DES RAPPORTS ET PROPORTIONS

l'ensemble des quatre nombrea qui les constituent s'appelle une équirdifférenee ^ comme étant l'expression de deux difFérences égales. (On l'appelait autrefois proportion ant/im^fiçife.)

Par exemple, soient les quatre nombres la, 6, a4> 17; comme lai différence de la à 5 est 7, et que la différence de a4 à 17 est aussi 7, on dit que ces grandeurs forment une équi«diffé* rence^ que l'on écrit ainsi :

en plaçant un point entre le premier et le second terme, deux points entre le second et le troisième, et un point entre le troisième et le quatrième.

On rénonce d'ailleurs de la manière suivante :

la est à 5 comme sl4 est à iy\

ce qui vent dire que la surpasse 5 d'autant d'unités que a4 sur* passe 17.

On peut aussi l'écrire , d'après les notations déjà adoptées ,

Dans l'équi-différence la • 5 : 94 • ^7 * ^^ premier et le troi* sième termes , la et a4, ae nomment les antécédens', le second et le quatrième s'appellent les conséquens; ces dénominations s'accordent avec celles qui ont été données aux deux termes d'un rapport par soustraction.

Le premier et le dernier terme » la et 17, se nomment aussi les deux extrême^; le secoiid et le trobième terme, 6 et a4, sont dits les deux moyens.

ao3. LoMque deux rapports par division sont égaux, l'enaemble des quatre nombres qui les constituent, «'appelle une proportion (sLUtreEoîa proportion géométnque) , ou bien encore, on équirquotient , comme étant l'expression de dêux quotiens égaux. Mais le mot proportion est généralement adopté.

Soient, par exemple, les quatre nombres i5, 5, 36, la-, le rapport de i5à5,ou le quotient de i5 par 5 étant 3, ainsi que le rapport de 36 à la , ce» quatre nombres forment une propor^ ùon , que Ton écrit ainsi :

A5:5::36:ia,

a6S PES ÉQCl-PIFFERENCES.

en plaçant i^KZixpoiQts entre le premier et le deuxième i quatre

points entre le second et le troisième , et deux entre le troisième

et le quatrième. .

On rénonce d'ailleurs comme mie équi-différence, thestà 5

comme Z6 est à i2\ ce qui. veut dire que i5 contient 5 autant

de .fois, que 36 contient is. Aussi peut-on l'écrire encore sons

cette autre forme -v"= — •

5 la

Les dénominations des termes sont du reste les mêmes que dans les équî-differences.

Ainsi i5 et 36 sont les antécédens; 5 et la sont les conséquens, EnEn 1 5 et i a sont appelés les extrêmes ; 5 et 36 les moyens de la proportion.

Les équi-dififérences et les proportions surtout , jouissent de plusieurs propriétés que nous allons développer successivement.

Des Équi*différences.

ao^. On SL^çeWeéqui'dijférence (p? aoa) Texpression de deux différences égales.

Propriété fondamentale. Dans toute équi-^ifférence , la, somme des extrêmes est égjale à la somme des moyens.

,Soît réqui-diiSérence 1 1 . 7 : ig . i5.

On a évidemment n + i5 = 7 + igv

Pour nous rendre compte 'de cette proposition d'une manière générale > observons que^ si les conséquens étaient égaux à leurs antécédens ; que l'on eût^ par exemple ^ a-

11 . 11 : 19 . 19, 1â proposition serait manifeste ; car 11 + 19=11 + 1. 9*

Or, pour ramener l'équi-diiférence à cet état, il suffit d'augmenter chacun des conséquens , de la même différence 4* Mais par cette addition^ on a évidemment augmenté l'un des moyens et l'un des extrêmes , du même nombre 4 ; ainsi, la somme des moyens et la somme des extrêmes se trouvent augmentées de ce même nombre. Donc, puisqu'après cette addition, ces deux sommes sont égales , elles l'étaient auparavant.

Remarquons d'ailleurs que, s'il ny avait pas équi-difflérence entre les quatre nombres, il faudrait, pour rendre les consé«

DES ÉQUI-DIFFÉRENCES. sg-g

-Iquens égaux à lears antécédens^ ajouter à chacan d'eux un nombre diffétent; et {iuîdqu'après cette addition, la somme des extrêmes deviendrait égale à celle des moyens y il s'ensuit que ces .deux sommes étaient inégales ayant l'addition.

Donc , si quatre nombres énoncés , ou écrits sur une même ligne, forment. une équi^différence , la somme des extrêmes est jégale à la somme des moyens.

