D*UN NOMBRE ENTIER

primer exactement au moyen de l'unité. En effet , admettons pour un instant /qu*un nombre entier N , ait pour racine exacte

un nombre fractionnaire tel que r ; il faudrait quen multipliant T 9 deux fois par lui-même > on pût reproduire N. Or cela

est impossible , ^^^ r X r X r donne pour résultat p ; et

a comme on peut toujours supposer que -r est un nombre fractionnaire irréductible , il s'ensuit que a et 6 sont premiers entre eux; donc (n® i34)> il en est de même de a^ et A'; ainsi

T| est aussi un nombre fractionnaire irréductible, qui, par conséquent , ne peut être égal à un nombre entier N.

Les racines cubiques des nombres entiers qui ne sojit pas déjà des cubes exacts d'autres nombres entiers, ne peuvent donc paS' s'obtenir exactement, et sont aussi, pour cette raison, des nom^

bres INCOMMENSURABLES ou IRRATIONNELS.

ig3. De même que , pour découvrir le procédé de l'esi^traction de la radna carrée d*4in nombre entier quelconque, nous avons eu besoin de nous fonder sur Texpressiœi du carré d'un binôme a -4- fr , c'est-à-dire , de la somme de deux quantités, de même , pour l'extraction de la racine cubique , il est indispensable de connaître la composition du cube de cette somme a + ft.

Or, on a déjà trouvé (n** i8o) que

{a+by ou (a + b) (a + 6) =a* + aa6 + AV

Si l'on multiplie ce premier résultat par .• a + b

d'après la règle établie (n* ii5), a^+ac^b+ab^

pour la multiplication des polynômes , +a*&-f'^^*'+ ' ^^

et qu'^^Q farse la réduction des ter- a^4"3a*6-f-3a&^-{-^ met semblables , on obtiendra

(a 4- bf = a» -h 5a^b + 5ab* + V.

j)54 EXTRACTION DE LA RACINE CUBIQUE

Soit fail dapa celte fof amie » 6 t^ i ; elU <)evient

d'où Ton déduit (a + i)^ — a^^Ja^^s^^ i .

ce qui nous apprend que la diiFérence entre les cubes de deux nombres entiers con8écnti£s^ est égale au triple du' carré du plus petit nombre , plus au triple de ce même nombre , plus i.

Ainsi > la différence entre la cube de 90 et celui de 8g, est égale k 5(89)* + 3 X 89 4- 1 r= a4o5i.

On peut juger » d*après cela , combien deux cubes parfaits coBeécutife sont étoignés l^un de Tautre , dans la série des «ombrer naturels , dèa que letur3 racines 90Qt dos n^mbreis un peu CQ««idérable9.

194* Recherchons maintenant un procédé pour extraire la racine cubique étun nombre entier,

D*abordy bi le nombre n'a que troi^ çhi^ea w plus^ $a raciv^^ soitiç^t^immiédickt^m^^t^'^H^^ P inspection dê^ cub^^ d^ neuf pK^miçg^ niQTaJfyre^. Ainii» la r^n^ cubique de ia5 e^t 5 jt 1^ radft§ çi^^t^iua d« ^a eat 4 plus v.n^ fr^tiw ,, o^ 4, ^ u^q noité près. La racine cubiqHe de^ 84^ e$t 9 ,)l i^ae uoitét piF^ ^ puisque 841 tombe entre 729 ou le cube de 9, et 1000 ou le cube de lo.

Coasidéroas dono w» nombre de plus de trois obifiriee.

Soit^ pap^xeuple, loSSaS le nombre fvoposéi

sao4 «9P9

Ce nombre étant compris entre 1000 ipii «et le eûbe deio, et 1000000 qui mt U GMbe 4^ leo^ sa tacioa ^st nécessairement

D*U{r NOMBRE ENTIER. a55

composée de deux ckiffrea> c'est-à^ire, <le dizaines et d*u-* nitéa. Désignons par a les dixaines et par b les unités , on a (n* 193)

1 o38a3 = (a -J- bf = a^ + 3a»6 + 3ai* + i^^

]>*où roa roit que le cnbe d'un nombre composé de dixaines et d'onités , contient le cube des dixaines , le triple produit du carré des dixctines par les unités , lé triple preduit des dixaines par le carré des unités , plus le cube des unités.

Cda posé , le cube des dixaines donnant an moins des mille , les trois derniers chifiFres à droite n en peuvent faire partie ; et c'est dans la partie 1 o3 (quon répare des trois derniers chiffres par un point) que se trouve le cube des dixaines. Or^ la racine du plus grand cube contenu dans io3 étant 4 pour 64 , 4 est le chiffre des dixaines d^ la racine çb^rchée^ car io38a3 est compris entre 64000 oy (4o)' et i2»5ooo ou (5o)^; donc la racine est composée de 4 dixaines^ plqs dVm certain nombre d'unités moindre que dias.

Le chiffre des dixaine9 étant trouvé, retranchons son cube 64 de io3; il reste 3$ qui, ^iiiyi de la tranche SoS, donne 3g8â3 ; et ce résultat contient encore le triple carré des dixaines par les unités t plus les deax autres peppfties énoncées ^éeédemmeit. Or, le carré d'ma nombre de disaines doBnent au meins des centakies, il s'ensuit qne le triple carré. des dizûnes par las noitée , ne peut se trouver que dans la partie à gauche S98 des deux defpiers chiffres fi3 (qu'on sépara encore , peor cette raieon , par un point )• D'un autre oôté , Fon peut former le triple carré des dix^nes 4f ^ V^^ donne 4B ; done , si Von di»« ylse 3^8 par 4B9 le quodeot 8 est le ciiiffre des unités de la racine, ou nn cbîifre ttùp fort, parpe que 3g8 certaines se composent du triple c^aaùé des dixaines p^ les unités , et des retenues provenant des deux antres parties. Pour vérifier si ce chiffre 8 n'est pas trep fort, en pourrait , comme pour la racine eanrée , f<Nrme^, à l'aide de ce MSke 8 et du chiffre 4 des dixaines , les trois parties qui enti^nt dans S^SoS ; «nais il est beaucoup plus simffle d'islever 48 au cgbe^