PAR APPROXIMATION

En général > toutes les fois que le dénominateur renferme un facteur carré parfait , multipliez les deux termes de la fraction par le facteur non carré parfait.

188. L* extraction de la racine carrée des fractions déci' maies se déduit de la remarque précédente.

Prenons potir exemple , le nombre S^^^S dont on demande la

racine carrée.

ZAst5 Cette fraction revient à —5—. Or, looo n'est pas un carré,

mais il est égal à loo X 10 ou (10)' X 10; ainsi , pour rendre

le dénominateur un carré parfait, il suffit de multiplier les deux

. , 34fl5o 34a5o ^^ ^ , termes par 10; ce qui donne ^ ' ou 7 — rt. Extrayant alors ^ ' ^ loooo (100)* "^

la racine de 34s5o, à une unité près, on trouve i85; donc

-> — ou 1 ,85 est la racine demandée , à — près.

Si Ton voulait un plus grand nombre de chiffres décimaux à la racine, il faudrait ajouter à la droite de S^aSo, autant de tranches de deux zéros , que Ton voudrait avoir de chifirea décimaux de surplus.

RÈGLE GÉNÉRALE. Pour extraire la racine carrée d^une fraction décimale , rendez d? abord le nombre des chiffres décimaux PAIR et double du nombre des^ àhiffres décimcux que vous voulez avoir à la racine, ce qui se fait par l'addition d-unnorribre ponvenable de zéros y à la droite du nombre proposé ^ faites abstraction de la virgule dans le nouveau nombre et extrqyeztfe^ Uirgcine , à une pnké près; puiserifin, séparez vers la droite de cette racine , te' nombre de chiffres décirnaux demandé.

On peut encore déduire cette règ^f comme conséquence du procédé de la multiplication des fractions décimales, en vertu duquel le carré d'une fraction déciniale , ou le produit de cette fraction par elle-même , doit contenir le double du nombre des oUffires décimaux qui entrent dans la racine.

aSo REMARQUES

Prenons pour i econd exemple , la fraction Q,c&4^i > ^^^ ^^ demande la. racine, à près

lOOOOO ^

Ce nombre peut être mis sous la forme 0,0640900000.

Suppï'hnant la virgale et omettant, comme inutiles, les zéros qui sont à gauche, on a 540900000^ nombre dont la mcina, à «no uaîté priés, est ûSiàS^. Masi, o,i0r57 est la raeine demandée à 0,00001 près.

16g. Enfin , on demande quelqtiefois d'éraluer en déeunalds la racine carrée d'une fraction ordinaire.

Dans ce cas , il siiffit de coiwertir la fraction proposée endécimales y et de pousser t opération jusqiC à ce quon ait au quotient f DVtSX fois autant de chiffres décimaux que Vou^vemt en avoir à la racine» Alors , on opère sur cette fraction déci^ maie , comme il vient d^être dit.

Soit proposé d'extraire la racine carrée de — ;, d " ■ ■•»

prts?

GMé frâoticMi réduite en décimales, donne 0,786714» à o«ooooô<i près ; màîs là rAcine de 786714 ^ S^S , à

une unité près; donc 0^86 est la racine de -jf ^ 0,001

près.

On troQvera , d'après oes différentes règles ,

|/è5i,oa7 , à 0,001 près = 5,670;

K 0,01001, à 0,00001 près = 0,100^4;

y^ai^jou \/^> k 0,0001 près nsz i,6g3i.

igo. Premier sgholie. Presque tous les auteurs , en rendant cenpte de l'eRtractita de k racine carrée par jqppreximation , élàUîseeiit en principe , que , pour extraire la racine carrée d*mie fraction, il faut extraite la racine carrée du rsumémteur et celle du démmèinateur. Ce principe est évident (n"" i85), lorsque les denx termes sont des carrés parfaits;

$VR L*£XTRACTfON DtE LA RUCINE CAARÉE. fiSl

nftaii îl ctssv de l'être , «i les deux termes «ont à»; nombret entiert qoelcoQqties ^ parce <)a*on n*a pfts eBOore démon^ que, pour élever aa cari'é m notnbre f FacdonnaîPB dont ies deux tenues «ont ùrraibommls^ il faut élever chaque terme «au carré. Vola ipourqaoi sbus u'ai^obs établi te principe ( n^ i85 ) que pour le cas o<à[ les deux termes eoat des carrés parfaits. li vé« anU» eantîte du ee ^ui a été dit n^ 167 ^ qu'il est encore vrai pour uue fiuiction dont le déuoUxi&atemr est un carré psrEnt -, et maintenant , bn fMUtluâtnMre pomr iouu espèce de fraction, sans audun inceiiyénîekit dans les applications numériques , puisqu'en définitive ^ il faut toujours , pour évaluer la racit>e carrée de la fraction , en venir à rendre le dénominateur un carre parfait.