Réciproquement , si la somme du premier et du dernier nom- ,bre est égale à la somme du second et du troisième ^ ou si la somme des extrêmes est égale à celle des moyens y les quatre nombres forment une équi^ifférence , dans l'ordre où ils sont écrits. Car s'il n*y avait pas équi-différence , on vient de voir que la somme des extrêmes ne serait pas égale à celle des moyens ;*ce qui serait contraire à la supposition.

N. B. Il peut arriver que les antécédens soient plus petits que leurs conséquens , comme dans l'équi-difFéreàce ^ 9 . i4 I 18 . s3.

Mais les raisonnemens seraient les mêmes que dans le cas précédent ; il suffirait d'ajouter aux deux antécédens la différence constante 5 ; ce qui reviendrait à ajouter le même nombre à la somme des extrêmes et à la somme des moyens.

Voyons avec quelle précision les notations algébriques s'appliquent à la propriété précédente et à sa réciproque.

Soient quatre nombres a^b^c^d^ que nous supposons former entre eux une équi-différence.

On a donc a ,blc . dy ovl bien encore , a — J = c — d.

Cela posé, ajoutons aux deux membres de cette égalité 64-^5 ilvient a — b-^b-^d^ic—d + b + dy

ou réduisant , a 4- d = «^ + ^ ;

donc la somme des extrêmci sl et â, est égale à la somme des

moyens c et b.

Réciproquement, soient quatre nombres a, 6, c, d, tels que Tenait , a-f-d=ft + c;

retranchons b'^d des deux membres de cette égalité; il vient a + rf— 6 — dt=6 + c — 6 — ri,

ou réduisant, a-^b^zc^d, ou a.blc.d.

fi^O DES ÉQVHDIFféRENCE8.

Donc, ces quaire nombres forment une équi^diffSérence dont les extrêmes sont les deux termes de la première somme, et les moyens , les deux termes de la seconde somme*

ao5. Conséquence. Il résulte de la propriété précédente que» connaissant trois termes d'une équi^difflérence , on obtiendra le quatrième , si c'est un extrême , en retranchant de la somme des moyens , V extrême connu; et si cVst un moyen , en retran-^ chant de la somme des extrêmes , le moyen connu.

Ainsi , soit réqui-différence sS. 1 1 :49 -^ (x désignant le terme inconnu).

Comme on a , d'après la propriété , . . , x + aS = 1 1 -f- 4î , il en résulte a:=ii-t-49 — a3=37^ce qui donne

a3 . Il î 49 • 37.

Pareillement, dans l'équi-différence 3i . a5 : x . ^8 , on a x+a5 = 3i+78-, doù x = 3i 4.78 — a5 = 84; et par conséquent , 3i . a5 ; 84 • 78.

ao6. Quelquefois y on est conduit à considérer une équi-différence dont les deux moyens sont égaux; elle s'appelle alors une équi'dijférence continue (ou proportion arithmétique con-* tinuè).

Par exemple ^ a7 • 39 : 39 . 5i , est une équi-diiTérence continue.

Comme , dans ce cas , le double de l'un des moyens doit , en vertu de la propriété ci-dessus , être égal à la somme des extrêmes, il s'ensuit que ce moyen est égal à la demi-somme des deux extrêmes

Ainsi , dans l'équi-différence 23 . x I x • 49 ;

4q + a3 rgry on a x=-^^^^ — ^ = 36.

Cette valeur de x est ce qu'on appelle un moyen différentiml (ou un moyen proportionnel arithmétique) entre ks deux nombres a3 et 49-

ao7. Voici quelques autres propriétés des équi-dj(Férei^ces.

On peut augmenter les deux antécédens ou les diminuer^ augmenter les deux conséquens ou les d^piinuer d^un même nombre , augmenter ou diminuer les deux premiers termes ou

DES PROPORTIONS PAR QI\OTiENT. 671

I0S deux derniers , d^un même nombre^ sans que Féqui-différence cesse d'exister.

En effet > il est évident que^ par ces diverses transformations » on augmente ou diminue la somme des extrêmes et celle des moyens , d'un même nombre; ainsi , l'égalité de ces deux sommes n'est pas troublée ; et il en est de même de l'équi-diiFérence , en vertu de la réciproque de la propriété fondamentale.

On peut également interverlir Tordre des deux extrêmes ^ celui des deux moyens y ou bien, ^mettre les moyens à la place des extrêmes t sanstroublerTéqui-différence ; car il est évident qu'après ces mutations , la somme des extrêmes est encore égale à celle des moyens.

