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la proportion est dite alors une proportion continue. Dans ce cas, le produit des deux moyens devenant le carré de l'un d'eux, il s'ensuit que ce carré est égal au produit des extrêmes ; donc, Fun des moyens a pour valeur la racitie carrée du produit des extrêmes.
Soit, par exemple, la proportion 5o * x !: x : 8, x étant le moyen terme inconnu d'une proportion continue ; on a
x'=5oX 8 = 400;
tfaù l'on déduit x = V^4oo = 20;
ce qui donne 5o ! 120 i: ao Z 8.
En général , soit la proportion al x II xl b , il en résulte
x*=:aXb', d'où a:=\/ax6. Cette valeur de x est ce qu'on appelle un moyen proportionnel entre deux nombres.
ail. Autres propriétés. On peut multiplier ou diviser les deux premiers termes , ou les deux derniers , par un même nombre, sans altérer la proportion.
En effet , le rapport des deux premiers termes , ou celui des deux derniers , n'est autre chose (n® aoi) qu'un nombre fractionnaire; et l'on sait qu^en multipliant ou divisant les deux termes d'une fraction par un même nombre , on n'en change pas la valeur.
On peut également multiplier ou diviser les deux antécédens, multipliera^ diviser les deux conséquens par un même nombre, sans altérer la proportion.
Car^ par ces transformations, on multiplie à la fois l'un des extrêmes et Tun des moyens, ou bien, l'un des moyens et Tun des extrêmes, par un même nombre *, donc le produit des ex« trêmes resjte toujours égal à celui des moyens. Or, d'après la réciproque de la propriété fondamentale , c'est une condition suiEsante, pour que les quatre nombres soient en proportion.
On peut encore, comme dans l'équi-difiFérence , intervertir l'ordre des extrêmes dune proportion, celui clés moyens ^ ou
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fl5;
DES PROPORTIONS FAR QUOTIENT. àjS
bien , mettre les extrêmes à la place des moyens , sans qu» la proportion cesse d'exister entre les quatre nombres.
Par exemple y de la ^oportion 36 l 12 ::*75 : z5 , on déduit successivement y
1^ en échangeant les extrêmes . . «aB
a^. eu échangeant Içs moyens . • 36
3°. en mettant les moyens à la place des extrêmes la
Le rapport constant est différent d*une proportion à l'autre ; ainsi 9 ce rapport est 5 dans la première ; '— dans la secondé ;
^ dans la troisième; et ^ ou ^ dans la quatrième. Mais cfaa-
que proportion n'en existe pas moins ^ puîsqu'après ces mutations, il est éyident que b produit des extrêmes reste toujours égal à celui des moyens.
iV. B, La plupart des auteurs de Géométrie désignent sous les dénominations de altemando tt invertendo f les diverses mutations que Ton fait éprouver au^ termes d'une proportion.
Les transformations qui consistent à multiplier ou diviser les tenues j s'appellent multiplicando ou dividendo.
Les propriétés suivantes sont d'un usage continuel en Géométile , et méritent toute l'attention des commençans.
ai 2. Première. Dans toute proportion , la somme ou la dif* férence des deux premiers termes est au second terme , comme la somme ou la différence des deux autres termes est au quœ^ ' trième* , Ainsi, dans la proportion 73 : a4 !• 4^ t iB ,
il vient, en ajoutant, 73 4-24 : 24 V. 45 + i5 : i5 ,
et en soustrayant, 72 — 24Î 24 V. 4^ — 15 : i5,
proportion que l'on peut vérifier facilement. Mais , pour nous rendre compte de cette propriété^ d'une manière générale , observons qu'en augmentant ou diminuant chaque antécédent de son conséquent, on ne fait qu'augmenter ou diminuer d^une ^
unité ^ chacun des deux rapports ; et puisque ces rapports étaient
aj6 DES PROPORTIONS PAR QUOTIENT.
égaux d'abord , ils le sont encore après cette augmentation ou cette diminution.
De la proportion 7a d= a4 • M •• 4^ ^ ^^ • ^^ ( =b se prononce plus ou moins ) , on déduit) en changeant les moyens de place (n° âi 1 ),
7a±:24:45d=i5 :: a4:i5; ' mais on a déjà 7a : a4 :: 4^ l i5,
ou bien 9 7a : 45 :: a4 : i5 ;
donc, comme deux rapports égaux à un troiâième, sont nécessairement égaux entre eux, il en résulte encore
♦ 7a±:a4:45ihi5 :: 72:45,
ou bien 7a±:24 :7a :: 45±: i5 : 45.
On peut donc dire aussi que, dans .toute proportion, la somme ou la différence des deux premiers termes est au pre^ mier terme , comme la somme ou la différence des deux autres termes est au troisième; énoncé qu*il serait facile de comprendre en un seul, avec Ténoncé ci-desâus.
ai 3. Seconde. Dans toute proportion^ la somme ou la différence des antécédens est à la somme ou à la différence des conséquent y comme Vun quelconque- des antécédens est à son conséquent,
lleprenons la proportion ci-dessus, 7ata4 II 45 ^ i5 , et chan* geons les moyens de place ; il vient
Or , rien n'empêche d'appliquer à cette nouvelle proportion la propriété du o? précédent , et Ton aura
7a±:45:45 ::a4±:i5: i5, ou, changeant les moyens de place,
7a ±45 : a4±:i5 ::45 : i5 ou :: 7a : a4;
cette proportion , énoncée en langage ordinaire , et comparée à la proportion 7a : a4 !! 45 : i5 , revient évidemment à la pro* priété énoncée.
Si , dans la proportion 7a d: 46 ; a4 ±: 1 5 : : 45 1 15 , on consi-