191. Second scholie. Il résulte évidemment des principes qui «Dt été idévuioppés ci^dessus , qu'^tw nombre quelconque entier ém fràotionaaire étant dosmé , on fyent toujoiars obtefiir l'e^resvon 'eonacte de *ia Taoiiie oarrée y ai 4e uoud)re ^ëét un <xiiré parfait^ m i»en^ une iGatear aussi aqi^piioclié««que TiMi YéUt, de cette radne , si le nombre n'est pas un oarré patfait»

G» prîndpch août d'aiHeucs tewt^^-Cait indépeuduns 4a système >dè Haoérflition dauB je^ri 'un af>èl*e ; c'Mt^^dire que les procédés qui ont été établis pour la veohordht de la «a^ae carrée des nombres , soit entieta , soîl fraotiennaires j seratent absolument les mêmes dans le sjetème de auméiution dont la base est b , que dans le système décimaL Les commençans , pour se familiariser avec ces procédés , feront bien d'ei^ectuer des tâStracHblis de Racine daùs un sy^ème quelconque , par exemple , ^«ns le syMème duodécîmâil. Ils ireoeoufi^troat sans {leîtee^ que, pour l'iextradbén^ lafaoine oarrée d'un «iioïkilire entier^ soit exactement^ soit en fractions duodécimales^ il suffit d'i]yéS:et d'après «les règles exposées u^' tSa.et 186 ; que« pour l'extrâctioa 4e la racine -oaitTée -des fractûms , il faut faire subir aux fractioiis des «prépar^ations analogues à oelles qui oUt été indiquées ;n<>' 187 ^ 1 88 , I %.

Telle «0t iEOû&aL la thAtmte iies nombres reeonnos pour être des carrés paifuUs , ^As le système décimal » que ces mêmes

a5fi EXTRACTION DE LA RACINE CUBIQUE^

nombres exprimés dans un tout autre système, y sont encore des carrés parfaits; et les nombres qui n'ont pas de racines exactes dans le système décimal , n'en ont pas davantage dans un antre système. Ainsi , les nombres quatre ^ neuf^ seize. . • . , quarante-neuf. • • • , quatre^^ingt^un. . . ., sont des carrés parfaits dans tous les systèmes ; et les nombres deux , trois. • . o sept. ...» onze. • . • , n*ont pas de racioe exacte dans quelque système que ce soit. Cela tient à ce que la proposition du n® 179 repose sur les principes démontrés n°* i3a et i33» et que ces principes sont indépendans de tout système de numération.

S II. Formation du cube et extracthn de la racine cubique

des nombres.

19a. On appelle cube ou troisième puissance d'un nombre ^ le produit de ce nombre multiplié deux fois par lui-même , ôt racine cubique ou troisième d*nn nombre, le nombre qui, élevé au cube, ou qui , multiplié deux fois par lui-<méme , peut repro^ duire le nombre proposé.

La formation du cube d'un nombre entier ou fractionnaire^ se réduit à multiplier le nombre deux fois de suite par lui-même , d'aprè& les règles connues.

Les dix premiers nonces étant

on trouvera pour expressions de leurs cubes,

1, 8, a7> 64, ia5,, ai6, 343, 5ia, 739, 1000.

Par exemple , le cube de 7 étant égal à 7 X 7 X 7i on dit d'abord : 7 fois 7 font 49 > et 7 fois 49 font 343 ; et aitisi des autres.

Réciproquement , les nombres de la seconde ligne ci-dessus^ ont pour racines cubiques les nombres de la première.

On reconnaît , à l'inspection de ces lignes , que parmi les nombres d'un , de deux ou trois chiiFres , il n'y en a que neuf qui soient des cubes parfaits ; chacun des autres a pour racine cubique ud nombre entier ; plus une fraction qui ne peut «'ex-