En général , toute transformation^ exécutée sur une équi-dîIFérence, qui est telle que la somme des extrêmes reste toujours égale à la somme des moyens, ne détruit pas l'équi-diiFérence.

Mais il est inutile d'insister davantage sur les propriétés des équi'différences , parce qu'elles sont de fort peu d'usage.

Passons aux propriétés des proportions proprement dites (autrement, proportions géométriques).

Des Proportions,

2108. On entend (n** ao3) par proportion ^l'expression de deux Irapports on de deux quotiens égaux.

Lorsque quatre nombres sont en proportion , le rapport con^ stant qui existe entre les deux premiers termes et entre les deux derniers termes, peut être entier on fractionnaire, ou une fraction proprement dite.

Soient , par exemple , les proportions

Dans la première, le rapport constant est 3; dans la seconde . on a — et — = î , en supprimant le facteur com-

9 fl7 3

mun aux deux termes ; donc, ^ est le rapport constant.

:: ao

2ya DES PROPORTIONS PAR QUOTIENT.

EnCn^ dans la troisième , on a-^ = — , en supprimant le

^o là

facteur 4 commun aux deux ternies ; ainsi , — est le rapport

constant.

Propriété fondamentale. Dctns toute proportion, le pro^ duit des extrêmes est égal à celui des moyens.

En effet , cette propriété serait évidente , si ^ au lieu d'une proportion telle que'

on en avait une dont les antécédens fussent égaux à leurs conséquens ; que l'on eût^ par exemple ,

Or, pour ramener la première proportion à .cet état , il suffit évidemment de multiplier chaque conséquent par le rapport constant 3 ; mais par cette multiplicajtion, Tun des moyens et l'un des extrêmes sont multipliés par un même nombre 5 ainsi , il en est de même du produit des extrêmes et du produit des moyens ; et^ puisqu*alors ces deux produits sont égaux > ils Tétaient déjà avant la multiplication.

Observons d*ailleurs que , si les quatre- nombres donnés ne formaient pas une proportion , il faudrait , pour rendre les con<séquens égaux à leurs antécédens , multiplier ces conséquens chacun par un nombre diff'érent qui exprimerait le rapport du premier terme au second > ou du troisième terme au quatrième ; et comme , après cette multiplication , le produit des extrêmes deviendrait égal à celui des moyens , c'est qu'avant la multiplication, les deux produits n'étaient pas égaux.

D'où l'on peut conclure que si quatre nombres énoncés, ou écrits sur une même ligne, sont en proportion j le produit des extrêmes est égal à celui des moyens.

Réciproquement, si le produit des deux termes extrêmes est égal à celui des moyens , les nombres forment une proportion dan^ tordre où ils sont écrits. Csir, s'il n'y avait pas proportion entre ces quatre nombres, on vient de voir que le produit des

DES PROPORTIOSS PAR QUOTIENT. 2y^

extfêzDes ne serait pas égal à celui des moyens , ce qui serait contraire à la supposition établie.

Appliquons les notations algébriques à la démonstration de cette propriété et de sa réciproque.

Soient quatre nombres a, b, c, d, en proportion^ c'est-à-dire ,

tels que l'on ait alblldd, once qui revient au même ,

b'^2 Multiplions les deux membres de cette égalité par bd\ il

abd cbd vient . -J-=-5-,

OU réduisant « adz=z bc. .

Donc le produit des extrêmes, ad, est égal au produit des moyens, bc.

Réciproquement, soient quatre nombres a,b^c, <2/telsqua

l'on ait aX€Î = ôXc;

divisons les deux membres de cette égalité par byc^d, il

. , a Xjd bXc

a c ou, supprimant les facteurs communs, X ^^ !/> c*^s^*~^'dlre

aib :: c :d.

Donc les quatre nombres forment une proportion dont les extrêmes sont les facteurs du premier, produit , et dont les moyens sont les facteurs du second produit,

aog. Conséquence. De cette propriété fondamentale, il résulte que, connaissant trois termes d^ une proport i^, il faut, pour obtenir le quatrième, diviser le produit des moyens par l'extrême connu, ou le produit des extrêmes par le moyen €K>nnu, suivant que lé terme cherché est un extrême ou un moyen.

Ainsi , soit la proportion li l 24 II 7^ l x ; comme on a 18 X ^ = ^4 X 7^ >

Il en résulte x = q = 90 ;

ce qui donne 18 : a4 •• 7^ • 96.

274 ^ES PROPORTfOKS PAR QUOTIENT.

910. Il peut arriver que les deux moyens cTune proportion soient égaux entre eux , comme dans celle-ci :