BRE DES TRANCHEE EST ÉGAL AU NOMBRE DES CHIFFRES DE
LA RACINE) ; extrayez la racine du*plus grand cube contenu dans la première tranche à gauche , et retranchez ce cube, de la première tranche; abaissez à côté du reste, le premier chiffre de la seconde tranche, etéivisez le nombre ainsi formé, par le triple carré da^th^^ déjà trouvé à la racine; écrivez ieqxiÀtient à la droite de ce driffre, et élevez l'ensemble des deux chiffres cru cube} si ce cube est plus fort que F ensemble des deux premières tranches du nombre proposé, diminuez le quotient d^une ou de plusieurs unités, jusqu'à ce quevous obteniezun cubequi puisse se retrancher de l'ensemble dès deux premières tranches; la soustraction faite f abaissez à côté du reste, le premier chiffre de la troisième tranche, puis divisez le nombre ainsi fcrrmé, par le triple carré de l! ensemble des deux chiffres déjà trouvés; le quotient, s* il n'est pas trop fort, dmt être telqu*en Féerivant à Iç, droite des deux premiers chiffres de la racine, et élevant le nombre qui en résulte, au cube, ce produit puisse êe retrancher de l'ensemble des trois premières tranches. Cette nouvelle soustraction faite , abaissez à coté du reste, le premier chiffre de la quatrième tranche , et continuez la même série d'opérations , jusqu'à ce que vous cyez abais^ toutes les tranches.
Remarque. Souvent, dans le cours des opérations, on soupçonne qu'un des quotiens dont nous venons déparier, est beaucoup trop fort, et alors on croit pouyoir le diminuer d'avance de deux ou plusieurs unités; mais en élevant au cube ta racine déjà trouvée, suivie de ce chiffre, et retranchant ce cube, de l'ensemble dçs tranches considérées dans le nombre proposé, on p«ut obtenir un reste très grand , qui laisse à penser que le dernier chiffre obtenu à la racine est trop faible. On le reconnaît à ce caractère , que le reste surpasse le triple du carré de la racine
a6o EXTRACTION DE LA RACINE CUBIQUE
déjà obtenue^ plus le triple de cette inême racihe;jflus un. Dabi ce cas , on augjmente la racine, d'une ou de plusieurs niiités 4e l'ordre da*dernier chif&e obtenu.
Yoici des exemples sur lesquels on peut8*exercer r
V^483349=78>'avec un reste 8697 •
|/ gi63a&o864i = 45o8, avec un reste .âo644i'39-
1/32977340318402=32668, exactement. '
196. .Extraction' de la racine cubique par ^proxima/Uonm Lorsque le nombre. proposé n*est pas le cube d*ua autre nombre entier, le procédé ci-dessus ne donne que la paHu entière de la racine. Quant à la fra^ion qui doit compléter la racine , nou« avons déjà vu (n^ 192) qn'ellene peut être obtenue exactement; mais on peut trouver une autpe fraction qui n'en diffère que d'une quantité aussi petite que l'on veut.» d'après une règle analogue à celle du n° 1 85,
Soilf en général ^ proposé d^ extraire îa racine cubique ou
troisième du nombre à , à une fraction près , -;
a ^ Ti?
Le nombre, a peut être mis sous la forme — j— ; et si l'on
désigne par r la racine du plus grand cube contenu dans an^^ c'est-à-dire, la racine de on^, aune unité près, le nombre
an^ . . t^' ^(''+0^ -1 . ^^
—3-, ou a, est compris entre -j et -^ 5-=-; donc aussi, \/a est
compris entre les racines de ces deux nombres , ou entre —
et ; donc enfin , - est la racine demandée, à une fraction
près , -.
Ainsi, pour extraire la racine 3**' d!un nombre^ à une
.fraction près, -| multipliez le nombre par le cube du dénomi'^
PAR APPROXIMATIOM. aSl
nateur n\ extrayez y à-moins, i'ujie unité près ^ la racine cubique du produit ^ et divisez le résultat par n.
Exemple. On demande la racine cubique de i5 , à —près^
On a i5x ia'=i5x 17^^8=25920. Or la racine cubique de 25q2o, à une unité prèd> est 2g. Donc la racine demandée
flQ 5
est-^,ou2 — .
la la
On trouvera pareillement
ùj;^ à — près =22=34=-
•^ ^^ ao ao ao
197. L'approximation en décimales est une conséquence de la règle précédente.
Soit proposé d'évaluer ^/aS à 0,001 près.
Il faut (n® 196) multiplier a5 par le cube de 1000, ou par ioooooooo0| c'est-à-dire» ajouter neuf zéros à la droite ded5, ce qui donne aSooooooooo. Or» la racine cubique de ce «pmbre est a9a4i à une unité près. Donc^ 39994 est la racine demaini-
dée, k près.
En général , pour évaluer la rctcine cubique d'un. . nombre
entier en décimales » ajoutez à la droite du nombre y trois fois
autant de zéros que vous voulez avoir de chiffres décimttujc à
la racine; extrayez , à une unité près , la racine cubique du
nouveau nombre; puis séparez vers la droite du résultât, le
nombre des chiffires décimaux demandé» '^
ig8. Soit maintenant t > unefraction ou un nombre fraction^,
naire dont il faut extraire la racirte cubique. '
Commençons par r£ndr#le dénominateur un cube parfait , en bmltipliant les deux termes par le carré de ce dénominateur ;
la fraction se change alors en celle-ci/ -rj-* Désignant par r la
