INTRODUCTION

jipplications des règles de V Arithmétique. Théorie

des Rapports et Proportions.

aoo. Introduction. xjLprès avoit fait connaître les procédlâ relatifs aux diverses opérations de rArithmétique ^ il noas reste une tâche assez difficile à remplir^ c*eet celle d'initier les cornmençans à la résolution de toute sorte de questions sur les nombres.

On distingue deux genres principaux de questions j les théo* rèmes et les problèmes.

On peut ayoir pour but de démontrer l'existence de certaines propriétés y par rapport à des nombres conz^us et donnés ^ auquel cas y la question porte le nom de théorème. Le cinquième chapitre offre une foule de questions de ce genre : les principes sur la multiplication de deux ou plusieurs facteurs dans un ordre quelconque, et sur la divisibilité des nombres > les propriétés des fractions décimales périodiques et des fractions continues ^ sont autant de théorèmes.

Ou bieAy on se propose de déterminer certains nombres d'après la connaissance d'autres nombres , qui ont avec les premiers des relations indiquées par l'énoncé; et alors c'est un problème que l'on veut résoudre. Telles sont les questions que nous avons présentées , dans le cours des deux premiers chapitres , comme applications des diverses règles de l'Arithmétique.

Mais on peut avoir à résoudre des problèmes plus compliqués, dont les énoncés soient tels^ qu'on ait plus de peine à découvrir et à déterminer la série d^ opérations qu* il faut effectuer sur les nombres connus et donnés , pour parvenir à la connais" sance des nombres que l'on cherche,; c'est cette détermination

DES RAPPORTS ET PROPORTIONS^ a65

qui. coii8tita« ce qu'on appelle Vanalyse ou la , résolution du problème.

n existe toutefois une certaine classe de problèmes^ pour la la résolution desquels on peut établir des règles fixes et certaines. Ce sont ce^x qui dépendent de la théorie des rapports et proportions. Il est donc naturel de commencer par le développe* ment de cette théorie qui , d'ailleurs > à cause de ses nombreuses applications ; doit être regardée comme Tune des plus importantes des Mathématiques. .

S I. Des Rapports et Proportions.

aoi. Nous avons déjà dit (n^ i) qu'il n*y a point de grandeur absolue; que> pour se former une idée d'une grandeur quelconque , il faut la comparer à une autre grandeur convenue , de même espèce, qui peut d'ailleurs être prise arbitrairement ou dans la nature. Le résultat de cette comparaison est ce que nous avons appelé nombre*

Mais si, au lieu de comparer une grandeur à son unité^ on veut comparer deux grandeurs quelconques d'une même espèce , ce qui revient à comparer les deux nombres qui les expriment ^ le résultat de cette comparaison est ce qui constitue le rapport ou la raison de deux nombres. Ces deux mots ^ rapport et raison^ sont synon3rmes en Mathématiques, et expriment l'idée qu'on se fait d'une grandeur par le moyen d'une autre grandeur à la* quelle on la compare^ et qui doit être essentiellement de même espèce.

Dans ce sens , un nombre est l'expression du rapport on de la raison d'une grandeur à son unité,

£n général , il y a deux manières de comparer deux gran^ deurs lune à l'autre. Ou bien y on veut savoir de combien là plus grande surpasse la plus petite^ et le résultat s'obtient en soustrayant la plus petite de la plus grande.

On bien , on veut savoir combien de fois la plus grande contient la plus petite^ ou combien de fois la plus petite est contenue dans la plus grande; ce qui se fait en divisant les deux quantités l'une pat l'autre.

fl66 DES RAPPORTS ET PROPORTfOHS.

Aînaiy soient 8^ et 6 les deux nombres qne Ton Teot comparer.

On a fl4 — 6= i8, et -^=4.

Le résultat de la comparaison par soustraction , est 18; tandis

que le résultat de la comparaison par division « est 4«

Pour distinguer ces deux espèces de rapports^ on appelait autrefois le premier, rapport arithmétique, et le second , rapport géométrique. Mais ces dénominations insigniGantes sont maintenant remplacées par celles-ci : rapport par soustraction , ou simplement f diffiirence , puisque c'est le résultat de la soustraction des deux nombres Tun de l'autre; et rapport par division ou simplement 9 rapport ^ parce que c'est presque toujours pour savoir combien de fois l'une des quantités contient l'autre , ou combien de fois la plus petite est contenue dans la plus grande , que l'on compare deux grandeurs en Mathématiques.

Par exemple, dans la théorie des nombres complexes, le rapport de l'unité principale d'une certaine nature à tune de ses subdivisions y ou le rapport de deux subdivisions entre elles ^ n'est autre chose que le nombre de fois que l'une contient l'antre. Dans la comparaison du nouveau système des poids et mesures à l'ancien , le rapport du mètre à la toise , ou de la toise au mètre f le rapport du kilogramme à la livre poids, ou de la livre poids au kilogramme, c'est le nombre entier ou fractionnaire qui résulte de la division des deux nombres exprimant en unités de même espèce , les mesures que l'on compare.

Ainsi dorénavant, lorsque nous nous. servirons du mot rapport, il exprimera le résultat ou le quotient de la division de deux nombres; et si nous voulons exprimer que deux nombres sont comparés entre eux par soustraction , nous emploierons la dénomination de différence, ou de rapport par soustraction.

Dans tout rapport, soit par soustraction, soit par division, on distingue deux termes , qui sont les nombres que l'on compare. Le terme qu*on énonce ou que l'on écrit le premier, s'ap-* pelle antécédent et le second, conséquent,

ao3. Lorsque deux rapports par souetraction sont égaur^