ 698485; on trov^ yar«

V^ 1769^849 = 4^7 » 1^698485 =s 8S6 atec un reste 1 a6o.

Première Remarque, Dans lepremier de ces deux exemples , on obtient o pour Tun des chifFres de la racine ; cela se recoanaftt à ce qi/après que Pon a abaissé irae tranche, et séparé le dernier chiffre , la partie à gaudie est moindre qae le double de la racine ddé)i tnoav^e ; ce qnî indiqua qae la racine n*apas «Pnnités àt^ Kordre coirespondaat à la tranche a h a i iaé e . Nais il Ëiot mattre an o i la raeina , afin de donner aux chiffres déjà ol^ tenus leur valeur aolative.

^Seconde Remarque. Il résulte de la nature mtme du procédé, que le nombre des chiffrée de la racine est égal au nomire des tranche^ 4^ deux çkjffref qifon peu$ former danf U nombre prçpQ^jf» Kai^ i6<ette fNK^posiiion se démontra â pri9ri, ^'estrà-dira, san^ lejiacQinre M procédé.

^ e^t, le cjurré de ip"^', ou du pin» pelil n(mt)re 4e n chiSr^S; ^ éfai à Tunité au^vie de (n-^i) om de an-r^u zéros , et e^pri|»)a le p)u» petil nombre de a/t^f-i éb^thes»

D'nxx autrç côté, 1^ ç^^é de %q\ ou (lu pl|29 petit nombre de n+ 1 chiiTr^s, e$t ég^l àli^i^é ^vivie de an zéro^^^l: exprime le pl^is jpetît nombr^e de siy -f^ 1 çbifrr.es.

Donc tppt n9jn>)?re çp^RPsé dç î^^ — i chiflf.és, ou (te î^/^ au plu§ ^ c*e5t-i-dire , dp i^^Qi^bire ,q^i ç^t dépon^po.sable en n tranches de a çhiiFre9(d<>iit rjjnepeujt ?j'avoir qp jun ^e^l chiffre)^ ^ une racine comprise j^ntrç ic*""* et 10", et par çon^ga/^nt, coiçppsf ç ^e n cïiîffw-

1 84# Trpis^ém^ fiepfu^rquer On raisonnait souvienit, à la 9imple inspection d*nn noffibrjç enlier, q^'ÂI^ est pa^vnparré parfait :,pt cela pfpf; ^tre utile dans 1^ pr^t|qv.e, Yoipi les ipdipes pcincir

^®. Tout nombre pair ponvaojt étr^ pcprimé par f^a, «on ciirré 4^* c?t ej^p^jj^llepient diywij?le p^r 4-

Ainsi, tout nombre pç^ir qui fiif^ pof ^^fi^jt^le pqr j^ («» \4p), n'est pas un carré parfait. De même, le carré d*un nombre impair an^ 1 , étant 4^*4*4^+ > > nombre qui, diminué d'une